第10章 概率 知识点总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

知识总结
索引1：概率
定义：对随机事件发生可能性大小的度重(数值)称为事件的概率,事件 A的概率用P（A）表示.
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(4)≥0
性质2：必然事件的概率为1.不可能事件概率为0.即P(Ω)=|，P(?)=0
性质3：互斥事件的概率加法公式:如果事件A与事件B互斥，那么性质P(AUB)=P(A)+P(B)
性质4：对立事件的概率公式:如果事件A与事B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)
性质5：概率的单调性:如果AB,那么P(A)≤P(B)
性质6：概率的计算公式:设A ,B是一个随机验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).特别地，当A与B互斥，即A∩B=?时，可得到性质3
1.频率与概率的联系
在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.
索引3：概率的意义
1.游戏的公平性
一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等如:
2.“降水概率是90%”的正确理解
“降水的概率为90%比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性.如果在类似条件下预报要下雨的那些天里，大约有90%确实下雨了，可认为是准确的，反之则不准确
定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与,不与B,与B也相互独立
（1）定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间
（2）表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点
（3）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间=为有限样本空间
索引6：随机事件、必然事件和不可能事件
(1)随机事件:我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,表示，在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件:作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.
(3)不可能事件:空集中不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.
索引7：频率估计概率
频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能不同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作频率
在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率(A)它以会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A )估计概率P(A).
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（?? ）
A.?“至少1名男生”与“全是女生”
B.?“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
C.?“至少1名男生”与“全是男生”
??D.?“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
【答案】 D
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．
A中的两个事件为对立事件，故不正确；
B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；
D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合互斥事件、对立事件的判断方法，进而推出互斥但不对立的两个事件。
例题2
.下列关于概率的说法正确的是（??? ）
?频率就是概率?????????????????????????????????????????????????????B.?任何事件的概率都是在(0，1)之间
C.?概率是客观存在的，与试验次数无关??????????????????D.?概率是随机的，与试验次数有关
【答案】 C
【考点】概率的意义
【解析】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间 的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，
故答案为：C.
【分析】根据频率与概率的定义一一进行判断可得答案.
例题3
.甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，求：
（1）甲胜的概率；
（2）甲不输的概率．
【答案】 （1）解：“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为
（2）解：方法一：设“甲不输”为事件 ，可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 ；
方法二：设“甲不输”为事件 ，可看作是“乙胜”的对立事件，所以 ，即甲不输的概率是 .
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】（1）按照对立事件的概率计算公式计算即可；（2）按照对立互斥事件的概率计算公式计算即可.
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练习1.设甲、乙两位同学上学期间，每天 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）设甲同学上学期间的三天中 之前到校的天数为 ，求 ， ， ， 时的概率 ， ， ， ；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 之前到校的天数比乙同学在 之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
练习2.矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为 (??? )

?16???????????????????????B.?16.32???????????????????C.?16.34??????????????????????????D.?15.96
练习3.如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为（　　）
???????????????????????B.??????????????????????C.???????????????????????????????D.?
练习4.某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（　　）
A.???????????????????????????B.??????????????????????C.???????????????????????D.?以上都不对
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练习1【答案】
（1）解：由独立事件的概率乘法公式可得 ，
， ，
；
（2）解：设乙同学上学期间的三天中 之前到校的天数为Y，则 ，
所以， .
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
根据独立事件的概率乘法公式可求得 ， ， ， ；（2）设乙同学上学期间的三天中 之前到校的天数为Y，找出事件M所包含的基本事件，利用概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式可求出事件M的概率.
练习2【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】 设阴影部分的面积为 ?，则由几何概型概率公式可得 ?即 ? ,
故答案为：B.
【分析】由模拟方法估计概率的计算方法易得阴影部分的面积.
练习3【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是 ，
矩形的面积为10，设阴影部分的面积为S阴影 ，
则有，
∴S阴影= ，
故选：A．
【分析】由已知中矩形的长为5，宽为2，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积．
练习4【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】解：我们把从A到3的路线图单独画出来：
分析可得，
从A到3总共有C52=10种走法，每一种走法的概率都是 ，
∴珠子从出口3出来是 ．
故选A．
【分析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是 ， 而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案．