人教版B版（2019）高中数学必修第四册第九章解三角形9.1.2余弦定理 同步作业（Word含解析）

余
弦
定
理
1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos
A=,则b=
(　　)
A.
B.
C.2
D.3
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于
(　　)
A.4
B.
C.3
D.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos
B=bcos
A,a2+b2=c2+ab,则△ABC是
(　　)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则=　　　　.?
6.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin
A+csin
C-asin
C=bsin
B,则B=　　　　.?
能力提升
1.已知△ABC中,=,则B=
(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin
A=
(　　)
A.
B.
C.
D.
3.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围为
(　　)
A.　
B.　
C.　
D.
4.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos
2C=1,4sin
B=3sin
A,a-b=1,则c的值为
(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.6
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan
B=ac,则角B的值为
(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.三角形有一个角是60°,夹这个角的两边长分别为8和5,则
(　　)
A.三角形另一边长为6
B.三角形的周长为20
C.三角形内切圆面积为3π
D.三角形外接圆周长为π
7.在△ABC中,a2-b2=bc,sin
C=2sin
B,则A=　　　　.?
8.在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为　　　　.?
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos
2C=-,则sin
C=　　　　;当a=2,2sin
A=sin
C时,则b=　　　　.?
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin
A=(2b-c)sin
B+(2c-b)sin
C.
(1)求角A的大小.
(2)若sin
B+sin
C=,试判断△ABC的形状.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-a=0
.
(1)求角C;
(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.
12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2
min,从点D沿DC走到点C用了3
min.若此人步行的速度为50
m/min,求该扇形的半径.
答案
1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
分析：选B.设中间角为θ,则θ为锐角,由余弦定理得cos
θ==,θ=60°,180°-60°=120°,所以三角形最大角与最小角的和是120°.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos
A=,则b=
(　　)
A.
B.
C.2
D.3
分析：选D.由余弦定理得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于
(　　)
A.4
B.
C.3
D.
分析：选D.由三角形内角和定理可知cos
C=-cos(A+B)=-,又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=9+4-2×3×2×=17,所以c=.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos
B=bcos
A,a2+b2=c2+ab,则△ABC是
(　　)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
分析：选D.根据正弦定理:acos
B=bcos
A,即sin
Acos
B=sin
Bcos
A,即sin=0,A=B;根据余弦定理及a2+b2=c2+ab,解得cos
C=,C∈,故C=.
故△ABC是等边三角形.
5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则=　　　　.?
分析：由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B=3,所以b=,由正弦定理得===2.
答案:2
6.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin
A+csin
C-asin
C=bsin
B,则B=　　　　.?
分析：由正弦定理得a2+c2-ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B,故cos
B=.
又因为B为三角形的内角,所以B=45°.
答案:45°
能力提升
1.已知△ABC中,=,则B=
(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
分析：选C.因为=,利用正弦定理角化边得=,所以(c-b)(c+b)=a(c-a),所以c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,所以=,根据余弦定理可得cos
B==,因为02.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin
A=
(　　)
A.
B.
C.
D.
分析：选A.因为在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以BC=AB·sin
B?AB=BC×=BC,由余弦定理得AC===BC,故△ABC的面积为BC·BC=AB·AC·sin
A=·BC·BC·sin
A,所以sin
A=.
3.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围为
(　　)
A.　
B.　
C.　
D.
分析：选D.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,可设a+2所对的角为C,且为最大,cos
C===,由题意可得90°C<0,解得≤a<3.
4.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos
2C=1,4sin
B=3sin
A,a-b=1,则c的值为
(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.6
分析：选A.由2cos2-cos
2C=1,
可得2cos2-1-cos
2C=0,
则有cos
2C+cos
C=0,即2cos2C+cos
C-1=0,解得cos
C=或cos
C=-1(舍),
由4sin
B=3sin
A,得4b=3a,①
又a-b=1,②
联立①,②得a=4,b=3,
所以c2=a2+b2-2abcos
C=16+9-12=13,则c=.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan
B=ac,则角B的值为
(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
分析：选BD.根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accos
B代入化简可得2accos
B·=ac即sin
B=,因为06.三角形有一个角是60°,夹这个角的两边长分别为8和5,则
(　　)
A.三角形另一边长为6
B.三角形的周长为20
C.三角形内切圆面积为3π
D.三角形外接圆周长为π
分析：选BC.由余弦定理可得另一边长为=7,则A错误,B正确.设内切圆半径为r,则(8+7+5)r=×8×5sin
60°,则r=,则内切圆面积为πr2=3π,则C正确.
设外接圆半径为R,则2R=,其周长为2πR=π,则D错误.
7.在△ABC中,a2-b2=bc,sin
C=2sin
B,则A=　　　　.?
分析：由sin
C=2sin
B及正弦定理得c=2b,
把它代入a2-b2=bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2.
由余弦定理得cos
A====,又因为0°答案:30°
8.在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为　　　　.?
分析：设内角B,C所对的边分别为b,c.因为A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.由条件可知b+c=9,bc=8,所以BC
2=b2+c2-2bccos
A=(b+c)2-2bc-2bccos
A=92-2×8-2×8×cos
60°=57,所以BC=.
答案:
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos
2C=-,则sin
C=　　　　;当a=2,2sin
A=sin
C时,则b=　　　　.?
分析：cos
2C=1-2sin2C=-,所以sin2C=,因为0C=;
所以cos
C=±,由正弦定理可知c=2a=4,
所以c2=a2+b2-2abcos
C,
当cos
C=时,整理为b2-b-12=0
,
即=0
,所以b=2(负值舍去),
当cos
C=-,整理为b2+b-12=0,
即=0,所以b=(负值舍去),
所以b=2或.
答案:　或2
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin
A=(2b-c)sin
B+(2c-b)sin
C.
(1)求角A的大小.
(2)若sin
B+sin
C=,试判断△ABC的形状.
分析：(1)因为2asin
A=(2b-c)sin
B+(2c-b)sin
C,
所以2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
所以cos
A==.因为0°所以A=60°.
(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°,
由sin
B+sin
C=,得sin
B+sin(120°-B)=,
所以sin
B+sin
120°cos
B-cos
120°sin
B=,
所以sin
B+cos
B=,即sin(B+30°)=1.
又因为0°所以B+30°=90°,即B=60°,
所以A=B=C=60°,所以△ABC为正三角形.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-a=0
.
(1)求角C;
(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.
分析：(1)由-a=0,
得=a,即=sin
C,由余弦定理得cos
C=sin
C,
所以tan
C=,因为C∈,所以C=
.
(2)由余弦定理b2=1+-2×1×·cos∠CEA①,a2=1+-2×1×·cos∠CEB②,
①+②得,
b2+a2=2+
即2(b2+a2)=4+c2,
因为c2=a2+b2-2ab·cos
C,所以a2+b2=4-ab≥2ab,所以ab≤,当且仅当a=b时取等号,所以S△ABC=absin
C≤××=.
12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2
min,从点D沿DC走到点C用了3
min.若此人步行的速度为50
m/min,求该扇形的半径.
分析：依题意得OD=100
m,CD=150
m,
连接OC,易知∠ODC=180°-∠AOB=60°,
因此由余弦定理得OC2=OD2+CD2-2OD×CD×cos
∠ODC,即OC2=1002+1502-2×100×150×,
解得OC=50(m).则该扇形的半径为50
m.