5.1复数的概念及其几何意义-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（37张PPT）

复数的概念及其几何意义
授课教师：
温故知新
学习目标
1.掌握复数的有关概念，如虚数单位、实部、
虚部、虚数、纯虚数；正确对复数进行分类，
掌握数集之间的从属关系；（重点）
2.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复
数的概念；（重点）
3.掌握复数的代数表示及其几何意义.（难点）
课文精讲
在数自身的发展中，求解方程是数系扩充
的重要动力.比如，要使像2x=1这样的线性方
程有解，就需要引进有理数；无理数与有理数
构成实数.
然而，即使实数也无法完全满足求解二
次方程的需要. 像x2=?1这样一个简单的方程就
没有实数解，因为任意实数的平方都不可能是
负数.
?
复数的概念
课文精讲
为此，人们开始引进一个新数i，叫作虚
数单位，并规定:
(1)它的平方等于-1，即i2=?1；
(2)实数与它进行四则运算时，原有的加法、
乘法运算律仍然成立.
?
复数的概念
课文精讲
形如a+bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，
通常用字母z表示，即z=a+bi (a，b∈R)，其
a称为复数z的实部，记作Re z，b称为复数z的
虚部，记作Im z.
对于复数a+bi ，当且仅当b=0时，它是实
数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，
叫作虚数；当a=0且b≠0叫作纯虚数.
复数的概念
课文精讲
例如，3+4i是复数，实部是3，虚部是4；
虚数-0.5i的实部是0，虚部是-0.5；3可以看作
实部是3，虚部是0的复数.
复数的概念
课文精讲
根据复数中a，b 的取值不同，复数可以
有以下的分类：
复数的概念
复数a+bi (a，b∈R)
实数(b=0)；
虚数(b≠0).(当a=0时为
纯虚数)
全体复数构成的集合称为复数集，记
作C，显然R C.
∩
≠
课文精讲
写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、
实数集R和复数集C的关系，并用Venn图表示.
复数的概念
C
R
Q
Z
N
典型例题
例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指
出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出
是否为纯虚数:
(1)1-i； (2)?????????i； (3)-7.
?
解： (1)1-i的实部与虚部分别是1和-1，它是
虚数，但不是纯虚数；
典型例题
例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指
出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出
是否为纯虚数:
(1)1-i； (2)?????????i； (3)-7.
?
解： (2) ?????????i的实部与虚部分别是0和??????????，
它是虚数，而且是纯虚数；
?
典型例题
例1：说出下列三个复数的实部、虚部，并指
出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出
是否为纯虚数:
(1)1-i； (2)?????????i； (3)-7.
?
解： (3) -7的实部与虚部分别是-7和0，
它是实数.
课文精讲
两个复数a+bi 与c+di (a，b，c ， d∈R)相等
定义为：它们的实部相等且虚部相等，即
复数的概念
a+bi= c+di当且仅当a=c且b=d.
应当注意，两个实数可以比较大小，
但是两个复数，如果不全是实数，它们之间
就不能比较大小，只能说相等或不相等.例
如，2+i和3+i之间无大小可言.
典型例题
例2：设x，y∈R，(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，
求x，y的值.
解： 由复数相等的定义，得
x+2=-3y
-2x=y-1
解这个方程组，得
x=1
y=-1
课文精讲
问题提出
我们知道，实数与数轴上的点一一对
应，可以用数轴上的点来表示实数.复数
z=a+bi(a，b∈R)由实部a和虚部b两个实
数确定，复数有什么几何意义呢?
复数的几何意义
课文精讲
分析理解
任何一个复数z=a+bi(a，b∈R)，都
可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.
因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系
中的点(a，b)一一对应，所以复数集与平
面直角坐标系中的点集是一一对应的.
复数的几何意义
课文精讲
分析理解
如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，
复数z=a+bi(a，b∈ R)可以用点Z(a，b)表
示.这个通过建立平面直角坐标系来表示
复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，
y轴称为虚轴.
复数的几何意义
Z
b
a
y
x
O
课文精讲
分析理解
显然，实轴的点都表示实数；除了
原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数的几何意义
Z
b
a
y
x
O
课文精讲
分析理解
因此，复数z=a+bi与复平面内的点
Z(a，b)是一一对应的，即
复数的几何意义
复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b)
这是复数的一种几何意义.
一一对应
Z
b
a
y
x
O
课文精讲
例如，复平面内的原点(0，0)表示复
数0，实轴上的点(3，0)表示复数3，虚轴
上的(0，-1)表示复数-i，点(-3，2)表示复
数-3+2i等.
复数的几何意义
课文精讲
在平面直角坐标系中，平面向量与有
序实数对一一对应，而有序实数对与复
数也是一一对应的.于是，还可以用平面
向量来表示复数.
复数的几何意义
Z
b
a
y
x
O
课文精讲
如图，复数z=a+bi(a，b∈R)与复
平面内的向量????????=(a，b)也是一一对应
的，即
?
复数的几何意义
复数z=a+bi 平面向量????????
?
一一对应
这是复数的另一种几何意义.
Z
b
a
y
x
O
课文精讲
向量????????的模称为复数的模，记作|z|
或|a+bi|.由向量模的定义可知， |z|= |a+bi|
=?????????+?????????.如果b=0，那么z=a+bi是一个
实数????，它的模等于|z|=?????????+????????? =?????????
=|a| (a的绝对值).
?
复数的几何意义
Z
b
a
y
x
O
课文精讲
虽然两个复数一般不能比较大小，
但它们的模是非负实数，可以比较大小.
复数的几何意义
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2； (2) 2≤|z|≤3.
解： (1)复数z的模等于2表明，向量????????的
模等于2，即点Z到原点O的距离等于2，
因此满足条件|z|=2的点Z的集合
是以原点O为圆心，以2为半径
的圆(如图(1)).
?
1
y
x
O
2
|z|=2
图(1)
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2； (2) 2≤|z|≤3.
解： (2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组
|z|≤3，
|z|≥2.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2； (2) 2≤|z|≤3.
解： (2)满足|z|≤3的点Z的集合是以原点O
为圆心、以3为半径的圆及其内部所有的
点构成的集合；满足|z|≥2的点Z的集合是
以原点O为圆心、以2为半径的圆及其外
部所有的点构成的集合.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2； (2) 2≤|z|≤3.
解： (2)因此，满足2≤|z|≤3的点Z的集合是这两个集合的交集，即以原点O为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2； (2) 2≤|z|≤3.
解： (2) 如图(2).
3
1
y
x
O
2
2≤|z|≤3
图(2)
课文精讲
若两个复数的实部相等，而虚部互
为相反数，则称这两个复数互为共轭复
数.复数z的共轭复数用????表示·当z=a+bi(a，
b∈R)时， ????=a-bi.显然，在复平面内，表
示两个共扼复数的点关于实轴对称(如图)，
并且它们的模相等.
?
Z
b
a
y
x
O
-b
????
?
z
课文精讲
另外，当复数z=a+bi的虚部b=0时，
有z=????.也就是说，任意一个实数的共扼复
数仍是它本身，反之亦然.
?
Z
b
a
y
x
O
-b
????
?
z
课文精讲
例4：在复平面内作出表示下列复数的点，
并分别求出它们的模和共轭复数：
(1) z1=3-2i； (2) z2=?1+????i.
?
解：在复平面内作图如图.
(1) |z1|=|3-2i|=????????+?????????=????????，
????????= 3+2i；
?
·
·
????????=-1-????i
?
z1=3-2i
课文精讲
例4：在复平面内作出表示下列复数的点，
并分别求出它们的模和共轭复数：
(1) z1=3-2i； (2) z2=-1+????i.
?
解：在复平面内作图如图.
(2) |z2|=|-1+????i|=?????????+????????=2，
????????=-1-????i.
?
·
·
????????=-1-????i
?
z1=3-2i
综合练习
若复数z=（m+1）+（2-m）i（m∈R）
是纯虚数，则m=________.
解：复数z=（m+1）+（2-m）i（m∈R）
是纯虚数，
则m+1=0，
解得m=-1．
故答案为：-1.
-1
综合练习
已知z=1-i，则z的共轭复数________.
解：z=1-i，则z的共轭复数：1+i．
故答案为：1+i.
1+i
本课小结
再 见