5.2.2复数的乘法与除法-【新教材】2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册课件（35张PPT）

复数的乘法与除法
授课教师：
温故知新
学习目标
掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算.（重点、难点）
课文精讲
复数的乘法
对任意两个复数a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)，类比多项式乘法，并利用i2=-1，有(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
因此，定义复数的乘法如下：
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
课文精讲
复数的乘法
在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
典型例题
例1：计算:(-2-i)(3+i).
解：(-2-i)(3+i)
= -2×3-2×i-3×i-i×i
= -6-2i-3i-i2
= -6-2i-3i-1
= -5-5i.
典型例题
例2：计算:(-2-3i)(-1+3i)(????+i).
?
解： (-2-3i)(-1+3i)(????+i)
=[(-2-3i)(-1+3i)](????+i)
=(2-6i+3i-9i2)(????+i)
=(11-3i)(????+i)
=11????+11i-3????i-3i2
=(11????+3)+(11-3????)i.
?
课文精讲
可以验证，复数的乘法满足交换律、结
合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，
z2，z3∈C，有
复数的乘法
(1)交换律： z1·z2= z2·z1；
(2)结合律：(z1·z2) · z3 = z1·(z2 z3) ；
(3)乘法对加法的分配律： z1·(z2+z3)= z1·z2+z1·z3.
课文精讲
对于复数z，定义它的乘方zn=z·z·····z.根据
复数的乘法
zm·zn=zm+n ，(zm) n=zmn，(z1·z2) n=z1n. ·z2n.
n个
乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的
运算性质在复数范围内仍然成立，即对复数
z， z1，z2和正整数m，n，有
课文精讲
复数的乘法
i0=1， i1=i， i2=?1， i3=?i，···
?
在复数的乘方运算中，经常要计算i的
乘方，i的乘方有如下规律：
一般地，对任意自然数n，有
i4n=1， i4n+1=i， i4n+2=?1， i4n+3=?i.
?
典型例题
例1：计算：
(1)(1+i)4；(2) (2-i)2(2+i)2.
解： (1) (1+i)4=[(1+i)2]2
=(1+2i+i2)2
=(2i)2
=-4；
典型例题
例1：计算：
(1)(1+i)4；(2) (2-i)2(2+i)2.
解： (2) (2-i)2(2+i)2=[(2-i)(2+i)]2
=(4+i)2
=25.
典型例题
例2：计算：i21，i16，i27，i22.
解： i21 = i4×5+1 =i，
i16 = i4×4 =1，
i27 = i4×6+3 =?i，
i22 = i4×5+2 =?1.
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： 使用配方法容易得到
????+????????????????=?????????????????????????????????.
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： (1)若b2-4ac≥0，则
x1=?????+????????????????????????????? ， x2=??????????????????????????????????? .
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： (1) 因此x1+x2=?????+????????????????????????????? + ???????????????????????????????????
=?????????，
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： (1) 因此x1x2=?????+????????????????????????????? ·???????????????????????????????????
=?????????(?????????????????????)????????????
=????????.
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： (2)若b2-4ac＜0，则x+????????????=±?????????????????????????????????i，即
x1=?????+????????????????????????????????? ， x2=??????????????????????????????????????? .
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： (2)因此x1+x2=?????+????????????????????????????????? +???????????????????????????????????????
=?????????，
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： (2)因此x1x2=?????+????????????????????????????????? ·???????????????????????????????????????
=????????+(?????????????????????)????????????
=????????.
?
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
解： 综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
都满足x1+x2=?????????，x1x2=????????.
?
课文精讲
思考：
计算下列各式，你发现其中有什么
规律吗？
复数的乘法
(3+2i)(3-2i)； (2) (2+i)(2-i) ；
(3) (2????-i) (-2????+i) ； (4) (????+????i) (????-????i).
?
解：(1)(3+2i)(3-2i)=9+4=13；
(2) (2+i)(2-i)=4+1=5 ；
课文精讲
思考：
计算下列各式，你发现其中有什么
规律吗？
复数的乘法
(3+2i)(3-2i)； (2) (2+i)(2-i) ；
(3) (2????-i) (-2????+i) ； (4) (????+????i) (????-????i).
?
解：(3) (2????-i) (-2????+i) =8+1=9；
(4) (????+????i) (????-????i)=3+2=5.
?
课文精讲
我们可以得到：互为共轭复数的两
个复数的乘积是实数，等于这个复数(或
其共轭复数)模的平方.即若z=a+bi(a，b∈
R)，则z·????=|z|2 =|????|2=a2+b2.
?
复数的乘法
典型例题
例4：证明：对任意的两个复数，若，则
至少 有一个为0.
解：设z1≠0，则|z1|≠0， z1的共轭复数????????≠0.
将z1· z2=0的左右两边同时乘?????????，得
z1· z2 · ???????? =0· ????????，
|z1|2·z2=0.
因为|z1|2≠0，所以z2=0.
?
课文精讲
我们通过引入倒数来定义复数的除
法.
给定复数z2，若存在复数z，使得
z2·z=1，则称z是z2的倒数，记作z=????????????.
?
复数的除法
课文精讲
设z2=c+di≠0和z=x+yi(c，d，x，y∈
R)，则
z2·z=(c+di)(x+yi)=cx-dy+(cy+dx)i=1，
复数的除法
所以
cx-dy=1，
cy+dx=0，
解得
x=????????????+?????????，
?
y=?????????????+??????????，
?
所以z2=c+di的倒数????????????=????????????+??????????????????????+?????????i，
这里要求c，d不能同时为0，即?????????≠0.
?
课文精讲
对任意的复数z1=a+bi(a，b∈R) 和非
零复数z2=c+di (c，d∈R)，规定复数的
除法：?????????????????=z1· ?????????????，即除以一个复数，等于
乘这个复数的倒数.因此
?
复数的除法
?????????????????= ????+????????????+?????????=(a+bi)(????????????+??????????????????????+?????????i)

?
=????????+????????????????+????????????????????????????????????+?????????????
?
课文精讲
在实际计算????+????????????+????????时，通常把分子和
分母同乘分母????+????????的共轭复数??????????????，化
简后就得到上面的结果：
?
复数的除法
????+????????????+?????????= (????+????????)(?????????????)(????+????????)(?????????????)
?
=????????+????????????????+????????????????????????????????????+?????????????
?
由此可见，在 进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”.
典型例题
例5：计算：
(1) ??????????????； (2) ????+??????????????????????； (3)????+??????????????????.
?
解： (1) ??????????????= ?????×(?????)????????×(?????)?= ?????????；
(2) ????+?????????????????????=?(????+????????)×(????+????????)(?????????????)×(????+????????)?
= ?????+?????????????????= ??????????????+ ?????????????i；
?
典型例题
例5：计算：
(1) ??????????????； (2) ????+??????????????????????； (3)????+??????????????????.
?
解： (3)????+??????????????????=(????+????)????(?????????)(????+????)????
=?????????????????
=i?????
=-1.
?
综合练习
已知复数z满足z(1-i)=-2i，则复数z的
模为________.
解：因为复数z满足z(1-i)=-2i，
所以z＝??????????????????，故|z|=??????????????????=??????=????.
?
????
?
综合练习
已知复数z=1+2i，记其共轭复数为????. 求(z+1)(????+3i)的值.
?
解：∵z=1+2i，
∴????=1?2i，
∴(z+1)(????+3i)=(2+2i)(1+i)=4i.
?
本课小结
再 见