7.1.2 复数的几何意义课件（共19张PPT）

第7章 复数
7.1.2 复数的几何意义
????:a+b?
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x
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????
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????
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????
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????
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高中数学人教A版（2019）必修 第二册
复平面
实数系的分类
如图，点Z的横坐标是 ???? ，纵坐标是 ???? ，复数 ????=a+b? 可以用点 ????(????,????) 表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，???? 轴叫做实轴，???? 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
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????:a+b?
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x
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????
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????
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????
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????
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因为任何一个复数 ????=a+b? 都可以用一个有序实数对
(????,????) 唯一确定，并且任意给一个复数也可以唯一确定一个有序数对，所以复数 ????=a+b? 与有序数对 (????,????) 是一 一对应的，而有序数对 (????,????) 与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，所以复数与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一 一对应的关系.
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探究新知
复平面
高阶理解笔记
复数 ????=a+b?(????,????∈????) 在复平面内对应点的坐标为 (????,????) ，而不是(????,????????) ，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是 ???? .
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????:a+b?
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x
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????
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????
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????
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????
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实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，象限内的点都表示非纯虚数.反之，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点都在象限内.
例如，复平面内原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数 ??????，点(-2,3)表示复数 ?2+3???? 等.
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探究新知
复数的几何意义
复数的几何意义——与点对应
由上可知，每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集 ???? 中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系，即
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(1) 复数的实质是有序数对；
复数?????=a+b? 复平面内的点 ????(????,????)
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一 一对应
这是复数的一种几何意义.
(2) 复数 ????=a+b?(????,????∈????) 中的 ?????，书写时应小写；复平面内点
????(????,????) 中的 ?????，书写时要大写.
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探究新知
复数的几何意义
复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序数对和复数又是一 一对应的. 这样我们就可以用平面向量来表示复数.
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????:a+b?
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x
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????
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????
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????
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????
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数0与零向量对应),即复数 ????=a+b?? 平面向量,这是复数的另一种几何意义.
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一 一对应
如图，设复平面内的点 ???? 表示复数 ????=a+b??，连接 ?????????，显然向量 ???????? 由点 ???? 唯一确定；反过来，点 ???? 也可以由向量 ???????? 唯一确定，因此，复数集 ???? 中的数与复平面内以原点为起点的向量也建立了一 一对应的关系(实
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为了方便起见，我们常把复数 ????=a+b? 说成点 ???? 或说成向量 ???????? ，并且规定， 相等的向量表示同一个复数.
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探究新知
复数的模
向量 ???????? 的模叫做复数 ????=a+b? 的模，记作 |????| 或 |????+????????| . 即 ????=
????+????????=????2+????2 ，其中 a,????∈?????.
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如果 b=0，那么 ????=a+b? 是一个实数 a，它的模就等于 |a|(????的绝对值)
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【解】设点 ????(????,????). ∵ ????=????2+????2=1?且∠????????????=45°，
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已知向量 ???????? 与复平面实轴正方向的夹角为45°，向量 ???????? 对应的复数 ???? 的模为1，求 ???? .
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∴ ????=22,????=22或????=22,????=?22
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∴ ????=22+22?????或?????=22?22????
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探究新知
复数的模
复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模可以比较大小
复数的模的几何意义：复数 ????=a+b?(????,????∈????) 的模 |????| 表示复数在平面内对应的点 ????(????,????) 到原点的距离.类比向量的模可以作推广： |????1?????2| 表示点 ????1 和点 ????2 之间的距离
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复数的模，复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数所对应向量的模，这三者是相等的.
探究新知
共轭复数
共轭复数的定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
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????=a+b??
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????=a?b??
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共轭复数
复数 ???? 的共轭复数用 ???? 表示，即如果 ????=a+b?(????,????∈????) ，那么. ????=a?b?，特别地，实数 ???? 的共轭复数仍是 ???? 本身.
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探究新知
共轭复数
共轭复数的几何意义
互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
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????(????,????)
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x
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????
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????(????,?????)
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????
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设复数 ????=a+b?(????,????∈????) 在复平面内所对应的点为 ????(????,????)，????=a?b? 在复平面内对应的点为 ????(????,?????)，如图所示，它们关于实轴对称.
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归纳
复数及其共轭复数的常用结论：
????+????=2????
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?????????=2????????
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|????|=|????|
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探究新知
(多选)设复数 ???? 满足 ????=?1?2????， ???? 为虚数单位，则下列结论正确的是哪些？
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A. ????=5?
B. 复数 ???? 在复平面内对应的点在第四象限
C. ???? 的共轭复数为 ?1+2????
D. 复数 ???? 在复平面内对应的点在直线 ????=?2???? 上
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【解】 ????=?12+?22=5?，A正确；
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复数 ???? 在复平面内对应的点的坐标为 (?1,?2)?，在第三象限，B不正确；
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???? 的共轭复数为 ?1+2?????，C正确；
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复数在复平面内对应的点为 (?1,?2)?，不在直线 ????=?2???? 上，D不正确.
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例题讲解
对复数与向量的关系理解不透彻
对复数和向量的关系理解不透彻，忽略向量平移过程中坐标表示不变.
在复平面内，向量 ???????? 表示的复数为 1+?????，将向量 ???????? 向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量 ????1????1，则向量 ????1????1 对应的复数是多少？
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【错解】向量 ???????? 平移得到向量 ????1????1 对应的复数为 2+3????
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【正解】向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应
的复数也不变，所以向量 ????1????1 对应的复数是
1+????
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【错解】因为 ????=1?，所以 ????=±1?. 故选A.
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对复数的模与绝对值的理解不透彻
已知复数 ???? 满足 ????=1，则 ????=_________.
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【正解】设 ????=????+????????????,????∈????,则由 ????=1可得
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没有高清复数的模的概念，复数的模与实部和虚部有关，混淆复数与实数，当成了实数来计算.
????.????±1?????????????????????????????
????.???±???????????????????????
????.????????+????????????,????∈????,????2+????2=1
????.?????1+????
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????2+????2=1，故本题正确答案应该选C
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实数 ???? 取什么值时，复平面内表示复数 ????=????2+?????6+????2?2?????15???? 的点 ???? 满足以下条件: (1)位于第三象限 (2)位于直线 ??????????3=0 上
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题①
——复数与复平面内的点的一 一对应
【解】根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 ????=????2+?????6+????2?2????????????????????15???? 的点为 (????2+?????6, ????2?2?????15).
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把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件.
(1)由点 ???? 位于第三象限，得????2+?????6<0,????2?2?????15<0,解得?3?
(2)由点 ???? 位于直线 ??????????3=0 上，得
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????2+?????6?????2?2?????15?3=0,
即3????+6=0,解得????=?2
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题②
——复数与复平面向量的一 一对应
当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.
在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为 1,2+????,?1+2????.
(1) 求向量AB，AC，BC对应的复数；(2)判断ΔABC的形状
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【解】(1)复数的几何意义，知OA=(1,0)，OB=(2,1)，OC=(-1,2)，
∴ AB=OB-OA=(1,1)； AC=OC-OA=(-2,2)； BC=OC-OB=(-3，1)
∴ 向量AB，AC，BC对应的复数分别是 1+????,?2+2????,?3+????
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∴ ΔABC是以BC为斜边的直角三角形
(2)由(1)得AB=(1,1)，AC=(-2,2)，BC=(-3,1)
∴ |AB|=2，|AC|=22，|BC|= 10
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∴ |AB|2+|AC|2=|BC|2
题③
——复数模的计算
【解】∵ ????1=6+8?????，?????2=?12?2????
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计算复数的模，只需要找出复数的实部和虚部，按照公式进行计算即可，类似于知道直角三角形的两个直角边求斜边
求复数 ????????=6+8?????和?????????=?12?2???? 的模，并比较它们的大小.
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∴ ????1=62+82=10，
?|????2|=?122+?22=32
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∴ ????1>????2
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题④
——共轭复数
【解】设 ????=????+????????????,????∈????,则????=?5,
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本题考查复数的运算、复数的几何意义、共轭复数的概念，属于复数中的综合题，设出复数的代数形式
????=????+????????????,????∈???? 即可.
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已知复数 ?????对应的点在第二象限，它的模是3，实部是5?，求 ????
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由????=3,得?52+????2=9,
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即 ????2=4?，解得 ????=±2
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∵ 复数 ?????对应的点在第二象限
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∴ ????=2
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∴ ????=?5+2????,????=?5?2????
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题⑤
——复数模的几何意义
【解】∵ ????2??????6=0，
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求复数在复平面内的对应点的集合表示的图形时常用的方法是通过化简得到关于复数的模的最简等式或不等式，然后判断形状.
已知复数 ?????满足条件 ????2??????6=0?，且复数 ???? 在复平面内的对应点为 ?????，则点 ???? 组成的集合是什么图形？
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∴ ?????3????+2=0
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∴ ????+2≠0,????=3
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∴ 点 ???? 在复平面内的集合表示的是以原点为圆心，3为半径的圆.
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谢谢聆听