4.2.1两角和与差的余弦公式及其应用-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（18张PPT）

两角和与差的余弦公式及其应用
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握两角和与差的余弦公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
问题提出
已知任意角α，β的正弦、余弦，能推出
α +β ， α-β的余弦吗?
两角和与差的余弦公式及其应用
课文精讲
分析理解
现在，考虑cos(α-β)与角α，β的正弦和余
弦的关系.
因为余弦函数是偶函数，所以可以只讨论
α≥β.
两角和与差的余弦公式及其应用
课文精讲
分析理解
如图，设角α，β的终边与单位圆的交点
分别记为P，Q.此时，点P和点Q的坐标分别
为(cosα，sinα)和(cosβ，sinβ).
两角和与差的余弦公式及其应用
O
1
x
y
α
P
β
Q
课文精讲
分析理解
如果0≤α-β≤π，那么可以用向量的数量积
求cos(α-β).由于向量?????????和向量?????????都是单位向
量，它们的夹角是α-β，根据向量数量积的定
义知， ?????????· ?????????= cos(α-β)，再利用向量的坐
标表示，得
cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ.
?
两角和与差的余弦公式及其应用
O
1
x
y
α
P
β
Q
课文精讲
分析理解
如果π≤α-β≤2π，那么2π- (α-β)是向量?????????
和向量?????????的夹角(如图).由诱导公式知，
?????????·??????????=?????????????[?????????(?????????)]=???????????? (α-β).
所以cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ.
?
对于任意角α，β来说，上述结论仍然成立.
两角和与差的余弦公式及其应用
O
1
x
y
α
P
β
Q
课文精讲
这样就得到了两角差的余弦公式：
cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ，记作Cα-β.
因为α+β=α-(-β) ，所以由公式Cα-β，得
cos(α+β)= cos[α- (-β)]
=cosαcos (-β)+sinαsin (-β)
= cosαcosβ-sinαsinβ.
这就是两角和的余弦公式，记作Cα+β.
这里用的是加法和减法运
算的联系.因为Cα-β 中对任
意α，β都成立，所以把其
中的β换成-β也一定成立.
两角和与差的余弦公式及其应用
课文精讲
两角和与差的余弦公式总结如下：
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ.(Cα+β)
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β)
两角和与差的余弦公式及其应用
典型例题
例1：利用两角差的余弦公式求cos15°的值.
解：我们熟知30°，45°，60°的三角函数值，15°可用60°-45°表示，也可用45°-30°表示.
cos15°=cos (60°-45°)
=cos60°cos 45°+ sin60°sin 45°
=????????×????????+????????×????????
=????+????????.
?
典型例题
例2：已知?????????＜β＜α＜π，sin(α-β)=????????，cos β=?????????????，求cosα的值.
?
解：观察已知的两个角α-β，β与未知角α之间的运算关系，可以得到α=(α-β)+ β.
因此，求cos α的值可以看成求两个角α-β , β和的余弦值.
典型例题
解：因为?????????＜β＜α＜π，所以0＜α-β＜ ????????，
???????? ＜β＜π(如图).
从而cos(α-β) = ?????????????????????(?????????)

?
=??????????????????= ????????.
?
O
1
x
y
α-β
β
例2：已知?????????＜β＜α＜π，sin(α-β)=????????，cos β=?????????????，求cosα的值.
?
典型例题
解：sinβ= ?????????????????????????

?
=??????????????????????= ????????????????.
?
因此cosα= cos[ (α- β)+β]
= cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β
=????????×??????????????-????????×????????????????=?????????????????.
?
O
1
x
y
α-β
β
例2：已知?????????＜β＜α＜π，sin(α-β)=????????，cos β=?????????????，求cosα的值.
?
综合练习
cos24°cos36°-sin24°cos54°的值等于_____.
解： cos24°cos36°-sin24°cos54°
=cos24°cos36°-sin24°sin36°
=cos(24°+36°)=cos60°= .
????????
?
????????
?
综合练习
化简式子cos15°cos45°+sin15°sin45°的值
是（　　）
A. B. C. D.
解：由两角差的余弦公式可得
cos15°cos45°+sin15°sin45°
=cos(45°-15°)=cos30°= .
故选：B．
????????
?
?????????
?
????????
?
?????????
?
B
????????
?
本课小结
再 见