4.2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件

两角和与差的正弦、正切公式及其应用
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公
式，可以推导出两角和与差的正弦公式.
sin(α+β)= cos??????????(????+????)

?
= cos(?????????????)?????
?
= cos(?????????????)????????????????+sin (?????????????)sin????
=sin????????????????????+????????????????sin????.
?
两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课文精讲
借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公
式，可以推导出两角和与差的正弦公式.
sin(α-β)= cos????+(?????)
=sin????????????????(?????)+????????????????sin(?????)
=sin????????????????????-????????????????sin????.
?
两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课文精讲
从而可得两角和与差的正弦公式，记作Sα±β.
sin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ.(Sα+β)
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ. (Sα-β)
两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课文精讲
由正切函数的定义，有
tan(α+β)=????????????(????+????)????????????(????+????)
?
=????????????????????????????????+?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
分子、分母同除以????????????????????????????????(????????????????????????????????≠0)，
得到两角和与差的正切公式，记作Tα+β.
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tan(α+β)=????????????????+????????????????????????????????????????????????????? (Tα+β)
?
tan(α-β)=?????????????????????????????????????+???????????????????????????????? (Tα-β)
?
两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课文精讲
从推导过程可以知道α，β均有一定的取
值范围，即
α≠kπ+?????????(k∈Z)，
β≠kπ+?????????(k∈Z)，
α±β≠kπ+?????????(k∈Z).
?
这样，才能保证tanα， tanβ及tan(α±β)，
都有意义.
两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课文精讲
tan(α+β)=????????????????+????????????????????????????????????????????????????? (Tα+β)
?
tan(α-β)=?????????????????????????????????????+???????????????????????????????? (Tα-β)
?
sin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ.(Sα+β)
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ. (Sα-β)
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ.(Cα+β)
cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β)
和角公式
差角公式
两角和与差的正弦、正切公式及其应用
典型例题
例1：已知cosα=?????????，α为第三象限角，求
sin?????????????， cos????????+????的值.
?
解：由α为第三象限角，得
cosα=??????????????????????????=???????????????????=?????????.
sin?????????????=sin???????? cosα-cos ????????sin??????
=????????× ??????????????????×??????????=?????????????.
?
典型例题
例1：已知cosα=?????????，α为第三象限角，求
sin?????????????， cos????????+????的值.
?
解： cos????????+????=cos???????? cosα-sin ????????sin??????
=????????× ??????????????????×??????????=?????????????.
?
典型例题
在例1中，两个三角函数值相等，这是一
个必然现象还是巧合？请你从sin?????????????与
cos????????+????之间的关系进行思考.
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典型例题
解： (1) tan(α-β)= )=?????????????????????????????????????+????????????????????????????????=???????????????????+????×?????????=7.
?
例2：已知tanα=2，tanβ=-????????，其中0＜α＜ ?????????＜ β＜π.求：(1) tan(α-β)； (2) α+β.
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典型例题
例2：已知tanα=2，tanβ=-????????，其中0＜α＜ ?????????＜ β＜π.求：(1) tan(α-β)； (2) α+β.
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解：(2) tan(α+β)=????????????????+?????????????????????????????????????????????????????=????+???????????????????×?????????=1.
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因为0＜α＜ ?????????， ?????????＜ β＜π，所以?????????＜ α+β ＜ ????????????.
由于在????????与????????????之间，只有????????????的正切值等于1，故
α+β= ????????????.
?
综合练习
若tan(α+????????)=-3，则????????????????????+????????????????????????????????????????????????? =( ).
A.-4 B.4 C.5 D.-5
?
解： tan(α+????????)= ????????????????+????????????????????????? =-3，解得tanα=2.
故????????????????????+????????????????????????????????????????????????? = ????????????????????+?????????????????????????=-5.
故选D.
?
D
综合练习
若sin(α+????????)=????(sinα+2????????????α)，则tanα=_____.
?
解： 若sin(α+????????)=????(sinα+2????????????α)，
则sinα×????????+????????????α×????????=????(sinα+2????????????α)，
∴sinα+3????????????????=0，????????????????= ?????????????????????????????????=?3.
?
-3
本课小结
再 见