4.2.3三角函数的叠加及其应用-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（19张PPT）

三角函数的叠加及其应用
授课教师：
温故知新
学习目标
1.熟记三角函数的叠加公式；（重点）
2.会熟练运用三角函数的叠加求解相关问题.（难
点）
课文精讲
由公式Cα+β ， Cα-β ， Sα+β ， Sα-β可以把
α±β的三角函数式转化成的三角函数式.如果
从右往左使用公式，可以将三角函数式化简.
典型例题
例1：化简:
(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°；
(2) ????????cosx+????????sinx.
?
解：(1)由公式Sα-β ，得
sin72°cos42°-cos72°sin42°
=sin(72°-42°)=sin30°= ?????????；
?
典型例题
例1：化简:
(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°；
(2) ????????cosx+????????sinx.
?
解：(2)可以将????????，????????分别看成sin ????????和cos????????.
由公式Sα+β，得，
????????cosx+????????sinx= sin ???????? cosx+cos???????? sinx
= sin????????+????.
?
课文精讲
一般地，当a，b不同时为0时，
a????????????????+????????????????????=????????+????????????????????+????????????????????????+????????????+????????????????????????.
?
根据Sα+β引入辅助角φ，使得
????????????+????????=????????????????， ????????????+????????=????????????????.
?
课文精讲
所以a????????????????+????????????????????==????????+????????sin(????+????)(a，b
不同时为0).
其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值
由????????????????和???????????? φ的值确定，也就是由tanφ= ????????来确定.
?
典型例题
例2：求f(x)=sinx+????cosx的最大值和周期.
?
解： f(x)=2????????????????????????++????????????????????????
=2 ????????????????????????????????????+????????????????????????????????????
=2sin ????+????????.

?
故当x+????????=2kπ+????????(k∈Z)，也就是当x=
2kπ+????????(k∈Z)时，sin????+????????取最大值1，
函数f(x)的最大值为2，周期T=2π.
?
典型例题
由例2可发现，利用两角和或差的三角
函数公式，可以将某些三角函数式化简成为
Asin(ωx+φ)的形式，以利于研究这类三角函
数的图象和性质.
课文精讲
思考：
1.求函数f(x)=sinx+cosx的最大值、最小值和
周期.
2.利用上述问题的研究方法，求函数f(x)=
asinx+bcosx(a，b不同时为0)的最大值、
最小值和周期.
典型例题
例3：已知三个电流瞬时值的函数解析式分别是I1=????sinωt， I2= 2sin ?????????????????， I3= 4sin ????????+????????，其中ω为常数，t为线圈旋转的时间，求它们合成后的电流瞬时值的函数解析式，并求出这个函数的振幅.
?
解：将三个电流瞬时值的函数解析式化成f(x)= Asin(ωx+φ)的形式.
典型例题
例3：I1=????sinωt， I2= 2sin ??????????????????， I3= 4sin????????+?????????.
?
解：由两角和与差的正弦公式有
I= I1 + I2 + I3
= ????sinωt+ 2sin ??????????????????+ 4sin????????+?????????
= ????sinωt+ 2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
+4 ????????????????????????????????????????+????????????????????????????????????????
=4????sinωt+????cosωt= ???????? ????????????????????????????????+????????????????????????????????
=????????(sinωt cosθ+cosωtsinθ)=????????sin(ωt+θ)，
?
典型例题
解：其中tanθ=????????，所以I=????????sin(ωt+θ)，且它的
振幅是????????.
?
例3：I1=????sinωt， I2= 2sin ??????????????????， I3= 4sin????????+?????????.
?
典型例题
由此可知，几个振幅和初相不同但频率相
同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频
率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅和
初相.
综合练习
已知函数f(x)=sin????????+????cos????????在(0， a)(a＞0)上是增函数，则a的取值范围是______.
?
解： f(x)=sin????????+????cos????????=2sin????????+????????，
由- ????????+2k?????≤ ????????+????????≤????????+2k????，k∈Z，
得??????????????+4k?????≤ ?????≤????????+4k，k∈Z，
取k=0得- ?????????????≤ ?????≤ ?????????，
所以0＜a≤ ????????. 故a的取值范围是(0，????????].
?
(0，????????]
?
综合练习
设θ∈?????????，????????，若函数f(x)=sin(x+ θ)+
????cos(x+ θ)是奇函数，则θ =_____.
?
解：函数f(x)=sin(x+ θ)+????cos(x+ θ) =2sin(x+ θ+????????)是奇函数，
故θ+????????=k????，k∈Z，又θ∈?????????，???????? ∴k=0，θ =?????????.
?
?????????
?
本课小结
再 见