4.3.2半角公式-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（18张PPT）

半角公式
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握半角公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
明.（难点）
课文精讲
在利用二倍角公式解决问题时，已知角
α的一个三角函数值和它所在的象限就可以
求出这个角的二倍角的所有三角函数值.如
果已知一个角α的一个三角函数值.能否求
出这个角的半角????????的所有三角函数值?
?
半角公式
课文精讲
在二倍角公式cos2α=1-2sin2α，cos2α=
2cos2α-1中，用????????代替α得
?
半角公式
cosα=1-2sin2 ????????；
cosα=2cos2 ?????????-1.
?
课文精讲
上式两边分别相除，可得
半角公式
tan????????=±?????????????????????????+????????????????.
?
由此得 sin ????????=±?????????????????????????；
cos ????????=±????+????????????????????.
?
课文精讲
半角公式
tan????????=????????????????????????????????????????=????????????????????·????????????????????????????????????????????·????????????????????????=????????????????????+????????????????
?
又根据正切函数的定义，得到
tan????????=????????????????????????????????????????=????????????????????·????????????????????????????????????????????·????????????????????????=?????????????????????????????????????
?
课文精讲
半角公式
tan????????=????????????????????+????????????????
?
这样我们就得到另外两个公式：
tan????????=?????????????????????????????????????
?
课文精讲
半角公式
以上我们得到的5个有关半角三角函
数的公式，称之为半角公式.
sin ????????=±?????????????????????????；cos ????????=±????+????????????????????.
?
tan????????=±?????????????????????????+????????????????=????????????????????+????????????????=?????????????????????????????????????.
?
课文精讲
半角公式
在这些公式中，根号前面的符号由????????
所在象限想应的三角函数值的符号确定，
若????????所在象限无法确定，则应保留根号前
面的正、负两个符号.
?
典型例题
例1：求sin????????的值.
?
解： 由半角公式，有sin????????=?????????????????????????????=?????????????????=?????????????.
?
典型例题
例2：已知cosα=?????????，π＜α＜????????????，求cos ????????.
?
解： 因为π＜α＜????????????， ????????＜????????＜????????????，
所以cos ????????=-????+????????????????????=??????????????????=?????????.
?
综合练习
若sinx= ????????，角x的终边在第一象限，求
tan????????的值.
?
解：∵ sinx= ????????，角x的终边在第一象限，
∴cosx= ????????????，
∴ tan????????= ????+????????????????????????????????= ????+????.
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综合练习
若x=2+ tan????????，y=????+????????????????????????????????，求证：y=x2-4x+5.
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解：由x=2+ tan????????得x-2=tan????????= ????+???????????????????????????????? .
故(x-2)2= ?????????????????????????????????????????=?????????????????????????+???????????????? =?????(????+????????????????)?????+???????????????? =?????????+????????????????-1.
?
综合练习
若x=2+ tan????????，y=????+????????????????????????????????，求证：y=x2-4x+5.
?
解： 又y=????+????????????????????????????????，
故(x-2) 2=y-1，
整理得y=x2-4x+5.
?
综合练习
若????????＜α＜π，sinα= ?????????，则tan ????????=_____.
?
解：若????????＜α＜π，sinα= ?????????，
则cosα= ?????????????????????????=- ????????，
∴ tan ????????= ?????????????????????????????????????=3.
?
3
本课小结
再 见