4.1同角三角函数的基本关系-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（29张PPT）

同角三角函数的基本关系
授课教师：
温故知新
学习目标
1.借助单位圆，理解同角三角函数值的基本关系
式，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角
函数值的方法；（重点）
2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、
化简三角式或证明三角恒等式.（难点）
课文精讲
如图，任意角α的终边与单位圆的交点P
的坐标是(cos α ，sin α)，点P到坐标原点O的
距离为1，所以

基本关系式
sin2a+cos2a=1
M
O
1
x
y
α
P(cos α ，sin α)
课文精讲
另外，由正切函数的定义，有
基本关系式
tanα=????????????????????????????????
?
这两个关系式是同角三角函数的基
本关系式.
M
O
1
x
y
α
P(cos α ，sin α)
课文精讲
由角α的某一个三角函数值，利用sin2a+
cos2a=1和tanα=????????????????????????????????这两个关系式，可以求出
其他三角数值.
?
由一个三角函数值求其他三角函数值
典型例题
例1：已知sina=???????? ，且角α的终边在第二象限，
求????????????????和tanα的值.
?
解：由式sin2a+cos2a=1有
cos2a=1-sin2a=1-????????????=????????????.
又角α的终边在第二象限，cosa＜0，所
以cosa=-????????.
?
典型例题
例1：已知sina=???????? ，且角α的终边在第二象限，
求????????????????和tanα的值.
?
解：tanα=???????????????????????????????? =????????÷?????????=- ????????.
?
典型例题
例2：已知?????????????????=?????????????????，求????????????????和tanα的值.
?
解：由式sin2a+cos2a=1有
sin2a=1-cos2a=1-?????????????????????=?????????????????????.
因为?????????????????=??????????????????＜0，所以角????的终边在第
二或第三象限.
?
典型例题
例2：已知?????????????????=?????????????????，求????????????????和tanα的值.
?
解：当????的终边在第二象限时， ????????????????＞0，

?
sinα= ?????????????????????=????????????? ，
?
tanα=???????????????????????????????? =?????????????÷?????????????????=?????????????.
?
典型例题
例2：已知?????????????????=?????????????????，求????????????????和tanα的值.
?
解：当????的终边在第三象限时， ????????????????＜0，

?
sinα= ??????????????????????=?????????????? ，
?
tanα=???????????????????????????????? =??????????????÷?????????????????= ????????????.
?
典型例题
例3：已知tan?????=m(m≠0)，求????????????????和cosα的值.
?
解：由sin2a+cos2a=1和tanα=????????????????????????????????这两个关系式，有
?
???????????????????????????????? =m.②
?
sin2a+cos2a=1 ①
由②式得sin2a=m2cos2a.③
将③式代入①式得m2cos2a+cos2a=1.
典型例题
例3：已知tan?????=m(m≠0)，求????????????????和cosα的值.
?
解：从而cos2a= ????????????+???? .
因为tan????=m≠0，即角????的终边不在x轴、y轴上，
?
典型例题
例3：已知tan?????=m(m≠0)，求????????????????和cosα的值.
?
解：
所以cosα=
????????+????????
?
-????????+????????
?
当????是第一、第四象限角
?
当????是第二、第三象限角
?
注意：利用平方关系求三角函数
值时，应根据角????的终边所在的
象限确定所求三角函数值的符号.
?
典型例题
例3：已知tan?????=m(m≠0)，求????????????????和cosα的值.
?
解：
????????????????=cosα tan????
?
????????+????????
?
?????????+????????
?
当????是第一、第四象限角
?
当????是第二、第三象限角
?
=
典型例题
例4：已知?????????????????- cosα =- ????????，π＜α＜???????? π，求
tan????的值.
?
解：由已知条件sin2a+cos2a=1有
综合应用
????????????????-cosα=- ????????
?
sin2a+cos2a=1
消去cosa，得25sin2a+5????????????????-12=0.
解方程，得????????????????= ????????或????????????????=- ????????.
?
典型例题
例4：已知?????????????????- cosα =- ????????，π＜α＜???????? π ，求
tan????的值.
?
解：因为π＜????＜???????? π， ????????????????＜0，所以
?????????????????????????=? ????????.
代入已知条件，得cosα =- ????????.
?
综合应用
典型例题
例4：已知?????????????????- cosα =- ????????，π＜α＜???????? π，求
tan????的值.
?
解：于是由tanα=????????????????????????????????有
tanα=????????????????????????????????=??????????÷??????????=????????.
?
综合应用
典型例题
求三角函数值的时候，通常是利用同角三
角函数的基本关系和已知条件把问题归结为:
解正弦(或余弦)函数值的一个一元二次方程，
或者解正弦函数和余弦函数值的二元方程组.
综合应用
典型例题
例5：已知tanα=3，求
综合应用
????????????????+?????????????????????????????????????????????????.
?
解：因为tanα=????????????????????????????????=3，所以????????????????≠0.
有????????????????+?????????????????????????????????????????????????=????????????????????????????????+??????????????????????????????????????????=????+?????????????=2.
?
典型例题
思考交流
本例的解法比较巧妙，并不需要求得????????????????
和????????????????的值，但如果题目换成 呢？
?
综合应用
????????????????+????????????????+?????????????????????????????????????
?
典型例题
证明恒等式，既可以利用恒等式的“左式
减右式为零”进行证明，也可以证明恒等式的
左式、右式分别等于同一个式子.
综合应用
典型例题
例6：求证：?????????????????????????????????????=????+????????????????????????????????(cos???? ≠0).
?
综合应用
证明：由cos???? ≠0，知????????????????≠1，所以1- ???????????????? ≠0.
于是??????????????????????????????????????????+????????????????????????????????
=?????????????????????(????+????????????????)(?????????????????????)(?????????????????????)????????????????
=?????????????????????(?????????????????????????)(?????????????????????)????????????????
=?????????????????????????????????????????(?????????????????????)????????????????=0.
所以原式成立.
?
典型例题
例7：求证：??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????+????????????????????????????????????.
?
综合应用
证明：由sin2θ+cos2θ=1有
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=????????????????????+??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
=(?????????????????????????????????)????(?????????????????????????????????)?(????????????????+????????????????)
=?????????????????????????????????????????????????+???????????????? ，
?
典型例题
例7：求证：??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.
?
综合应用
证明：?????????????????????????????????????????????+????????????????????????????????????= (?????????????????????????????????)(????????????????+????????????????)(????????????+????????????????)????
= ?????????????????????????????????????????????????+????????????????.
?
故??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????+????????????????????????????????????.
?
综合练习
已知sinx+cosx= ????????且-π＜x＜0，则sinx-cosx=
______.
?
证明：∵ sinx+cosx= ????????，
两边平方可得：1+2sinxcosx= ????????????，
∴解得：2sinxcosx=- ?????????????????＜0，
又∵ -π＜x＜0，
可得sinx ＜0，cosx＞0，
?
综合练习
已知sinx+cosx= ????????且-π＜x＜0，则sinx-cosx=
______.
?
证明：∴ sinx-cosx= ????????????????????????????????????????
=???????????????????????????????????????????
=????????????????????????= ?????????.
?
?????????
?
本课小结
再 见