第9章 统计 知识点总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第九章统计
知识总结
索引1：简单随机抽样
1.简单随机抽样的特点
1()它要求被抽取样本的总体个数N是有限的，
它是从总体中逐个抽取的.
它是一种等可能抽样.
2..常见的两种简单随机抽样方法
抽签法
先给总体中的 N个个体编号然后把所有编号写必的在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作修为号签,并将这些小纸片放在一一个不透明的盒里，充分搅拌最第后从盒中不放回地逐个抽取号签,直到抽足样本所需要的个数.
随机数法
对总体中的N个个体进行编号.用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进人样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的个数.
索引2：总体平均数与样本平均数
1.总体平均数
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，,?.，，则称
==
为总体均值，又称总体平均数，如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记?为，,?...，其中;出现的频数:?(i=1,?2,?....k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式
=
样体平均数
如果从总体中抽取-一个容量为n的样本，它们的变量值分别?为，，...?，则称

为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数
为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
索引3：条形统计图
条形图
定义:用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形,条形的宽度必须保持一致,然后把这些条形排列起来，这样的统计图称为条形图.
(2)特点
①条形图可以形象地比较各种数据之间的数量关系.
②条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型,另-条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一矩形都是等宽的.
索引4：扇形统计图
扇形图
(1)定义:用整个圆代替总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分
占总体的百分比的大小,这样的统计图称为扇形图.
(2)特点:扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况，扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长都与这一部分表示的数据大小成正比，
索引5：折形统计图
折线图
(1)定义:用一个单位长度表示一定的数据，根据数量的多少描出各点,然后用线段顺次把各点连接起来,这样的统计图称为折线图.
(2):)特点:折线图既可以表示出项目的具体数量,又能清楚地反时决数据的变化情况.
索引6：平均数、中位数和众数
众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数
平均数
样本数据的算术平均数
9
精例1
艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时, 从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是(? ??)
A.?中位数?????????????????????????????????
?B.?平均数??????????????????????????????????
?方差??????????????????????????????????
D.?极差
【答案】 A
【考点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】从7个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
其平均数、极差、方差都可能会发生改变，
不变的数字特征数中位数.
故答案为：A.
【分析】由已知条件结合数据的中位数、平均数、方差、极值的定义进行分析即可得出结论。
精例2
.某中学初中部有600名学生，高中部有800名学生，其性别比例如图所示，则该校男生比女生多（? ?）
?60人??????????????????????????????????
?100人??????????????????????????????????
?150人??????????????????????????????????
D.?180人
【答案】 B
【考点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：由题意可得，初中部男生人数为 ，女生人数为 ；高中部女生人数为 ，男生人数为 .故该校男生比女生多 人．
故答案为：B
【分析】分别求出初中部男生人数和女生人数，高中部女生人数和男生人数，由此能求出该校男生比女生多多少人．
9
练习1.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 ，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）根据下图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从 和 组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求 小组中至少有1人发言的概率？
练习2.某学校组建了演讲，舞蹈?航模?合唱，机器人五个社团，全校 名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这 名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：
则选取的学生中参加机器人社团的学生数为（??? ）
?50???????????????????????????B.?75?????????????????C.?100??????????????????????????????D.?125
练习32021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次 是否近视
近视 40 30
不近视 10 20
（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在 名和 名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在 名的概率.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
， 其中 .
练习4.已知随机变量 ， 满足 ，若 ， ，则（??? ）．
A.? ， ??????????????????????????????????????B.? ，
C.? ， ??????????????????????????????????????????D.? ，
9.
练习1
【答案】
（1）解：设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为 ，中位数为 ，
.
设抽查人员利用“学习强国”的中位数为 ，
，解得 .
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为6.7；
（2）解：
的人数为 人，设抽取的人数为 ，
组的人数为 人，设抽取的人数为 ，
则 ，解得 ， ，
所以在 和 两组中分别抽取30人和20人，
在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将 组中被抽取的工作人员标记为 ， ， ，
将 中的标记为 ， ，
设事件 表示从 小组中至少抽取1人，
则抽取的情况如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种情况，
其中在 中至少抽取1人有7种，则 .
【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数
【解析】【分析】 （1）根据平均数，中位数公式计算；
（2）先根据分层抽样求出每一组抽取的人数，求出抽取总事件，求出概率．
练习2
【答案】 B
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】由题意，本次调查的人数为 人，
其中合唱比赛所占的比例为 ，
所以机器人所占的比例为 ，
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为 人.
故答案为：B.

【分析】 由条形统计图得共抽到50名同学演讲，由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，从而求出一共抽取的学生数为500人，再求出抽到的学生中合唱学生占40%，由此能求出选取的学生中参加机器人社团的学生数．
练习3
【答案】 （1）解：由图可知，第三组和第六组的频数为 人
第五组的频数为 人
所以前四组的频数和为 人
而前四组的频数依次成等比数列
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有 （或 ）
解得
所以中位数是4.74
（2）解：因为
所以
所以
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
（3）解：依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在 名和
名的分别有2人和4人
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个
至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个
所以至少有1人的年级名次在 名的概率为 .
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，进行求解即可；
（2）由已知得 ，进行计算得 ，得出 在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系 ；
（3）根据分层抽样的方法，再跟根据基本事件的概率进行运算即可。
练习4【答案】 A
【考点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ．
故答案为：A．
【分析】根据均值与方差在数据变化前后的关系计算．