10.3频率与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§10.3频率与概率
1.频率与概率的联系
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.
索引2：概率的意义
1.游戏的公平性
一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等如:
2.“降水概率是90%”的正确理解
“降水的概率为90%比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性.如果在类似条件下预报要下雨的那些天里，大约有90%确实下雨了，可认为是准确的，反之则不准确
索引3：频率估计概率
频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作频率
在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率(A)它以会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A
)估计概率P(A).
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精例1
.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线在正方形內的部分）的点的个数的估计值为（??
）
?1193???????????????????????????????????
B.?1359???????????????????????????????????
C.?2718???????????????????????????????????
D.?3413
【答案】B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：μ=﹣1，σ=1，
∵P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.9544，
即P（﹣2＜x＜0）=0.6826，P（﹣3＜x＜1）=0.9544，
∴P（0＜x＜1）=
（0.9544﹣0.6826）=0.1359，
∴点落入阴影的概率p=
=0.1359，
∴落入阴影的点个数约为10000×0.1359=1359．
故选：B．
【分析】根据正态分布的对称性得出阴影面积，从而得出点落入阴影的概率，即可得出答案．
精例2
.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（??
）
A.?????????????????????B.?????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r=
=3，
∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是
=
，
故选C．
【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求．
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练习1天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．用设计模拟试验的方法求这三天中恰有一天下雨的概率，利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%，因为是三天，所以每三个随机数作为一组，例如，产生了20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，028，556，488，720，123，536，983，则得到三天中恰有一天下雨的概率近似为（?
）
A.?25%????????????????????????????????????B.?30%????????????????????????????????????C.?40%????????????????????????????????????D.?45%
练习2.若利用计算机在区间（0，1）上产生两个不等的随机数a和b，则方程x=2有不等实数根的概率为（　　）
A.?????????????????????????????????B.????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
练习3.用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[﹣1，3]上，则需要经过的线性变换是（　　）
?y=3x1????????????????????????
????B.?y=3x+1?????????????????????????????
?C.?y=4x+1??????????????????????????
D.?y=4x﹣1
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练习1【答案】D
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有一天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有一天下雨的有：925，458，683，257，028，488，720，536，983共9组随机数，
∴所求概率为45%．
故选：D．
【分析】由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共9组随机数，根据概率公式，得到结果．
练习2【答案】
B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】∵方程x=2有不等实数根
∴方程有不等实数根
∴△=8a﹣8b＞0
∴a＞b
如图所示，方程x=2有不等实数根的概率为
故选B．
【分析】先根据方程x=2有不等实数根，确定a＞b，再根据在区间（0，1）上产生两个不等的随机数a和b，以面积为测度，即可求得概率。
练习3【答案】
D
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：根据题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，
设需要经过的线性变换为y=kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），如图．
从而有：
，
则需要经过的线性变换是y=4x﹣1．
故选D．
【分析】由题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，设需要经过的线性变换为y=kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），据此即可求得需要经过的线性变换．