人教版B版（2019）高中数学必修第四册第九章解三角形9.1.1正弦定理同步作业（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版B版（2019）高中数学必修第四册第九章解三角形9.1.1正弦定理同步作业（Word含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 52.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-13 17:02:16 | ||
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文档简介
正
弦
定
理
1.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为
( )
A.10 B.10 C.15 D.15
2.在△ABC中,若=,则C的值为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为
( )
A.
B.
C.1
D.
4.在△ABC中,若a=2bsin
A,则B=
( )
A.
B.
C.或
D.或
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .?
6.在△ABC中,若(sin
A+sin
B)(sin
A-sin
B)=sin2C,则△ABC的形状是 .?
能力提升
1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos
B等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos
C等于
( )
A.
B.-
C.±
D.
3.在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是
( )
A.x> B.0C.D.4.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acos
C+ccos
A=2bcos
B,且cos
2B+2sin
Asin
C=1,则a-2b+c=
( )
A. B. C.2 D.0
5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是
( )
A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45°
C.a=6,b=3,B=60°
D.a=20,b=30,A=30°
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A=
( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a= .?
8.在△ABC中,A=60°,a=6,b=12,S△ABC=18,则= ,c= .?
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.
10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(1)求角B的大小;
(2)求cos2-sin
cos
的取值范围.
11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin
α+cos2β=0.
(2)若AC=DC,求β的值.
答案
1.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为
( )
A.10 B.10 C.15 D.15
分析：选B.由已知C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°,
由正弦定理=得c=·sin
C=×=10.
2.在△ABC中,若=,则C的值为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
分析：选B.由正弦定理得==,
则cos
C=sin
C,即C=45°.
3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为
( )
A.
B.
C.1
D.
分析：选B.因为a=1,b=,B=60°,所以由正弦定理可得:sin
A===,
因为a4.在△ABC中,若a=2bsin
A,则B=
( )
A.
B.
C.或
D.或
分析：选C.由正弦定理得×2Rsin
A
=2×2Rsin
Bsin
A,
所以sin
B=.又因为B∈(0,π),所以B=或.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .?
分析：由正弦定理得sin
B===,
结合b答案:75°
6.在△ABC中,若(sin
A+sin
B)(sin
A-sin
B)=sin2C,则△ABC的形状是 .?
分析：由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sin
A=,sin
B=,sin
C=,
所以-=,即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.
答案:直角三角形
能力提升
1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos
B等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
分析：选D.由正弦定理得=,
所以sin
B===.
因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B为锐角.
所以cos
B===.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos
C等于
( )
A.
B.-
C.±
D.
分析：选A.方法一:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin
B=5sin
C=5sin2B=10sin
Bcos
B,所以cos
B=,又因为B为三角形内角,所以sin
B==.所以sin
C=sin
2B=2××=.
又因为cos
B>cos
45°,所以B<45°,C=2B<90°,
cosC==.
方法二:因为8b=5c,所以8sin
B=5sin
C,即sin
B=sin
C,因为C=2B,所以cos
C=cos2B=1-2sin2B=1-2,即25cos2C-32cos
C+7=0.
解得cos
C=或cos
C=1(舍去).
3.在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是
( )
A.x> B.0C.D.分析：选C.由正弦定理得sin
B==,因为A=60°,所以0°B<1,所以<<1,解得4.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acos
C+ccos
A=2bcos
B,且cos
2B+2sin
Asin
C=1,则a-2b+c=
( )
A. B. C.2 D.0
分析：选D.因为acos
C+ccos
A=2bcos
B,
所以由正弦定理可得sin
Acos
C+sin
Ccos
A=2sin
Bcos
B,
即sin=sin
B=2sin
Bcos
B,因为sin
B≠0,所以cos
B=,B=.因为cos
2B+2sin
Asin
C=1,
所以2sin
Asin
C=1-cos
2B=2sin2B=,
sin
Asin
C=,cos=cos
Acos
C-sin
Asin
C=-cos
B=-,所以cos
Acos
C=,cos=cos
Acos
C+sin
Asin
C=+=1,A-C=0,A=C,又因为A+C=π-B=,
所以A=C=B=?a=b=c,所以a-2b+c=0.
5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是
( )
A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45°
C.a=6,b=3,B=60°
D.a=20,b=30,A=30°
分析：选BC.A.
b=7,c=3,C=30°,=,故sin
B=,无解.
B.b=5,c=4,B=45°,=,故sin
C=,cC.a=6,b=3,B=60°,=,故sin
A=1,有一解.
D.a=20,b=30,A=30°,=,故sin
B=,b>a,故B>A,有两解.
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A=
( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
分析：选BD.因为S=bcsin
A=,所以×2×sin
A=,所以sin
A=,因为0°7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a= .?
分析：因为=,所以=,
所以b=a,①
又因为a+b=12,②
由①②可知a=12(3-).
答案:12(3-)
8.在△ABC中,A=60°,a=6,b=12,S△ABC=18,则= ,c= .?
分析：由正弦定理,==,可得====12,由于a=6,b=12,S△ABC=18,则S△ABC=absinC=×6×12×sin
C=18,即有sin
C=,再由正弦定理,==,可得c===6.
答案:12 6
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.
分析：由A-C=90°,得A为钝角且sin
A=cos
C,利用正弦定理,a+c=b可变形为sin
A+sin
C=sin
B,又因为sin
A=cos
C,
所以sin
A+sin
C=cos
C+sin
C=sin(C+45°)=
sin
B,又A,B,C是△ABC的内角,
故C+45°=B或(C+45°)+B=180°(舍去),
所以A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°.
所以C=15°.
10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(1)求角B的大小;
(2)求cos2-sin
cos
的取值范围.
分析：(1)由=得到=即2sin
Acos
B=sin,即2sin
Acos
B=sin
A,又因为A为三角形内角,所以sin
A≠0,所以cos
B=,从而B=.
(2)cos2-sincos=-sin
A=cos
C-sin+
=cos
C-sin
C+=cos+,因为0所以-所以cos2-sincos的取值范围为.
11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin
α+cos2β=0.
(2)若AC=DC,求β的值.
分析：(1)在Rt△ABC中,因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABC=β.因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,
所以sin
α=sin,即sin
α=-sin.
所以sin
α=-cos2β,所以sin
α+cos2β=0.
(2)在△ADC中,根据正弦定理,=.
又AC=DC,∠ADC=π-β,
所以=,所以sin
β=sin
α.
由(1)知:sin
α=-cos2β,所以sin
β=-cos2β.
所以2sin2β-sin
β-=0,解得sin
β=或-.
因为0<β<,所以sin
β=,所以β=.
弦
定
理
1.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为
( )
A.10 B.10 C.15 D.15
2.在△ABC中,若=,则C的值为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为
( )
A.
B.
C.1
D.
4.在△ABC中,若a=2bsin
A,则B=
( )
A.
B.
C.或
D.或
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .?
6.在△ABC中,若(sin
A+sin
B)(sin
A-sin
B)=sin2C,则△ABC的形状是 .?
能力提升
1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos
B等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos
C等于
( )
A.
B.-
C.±
D.
3.在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是
( )
A.x> B.0
C+ccos
A=2bcos
B,且cos
2B+2sin
Asin
C=1,则a-2b+c=
( )
A. B. C.2 D.0
5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是
( )
A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45°
C.a=6,b=3,B=60°
D.a=20,b=30,A=30°
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A=
( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a= .?
8.在△ABC中,A=60°,a=6,b=12,S△ABC=18,则= ,c= .?
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.
10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(1)求角B的大小;
(2)求cos2-sin
cos
的取值范围.
11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin
α+cos2β=0.
(2)若AC=DC,求β的值.
答案
1.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为
( )
A.10 B.10 C.15 D.15
分析：选B.由已知C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°,
由正弦定理=得c=·sin
C=×=10.
2.在△ABC中,若=,则C的值为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
分析：选B.由正弦定理得==,
则cos
C=sin
C,即C=45°.
3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为
( )
A.
B.
C.1
D.
分析：选B.因为a=1,b=,B=60°,所以由正弦定理可得:sin
A===,
因为a
A,则B=
( )
A.
B.
C.或
D.或
分析：选C.由正弦定理得×2Rsin
A
=2×2Rsin
Bsin
A,
所以sin
B=.又因为B∈(0,π),所以B=或.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .?
分析：由正弦定理得sin
B===,
结合b
6.在△ABC中,若(sin
A+sin
B)(sin
A-sin
B)=sin2C,则△ABC的形状是 .?
分析：由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sin
A=,sin
B=,sin
C=,
所以-=,即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.
答案:直角三角形
能力提升
1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos
B等于
( )
A.-
B.
C.-
D.
分析：选D.由正弦定理得=,
所以sin
B===.
因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B为锐角.
所以cos
B===.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos
C等于
( )
A.
B.-
C.±
D.
分析：选A.方法一:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin
B=5sin
C=5sin2B=10sin
Bcos
B,所以cos
B=,又因为B为三角形内角,所以sin
B==.所以sin
C=sin
2B=2××=.
又因为cos
B>cos
45°,所以B<45°,C=2B<90°,
cosC==.
方法二:因为8b=5c,所以8sin
B=5sin
C,即sin
B=sin
C,因为C=2B,所以cos
C=cos2B=1-2sin2B=1-2,即25cos2C-32cos
C+7=0.
解得cos
C=或cos
C=1(舍去).
3.在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是
( )
A.x> B.0
B==,因为A=60°,所以0°
C+ccos
A=2bcos
B,且cos
2B+2sin
Asin
C=1,则a-2b+c=
( )
A. B. C.2 D.0
分析：选D.因为acos
C+ccos
A=2bcos
B,
所以由正弦定理可得sin
Acos
C+sin
Ccos
A=2sin
Bcos
B,
即sin=sin
B=2sin
Bcos
B,因为sin
B≠0,所以cos
B=,B=.因为cos
2B+2sin
Asin
C=1,
所以2sin
Asin
C=1-cos
2B=2sin2B=,
sin
Asin
C=,cos=cos
Acos
C-sin
Asin
C=-cos
B=-,所以cos
Acos
C=,cos=cos
Acos
C+sin
Asin
C=+=1,A-C=0,A=C,又因为A+C=π-B=,
所以A=C=B=?a=b=c,所以a-2b+c=0.
5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是
( )
A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45°
C.a=6,b=3,B=60°
D.a=20,b=30,A=30°
分析：选BC.A.
b=7,c=3,C=30°,=,故sin
B=,无解.
B.b=5,c=4,B=45°,=,故sin
C=,c
A=1,有一解.
D.a=20,b=30,A=30°,=,故sin
B=,b>a,故B>A,有两解.
6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A=
( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
分析：选BD.因为S=bcsin
A=,所以×2×sin
A=,所以sin
A=,因为0°
分析：因为=,所以=,
所以b=a,①
又因为a+b=12,②
由①②可知a=12(3-).
答案:12(3-)
8.在△ABC中,A=60°,a=6,b=12,S△ABC=18,则= ,c= .?
分析：由正弦定理,==,可得====12,由于a=6,b=12,S△ABC=18,则S△ABC=absinC=×6×12×sin
C=18,即有sin
C=,再由正弦定理,==,可得c===6.
答案:12 6
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.
分析：由A-C=90°,得A为钝角且sin
A=cos
C,利用正弦定理,a+c=b可变形为sin
A+sin
C=sin
B,又因为sin
A=cos
C,
所以sin
A+sin
C=cos
C+sin
C=sin(C+45°)=
sin
B,又A,B,C是△ABC的内角,
故C+45°=B或(C+45°)+B=180°(舍去),
所以A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°.
所以C=15°.
10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.
(1)求角B的大小;
(2)求cos2-sin
cos
的取值范围.
分析：(1)由=得到=即2sin
Acos
B=sin,即2sin
Acos
B=sin
A,又因为A为三角形内角,所以sin
A≠0,所以cos
B=,从而B=.
(2)cos2-sincos=-sin
A=cos
C-sin+
=cos
C-sin
C+=cos+,因为0
11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin
α+cos2β=0.
(2)若AC=DC,求β的值.
分析：(1)在Rt△ABC中,因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABC=β.因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,
所以sin
α=sin,即sin
α=-sin.
所以sin
α=-cos2β,所以sin
α+cos2β=0.
(2)在△ADC中,根据正弦定理,=.
又AC=DC,∠ADC=π-β,
所以=,所以sin
β=sin
α.
由(1)知:sin
α=-cos2β,所以sin
β=-cos2β.
所以2sin2β-sin
β-=0,解得sin
β=或-.
因为0<β<,所以sin
β=,所以β=.