10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

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10.1随机事件与概率
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间
索引2：随机事件、必然事件和不可能事件
(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.
(3)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.
索引3：概率
定义：对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件
A的概率用P（A）表示.
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(4)≥0
性质2：必然事件的概率为1.不可能事件概率为0.即P(Ω)=|，P(?)=0
性质3：互斥事件的概率加法公式:如果事件A与事件B互斥，那么性质P(AUB)=P(A)+P(B)
性质4：对立事件的概率公式:如果事件A与事B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)
性质5：概率的单调性:如果AB,那么P(A)≤P(B)
性质6：概率的计算公式:设A
,B是一个随机验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).特别地，当A与B互斥，即A∩B=?时，可得到性质3
索引4：古典概率
1.古典概型的定义
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
2.古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型:
①样本点(基本事件)个数有限,但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限,但等可能;
③样本点(基本事件)个数无限,也不等可能
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精例1
假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是
，则该射手每次射击的命中率为（???
）
???????????????????????????B.?????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】设该射手射击命中的概率为
，两次射击命中的次数为
，则
，
由题可知：
，即
，
解得
.
故答案为：C.
【分析】
设该射手每次射击的命中率为p,由在两次射击中至多命中一次的概率
?
，得到1-p2?=由此能求出该射手每次射击的命中率．
精例2
根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为
型49%，
型19%，
型25%，
型7%.已知同种血型的人可以互相输血，
型血的人可以给任何一种血型的人输血，
型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为
型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（???
）
?25%????????????????????????????????????
?32%?????????????????????????????????????
?74%?????????????????????????????????????
D.?81%
【答案】
C
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】由题意可知，能为
型血病人输血的有
型和
型，
因此，在该地区任选一人，能为病人输血的概率为49%+25%=74%.
故答案为：C
【分析】由题意可知，能为
型血病人输血的有
型和
型，由互斥事件的概率公式求解。
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练习1.以下三个命题：
①对立事件也是互斥事件；②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为
，每个女生被抽到的概率为
；③若事件
，
，
两两互斥，则
.
其中正确命题的个数为（???
）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
练习2.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角
，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是(??
)
????????????????????????B.?????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
练习3.某次联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表－等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为
，小华同学获得一次摸奖机会．
（1）求他不能中奖的概率；
（2）若该同学中一等奖或二等奖的概率是
，试计算黄球的个数．
练习4.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出
名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）求
这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（
分及以上为及格）.
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练习1
【答案】
B
【考点】分层抽样方法，互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】对于①，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故①正确；
对应②，可知该班有男生30人，女生20人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得出概率，故②错误；
对应③，事件
，
，
不一定包含所有事件，故
，故③错误.
故答案为：B.
【分析】由对立事件的定义可判断①；由分层抽样的定义可判断②；由互斥事件的概率理解可判断③.
练习2
【答案】
A
【考点】概率的意义
【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，
而小正方形区域的边长为
,面积为
，
故飞镖落在小正方形区域的概率
，
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合几何概型求概率的公式，从而求出飞镖落在小正方形内的概率。
练习3【答案】
（1）解：设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为
，
，
，
，它们是彼此互斥事件．
由题意得
，
．
由对立事件的概率公式得
．
∴不能中奖的概率为
；
（2）解：∵
，又
，
∴
．又
，
∴
．
∴中三等奖的概率为
，因此黄球的个数为
个．
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】
设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为??，??，??，??，它们是彼此互斥事件，推导出
?，
?，由对立事件的概率公式能求出不能中奖的概率；
（2）由
?，??，得到
，
，
从而求出中三等奖的概率为
?
，由此能求出黄球的个数。
练习4【答案】
（1）解：
这一组的频率为
，
这一组的频数为
；
（2）解：估计这次环保知识竞赛的及格率（
分及以上为及格）
.
【考点】频率分布直方图，互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】(1)
根据题意由已知的频率分布图的数据即可计算出结果。
(2)由概率的定义结合题意即可得出答案。