人教版B版（2019）高中数学必修第四册第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用同步作业（Word含解析）

正弦定理与余弦定理的应用
1.海上有A,B两个小岛相距10
n
mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10
n
mile
B.
n
mile
C.5
n
mile
D.5
n
mile
2.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6千米处.该船由A处向正北方向航行8千米到达C处,这时灯塔B与船相距
(　　)
A.2千米　　　
B.2千米
C.6千米
D.8千米
3.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1
km,CD=3
km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠BED=120°,则两山顶A,C之间的距离为
(　　)
A.2
km
B.
km
C.
km
D.3
km
4.如图,有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°,汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上,且仰角为45°,则山的高度CD为
(　　)
A.150
m
B.150
m
C.300
m
D.300
m
5.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3
km到B处,再沿正东方向行走2
km到C处,则A,C两地的距离为　　　　km.?
6.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120
m,求河的宽度.
能力提升
1.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500
m,则电视塔在这次测量中的高度是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.100
m
B.400
m
C.200
m
D.500
m
2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10
m,吊杆AC=15
m,吊索AB=5
m,则起吊的货物与岸的距离AD为
(　　)
A.30
m
B.
m
C.15
m
D.45
m
3.小赵开车从A处出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶,30分钟后到达B处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A的南偏东70°方向的C处,且A与C的距离为15千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王,则小赵到达C处所用的时间大约为(　　)
A.10分钟　
B.15分钟　
C.20分钟　
D.25分钟
4.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一,如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在船往东开2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,再开回C处,由C向西开2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛之间的距离为　　　　百海里
(　　)?
A.3
B.3
C.4
D.4
5.某人在A处向正东方向走x
km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3
km到达C处,结果他离出发点恰好
km,那么x的值可能是
(　　)
A.　　　B.2　　　C.3　　　D.3
6.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20
m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有
(　　)
A.d1>d2　　　　　　B.d1C.d1<20
m
D.d2<20
m
7.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10
km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走　　　　.(结果精确到0.1
km)(参考数据:≈1.41,≈1.73)?
8.地平面上一旗杆设为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200
m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高h为　　　　m.?
9.如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100
m,求山高MN.
10.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200
m,斜边AB=400
m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,
(1)若甲、乙都以每分钟100
m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后到达E,甲到达D,求此时甲、乙两人之间的距离;
(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.
11.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两市相距20
km,C,D相距34
km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20
s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5
km.求震中A到B,C,D三市的距离.
12.如图,A,B,C三地有直道相通,其中AB、BC为步行道,AC为机动车道,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处,某校开展步行活动,从A地出发,经B地到达C地,中途不休息.
(1)媒体转播车从A出发,沿AC行至点P处,此时∠ABP=45°,求PB的距离;
(2)媒体记者随队步行,媒体转播车从A地沿AC前往C,两者同时出发,步行的速度为6千米/小时,为配合转播,转播车的速度为12千米/小时,记者和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到C地后原地等待,直到记者到达C地,若对讲机的有效通话距离不超过9千米,求他们通过对讲机能保持联系的总时长.
答案
1.海上有A,B两个小岛相距10
n
mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10
n
mile
B.
n
mile
C.5
n
mile
D.5
n
mile
分析：选D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.
由正弦定理得=,所以=,
解得BC=5(n
mile).
2.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6千米处.该船由A处向正北方向航行8千米到达C处,这时灯塔B与船相距
(　　)
A.2千米　　　
B.2千米
C.6千米
D.8千米
分析：选A.由题意,画示意图如图:
已知AB=6,AC=8,∠A=60°,
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos
A
=64+36-2×8×6×=52,
所以BC==2.
所以灯塔B与船之间的距离为2千米.
3.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1
km,CD=3
km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠BED=120°,则两山顶A,C之间的距离为
(　　)
A.2
km
B.
km
C.
km
D.3
km
分析：选C.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠BED=120°,
所以BE===,DE===;
在△BED中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2·BE·DE·cos∠BED=3+3-2×××=9,所以BD=3;所以AC===,即两山顶A,C之间的距离为
km.
4.如图,有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°,汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上,且仰角为45°,则山的高度CD为
(　　)
A.150
m
B.150
m
C.300
m
D.300
m
分析：选D.由题意可知:∠DAC=30°,∠DBC=45°,因为汽车到B点,测得D在北偏西30°方向上,所以∠ABC=120°.设山的高度为h,
在Rt△DCA中,tan∠DAC=?AC=h.
在Rt△DBC中,tan∠DBC=?BC=h.
在△BCA中,由余弦定理可得:AC2=BC2+AB2-2·BC·AB·cos∠ABC?h2-150h-45
000=0?h=300,h=-150(舍去).
5.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3
km到B处,再沿正东方向行走2
km到C处,则A,C两地的距离为　　　　km.?
分析：如图所示,由题意可知AB=3,BC=2,∠ABC=150°.
由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos
150°=49,AC=7.则A,C两地的距离为7
km.
答案:7
6.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120
m,求河的宽度.
分析：在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m).
如图作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
由正弦定理得=,
所以=,所以CD=60,所以河的宽度为60
m.
能力提升
1.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500
m,则电视塔在这次测量中的高度是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.100
m
B.400
m
C.200
m
D.500
m
分析：选D.
由题意画出示意图,设高AB=h,
在Rt△ABC中,由已知得BC=h,
在Rt△ABD中,由已知得BD=h,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos
∠BCD,即3h2=h2+5002+h·500,
解得h=500或h=-250(舍).
2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10
m,吊杆AC=15
m,吊索AB=5
m,则起吊的货物与岸的距离AD为
(　　)
A.30
m
B.
m
C.15
m
D.45
m
分析：选B.在△ABC中,AC=15
m,
AB=5
m,BC=10
m,
由余弦定理得cos
∠ACB=
==-,
所以sin
∠ACB=.
又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin
∠ACD=sin
∠ACB=.在Rt△ADC中,AD=AC·sin
∠ACD=15×=
m.
3.小赵开车从A处出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶,30分钟后到达B处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A的南偏东70°方向的C处,且A与C的距离为15千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王,则小赵到达C处所用的时间大约为(　　)
A.10分钟　
B.15分钟　
C.20分钟　
D.25分钟
分析：选B.根据条件可得∠BAC=30°,AB=20,AC=15,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
30°=175,则BC=5≈13(千米),由B到达C所需时间约为=0.25小时=15分钟.
4.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一,如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在船往东开2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,再开回C处,由C向西开2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛之间的距离为　　　　百海里
(　　)?
A.3
B.3
C.4
D.4
分析：选B.由题意,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,在△ADC中,可得∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,
所以AC=DC=2,在△BCE中,可得∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=45°,
由正弦定理可得=,可得BC===,
在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=+-2×2×cos60°=18,所以AB=3.
5.某人在A处向正东方向走x
km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3
km到达C处,结果他离出发点恰好
km,那么x的值可能是
(　　)
A.　　　B.2　　　C.3　　　D.3
分析：选AB.由题意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=,解得x=2或x=.
6.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20
m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有
(　　)
A.d1>d2　　　　　　B.d1C.d1<20
m
D.d2<20
m
分析：选BC.
如图,设旗杆高为h,则d1=,d2=.
因为tan
50°>tan
40°,所以d150°>tan
45°=1,所以d1<20
m.
7.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10
km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走　　　　.(结果精确到0.1
km)(参考数据:≈1.41,≈1.73)?
分析：过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10
km,
CD=AC·sin
30°=5(km),AD=AC·cos
30°=5(km).
在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),
BC==5(km).AB=AD+BD=(5+5)(km),AC+BC-AB=10+5-(5+5)
=5+5-5≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km).
答案:3.4
km
8.地平面上一旗杆设为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200
m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高h为　　　　m.?
分析：如图,OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200
m.
在△AOP中,因为OP⊥OA,
所以∠AOP=90°,则OA==h,
同理,在△BOP中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,
所以OB=OP=h.在△OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,
即2002=3h2+h2-2h2·cos
60°,
解得h=.
答案:
9.如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100
m,求山高MN.
分析：在△ABC中,因为∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,
所以AC==100.
在△AMC中∠MAC=75°,∠MCA=60°,
所以∠AMC=45°.
由正弦定理得=,即=,所以AM=100.在Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=100×sin60°=150,故山高MN是150
m.
10.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200
m,斜边AB=400
m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,
(1)若甲、乙都以每分钟100
m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后到达E,甲到达D,求此时甲、乙两人之间的距离;
(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.
分析：(1)依题意得BD=300,BE=100,
在△ABC中cos
B==,所以B=,
在△BDE中由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcosB
=3002+1002-2×300×100×=70
000,
所以DE=100.
答:甲、乙两人之间的距离为100
m.
(2)由题意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,
在Rt△CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycos
θ,
在△BDE中,由正弦定理得=,
即=
所以y==,0≤θ≤,所以当θ=时,y有最小值50.
答:甲、乙之间的最小距离为50
m.
11.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两市相距20
km,C,D相距34
km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20
s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5
km.求震中A到B,C,D三市的距离.
分析：在△ABC中,由题意得AB-AC=1.5×8=12(km).
在△ACD中,由题意得AD-AC=1.5×20=30(km).
设AC=x
km,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.
在△ABC中,cos
∠ACB=
==,
在△ACD中,cos∠ACD=
==.
因为B,C,D在一条直线上,所以=-,
即=,解得x=.
所以AB=
km,AD=
km.即震中A到B,C,D三市的距离分别为
km,
km,
km.
12.如图,A,B,C三地有直道相通,其中AB、BC为步行道,AC为机动车道,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处,某校开展步行活动,从A地出发,经B地到达C地,中途不休息.
(1)媒体转播车从A出发,沿AC行至点P处,此时∠ABP=45°,求PB的距离;
(2)媒体记者随队步行,媒体转播车从A地沿AC前往C,两者同时出发,步行的速度为6千米/小时,为配合转播,转播车的速度为12千米/小时,记者和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到C地后原地等待,直到记者到达C地,若对讲机的有效通话距离不超过9千米,求他们通过对讲机能保持联系的总时长.
分析：(1)在Rt△ABC中,sin
A===,
所以A=60°,则∠APB=180°-60°-45°=75°,
在△APB中由正弦定理得=,
则PB==9-3;
(2)设步行时间为t小时,记者位于E,媒体车位于F,①当t∈[0,1]时,E在AB上,AE=6t,AF=12t,由余弦定理可得EF=
==6t,
由EF≤9得6t≤9,所以0≤t≤;
②当t∈(1,1+]时,此时F在点C处,E在BC上,且BE=6(t-1),
EF=BC-BE=6-6(t-1)=6+6-6t,
由EF≤9得6+6-6t≤9,解得t≥-,
故他们通过对讲机能保持联系的总时长为+1+-(-)=.