4.3.1二倍角公式-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（16张PPT）

二倍角公式
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握二倍角公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令
β=α，便得到
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα (S2α)
cos2α=cos2α-sin2α (C2α)
=2cos2α-1
= 1-2sin2α
tan2α=????????????????????????????????????????????? (T2α)
?
课文精讲
以上公式称为二倍角的正弦、余弦、正切
公式，统称为二倍角公式.这些公式仅对于使
等号两边都有意义的α成立.
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα (S2α)
cos2α=cos2α-sin2α (C2α)
=2cos2α-1
= 1-2sin2α
tan2α=????????????????????????????????????????????? (T2α)
?
典型例题
例1：已知角α是第二象限角，cosα=?????????，求
sin2α， cos2α和tan2α的值.
?
解：因为角α是第二象限角，所以sinα＞0，
sinα=?????????????????????????=????????.
?
典型例题
例1：已知角α是第二象限角，cosα=?????????，求
sin2α， cos2α和tan2α的值.
?
解：由二倍角公式，有
sin2α=2sinαcosα=?????????????????，
cos2α=2cos2α-1=2× ?????????????-1=?????????????，
?
tan2α = ???????????????????????????????????????? = ?????????????????????????????? = ????????????.
?
典型例题
例2：在△ABC中，已知AB=AC=2BC，求角
A的正弦值.
解：如图，过点A作BC的垂线，垂足为D.设∠BAD=θ，则∠BAC=2θ.
因为BD=????????BC=????????AB，
所以sinθ=????????????????=????????.
?
D
A
B
C
θ
典型例题
例2：在△ABC中，已知AB=AC=2BC，求角
A的正弦值.
解：因为0＜2θ＜π，所以0＜θ＜????????，
于是cosθ=?????????????2 =????????????.
故sin∠BAC=sin2θ=2sinθcosθ
=2×????????×????????????=????????????.
?
D
A
B
C
θ
典型例题
例3：要把半径为R的半圆形木料截成矩形，
应怎样截取，才能使矩形面积最大？
解：如图，设圆心为O，矩形面积为S，∠AOB=α，则
AB=Rsinα，OB=Rcosα，
S=Rsinα·2(Rcosα)
=2R2sinαcosα
=R2sin2α.
A
O
B
R
α
典型例题
例3：要把半径为R的半圆形木料截成矩形，
应怎样截取，才能使矩形面积最大？
解：当sin2α取最大值1，即α= ????????时，矩形面积最大，最大面积等于R2.
?
A
O
B
R
α
综合练习
已知sinα=????????，则sin ????????+cos ????????=_____.
?
解：∵已知sinα=????????，
∴(sin ????????+cos ????????)2=1+ sinα=1+????????=????????.
则sin ????????+cos ????????=±????????????.
?
±????????????
?
综合练习
若α∈(0，π)，且cosα+sinα=?????????，求cos2α.
?
解： 因为cosα+sinα=?????????， α∈(0，π)，
所以(cosα+sinα)2=????????，可得
sinαcosα=?????????，
从而sinα＞0，cosα＜0，

?
综合练习
若α∈(0，π)，且cosα+sinα=?????????，求cos2α.
?
解： 可得cosα-sinα=?(????????????????+????????????????)?????????????????????????????????????????
=?????????????，
可得cos2α=????????????????????-????????????????????
=(????????????????+????????????????)(?????????????????????????????????)
=?????????×?????????????=????????????.
?
本课小结
再 见