10.2事件的相互独立性-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§10.2事件的相互独立性
定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与,不与B,与B也相互独立
索引2：相互独立性事件与互斥事件的概率计算
已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件AB,都发生记为事件AB,都不发生记为事件,恰有一个发生记为事件,至多有一个发生记为事件
概率
A,B互斥
A,B相互独立
P(A)+P(B)
1-P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P()
l-[P(A)+P(B)]
P()P()
P()
P(A)+P(B)
P(A)P()+P()P(B)
PABUABUAB)
1
1-P(A)P(B)
索引2：判定两个事件是否相互独立的方法
(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
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精例1
.某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为
，
，
，在实际操作考试中“合格”的概率依次为
，
，
，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？
（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．
【答案】
（1）解：设“甲获下一轮比赛”为事件
，“乙获得下一轮比赛”为事件
，“丙获得下一轮比赛”为事件
，则
，
，
以及
，
，
的每两次考试之间彼此相互独立．
因为
，
，
．
因为
，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大．
（2）解：设“三人考试后恰有两人获得下一轮比赛”为事件
，则
．
由
，
，
．
可知
．
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为
．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（1）直接利用相互独立事件的运算公式的应用求出结果；
（2）利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果。
精例2
26.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子．
（1）求得分X的分布列；
（2）求得分大于6的概率．
【答案】
（1）解：X的取值为5、6、7、8．
，
，
，
．
X的分布列为
?X
?5
?6
?7
?8
?P
（2）解：根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为：
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）X的取值为5、6、7、8．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）根据X的分布列，能得到得分大于6的概率．
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练习1环保部门对5家造纸厂进行排污检查，若检查不合格，则必须整改，整改后经复查仍然不合格的，则关闭．设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的，且每家造纸厂检查前合格的概率是
，整改后检查合格的概率是
，求：
（Ⅰ）恰好有两家造纸厂必须整改的概率；
（Ⅱ）至少要关闭一家造纸厂的概率；
（Ⅲ）平均多少家造纸厂需要整改？（其中（
）5≈
）
练习2.袋子里装有大小相同，重量相等的5个红球和5个白球，用A表示第一个摸出的球是红球，B表示第二个摸出的球是红球，在下列条件下，问事件A与B是否为相互独立事件？
（1）第一个摸出的球不放回；
（2）第一个摸出的球要放回．
练习3.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：
所用的时间（天数）
10
11
12
13
通过公路l的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
练习4如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是
，且是相互独立的，则灯亮的概率为（???
）
????????????????????????B.???????????????????C.???????????????????????????D.?
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练习1.【答案】解：（Ⅰ）每家造纸厂必须整改的概率是1﹣0.5，
且每家造纸厂是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家造纸厂必须整改的概率是
P1=
×（1﹣0.5）2×0.53=
=0.31．
（Ⅱ）某造纸厂被关闭，
即该造纸厂第一次安检不合格，
整改后经复查仍不合格，
所以该造纸厂被关闭的概率是
P2=（1﹣0.5）×（1﹣0.8）=0.1，
从而该造纸厂不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家造纸厂是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家造纸厂的概率是：
P3=1﹣0.95=0.41；
（Ⅲ）由题设，必须整改的造纸厂数ξ服从二项分布B（5，0.5）．
从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家造纸厂必须整改
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（Ⅰ）由每家煤矿必须整改的概率是1﹣0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的．代入n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，即可得到答案；（Ⅱ）要至少关闭一家煤矿的概率．则表示该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到结论；（Ⅲ）由题意，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B（5，0.5），我们计算出ξ的数学期望，根据数学期望易得到平均有多少家煤矿必须整改．
练习2.【答案】
解：相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两事件叫做相互独立事件．
袋子里装有大小相同，重量相等的5个红球和5个白球，用A表示第一个摸出的球是红球，B表示第二个摸出的球是红球，
（1）第一个摸出的球不放回，事件A发生影响事件B发生，故事件A与B不是相互独立事件；
（2）第一个摸出的球要放回，事件A发生不影响事件B发生，故事件A与B是相互独立事件；
【考点】相互独立事件
【解析】相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
练习3.【答案】解：（I）频率分布表，如下：
所用的时间（天数）
10
11
12
13
通过公路1的频数
0.2
0.4
0.2
0.2
通过公路2的频数
0.1
0.4
0.4
0.1
设A1
，
A2分别表示汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙；B1
，
B2分别表示汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙．
∵P（A1）=0.2+0.4=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∴汽车A选择公路1，
∵P（B1）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽车A选择公路2；
（II）设X表示汽车A选择公路1，销售商支付给生产商的费用，则X=42，40，38，36
X的分布列如下：
?X
?42
?40
?38
36
?P
?0.2
?0.4
?0.2
?0.2
∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2﹣3.2=36.0（万元）
设Y为汽车B选择公路2时的毛利润，则Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下
?Y
?42.4
?40.4
?38.4
36.4
?P
?0.1
?0.4
?0.4
?0.1
∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大
【考点】概率的意义，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】（I）求出频率分布表，计算汽车A在约定日期（某月某日）的前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率；汽车B在约定日期（某月某日）的前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙的概率，即可得到结论；（II）分别确定汽车A、B为生产商获得毛利润的概率分布列，求出期望，比较期望值，即可得到结论．
练习4.【答案】
C
【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件
【解析】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，
这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，
所以灯泡亮的概率为
，
故答案为：C．
【分析】灯泡亮灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，这四种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．