4.2.4积化和差与和差化积公式-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（19张PPT）

积化和差与和差化积公式
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握积化和差、和差化积公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
在讨论三角函数的一些问题过程中，有时
需要把三角函数的积化为和或者差，有时又要
把和或者差化成积的形式.
三角函数的积化和差
课文精讲
前面我们已经学习了两角和与差的正弦、
余弦公式，分别如下：
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ②
sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ ③
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ④
三角函数的积化和差
课文精讲
下面是积化和差公式：
cosαcosβ=????????[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=?????????[cos(α+β)-cos(α-β)]
sinαcosβ=????????[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=????????[sin(α+β)-sin(α-β)]
?
三角函数的积化和差
课文精讲
积化和差公式可以将两个三角函数值的积
化为另两个三角函数值的和乘常数的形式，常用
于三角函数的求值和化简.
三角函数的积化和差
典型例题
例1：求sin????????????????cos ????????????的值.
?
解：sin????????????????cos ????????????=????????[sin ????????????????+?????????????+ sin??????????????????????????????]
=???????? ????????????????????+?????????????????????
=????????+????????.
?
典型例题
例2：求证sin15°sin30°sin75°=????????.
?
证明： sin15°sin30°sin75°
=????????sin15°sin75°
=?????????[cos(15°+75°)-cos(15°-75°)]
=?????????(cos90°-cos60°)
=?????????×(?????????)=????????.
?
课文精讲
从积化和差的4个公式可以得出
sin(α+β)+ sin(α-β)=2sinαcosβ
sin(α+β)- sin(α-β)=2cosαsinβ
cos(α+β)+ cos(α-β)=2cosαcosβ
cos(α+β)- cos(α-β)=?2sinαsinβ
?
三角函数的和差化积
课文精讲
设α+β=x， α-β=y，则α=????+????????，β=?????????????.
?
这样，上一页得出的四个式子可以写成
sinx+siny=2sin????+????????cos?????????????
?
和
差
化
积
公
式
sinx-siny=2cos????+????????sin?????????????
?
cosx+ cosy=2cos????+????????cos?????????????
?
cosx-cosy=?2sin????+????????sin?????????????
?
三角函数的和差化积
课文精讲
利用和差化积公式和其他三角函数
关系式，我们可把某些三角函数的和或
差化成积的形式.
三角函数的和差化积
典型例题
例3：把下列各式化为积的形式：
(1)sin103°+sin17°；
(2)cos ????+?????????-cos ?????????????.
?
解： (1)sin103°+sin17°
=2sin????????????°+????????°????cos????????????°?????????°????
=2sin60°cos43°=????cos43°.
?
典型例题
例3：把下列各式化为积的形式：
(1)sin103°+sin17°；
(2)cos ????+?????????-cos ?????????????.
?
解： (2)cos ????+?????????-cos ?????????????
=?2sin????+????????+???????????????·sin????+????????????????????????
=?2sin ????·sin????????=?????sin????.
?
典型例题
例4：把cosx+????????化为积的形式.
?
解：cosx+????????
=cosx+cos????????
=2cos ????+?????????????cos ?????????????????
=2cos ????????+????????????cos ?????????????????????.
?
综合练习
已知sinα+sin????=????????，cosα+cos????=????????，则tan(α+????)
的值为_____.
?
解： 由sinα+sin????=????????，得2sin ????+???????? cos?????????????=????????，
由cosα+cos????=????????，得2cos ????+???????? cos?????????????=????????，
两式相除，得tan ????+????????=????????，
?
则tan(α+????)= ?????????????????????+?????????????????????????????????+???????? =????×?????????????????????????=????????????.
?
????????????
?
综合练习
计算：????????????????????°+????????????????????°????????????????????°?=_____.
?
解：????????????????????°+????????????????????°????????????????????°?
=????????????（????????°+????????°）+????????????（????????°?????????°）????????????????????°
=????????????????????????°????????????????????°?????????????????????°?=????????????????????????°= ????.
?
????
?
本课小结
再 见