向量的数量积
一、向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量，如果以为起点作，那么射线的夹角叫做向量的夹角．记为，的取值范围是
(1)共始点、夹角为零时，夹角为时、夹角为时，
(2)零向量与任意向量共线、也与任意向量垂直
二、向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量的夹角为（），则把叫做的数量积，记作．即
(1)两个向量的数量积是一个实数
(2)零向量与任一向量的数量积是0，区分，
(3)当同向时，，当反向时，
特别地，
；
(4)夹角为锐角的充要条件且不共线，夹角为钝角的充要条件且不共线，
2.向量的投影：称叫做向量在向量的方向上的投影
如图中的有向线段的数量。
三、向量的运算
1.交换律：
2.结合律：
(1)实系数结合律：
(2)向量结合律不成立：
3.分配律：
4.运算公式：
(1)平方差公式：
(2)完全平方公式：
。
例1.已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为________
【难度】★★
例2.如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，
还是一个向量，它的长度为，如果，，，则
A．
B．8
C．16
D．20
【难度】★★★
例3.已知向量，满足，且，的夹角为，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
例4.若向量，满足，，，则________
【难度】★★★
例5.若平面向量与的夹角为，，，则
A．
B．
C．2
D．3
【难度】★★★
例6.若，则
A．2
B．1
C．
D．0
【难度】★★★
例7.如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点设，．
（1）用，表示，；
（2）求与夹角的余弦值．
【难度】★★★★
例8.如图所示的中，，，，，，
则
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
例9.已知，的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【难度】★★★
1、若两单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影为________
【难度】★★
2、已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与向量垂直，则实数____
【难度】★★★
3、在中，，，且，则
A．
B．
C．9
D．12
【难度】★★★
4、设向量，满足，，则
A．1
B．2
C．3
D．5
【难度】★★
5、已知向量，满足：，，且，则的模等于
A．
B．2
C．
D．3
【难度】★★★
6、在中，，，，，则________
【难度】★★★★
7、已知单位向量和的夹角为，
（1）试判断与的关系并证明；
（2）求在方向上的投影．
【难度】★★★
1、在矩形中，，，点满足，则
A．21
B．
C．
D．
【难度】★★★★
2、已知，，则的最小值为________
【难度】★★★★
3、已知平面向量，满足，．
（1）若与的夹角为，且，求实数的值；
（2）若对于一切实数，恒成立，求与的夹角．
【难度】★★★★
1、已知向量，满足，，，则，________
【难度】★★★
2、已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为________
【难度】★★★
3、已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为________
【难度】★★★
4、若向量，，，则________
【难度】★★
5、非零向量，满足，且，则与的夹角为________
【难度】★★★
6、已知单位向量满足．设，则向量的夹角的余弦值为________
【难度】★★★
7、已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★★
8、在中，，，，分别是斜边上的两个三等分点，则
A．6
B．8
C．9
D．10
【难度】★★★★
9、已知，，与的夹角是．
（1）求；
（2）当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围．
【难度】★★★
10、设向量，满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）求的大小．
【难度】★★★
11、已知，，，求：
（1）向量与的夹角；
（2）．
【难度】★★★
12、已知，，且与夹角是．
（1）求的值；
（2）当为何值时，？
【难度】★★★向量的数量积
一、向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量，如果以为起点作，那么射线的夹角叫做向量的夹角．记为，的取值范围是
(1)共始点、夹角为零时，夹角为时、夹角为时，
(2)零向量与任意向量共线、也与任意向量垂直
二、向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量的夹角为（），则把叫做的数量积，记作．即
(1)两个向量的数量积是一个实数
(2)零向量与任一向量的数量积是0，区分，
(3)当同向时，，当反向时，
特别地，
；
(4)夹角为锐角的充要条件且不共线，夹角为钝角的充要条件且不共线，
2.向量的投影：称叫做向量在向量的方向上的投影
如图中的有向线段的数量。
三、向量的运算
1.交换律：
2.结合律：
(1)实系数结合律：
(2)向量结合律不成立：
3.分配律：
4.运算公式：
(1)平方差公式：
(2)完全平方公式：
。
例1.已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为________
【难度】★★
答案：2．
例2.如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，
还是一个向量，它的长度为，如果，，，则
A．
B．8
C．16
D．20
【难度】★★★
答案：．
例3.已知向量，满足，且，的夹角为，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
例4.若向量，满足，，，则________
【难度】★★★
答案：．
例5.若平面向量与的夹角为，，，则
A．
B．
C．2
D．3
【难度】★★★
答案：．
例6.若，则
A．2
B．1
C．
D．0
【难度】★★★
答案：．
例7.如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点设，．
（1）用，表示，；
（2）求与夹角的余弦值．
【难度】★★★★
答案：（1）．．（2）．
例8.如图所示的中，，，，，，
则
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
例9.已知，的夹角为．
（1）求的值；
（2）若向量的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）；（2），，．
1、若两单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影为________
【难度】★★
答案：．
2、已知与是两个互相垂直的单位向量，若向量与向量垂直，则实数____
【难度】★★★
答案：1．
3、在中，，，且，则
A．
B．
C．9
D．12
【难度】★★★
答案：．
4、设向量，满足，，则
A．1
B．2
C．3
D．5
【难度】★★
答案：．
5、已知向量，满足：，，且，则的模等于
A．
B．2
C．
D．3
【难度】★★★
答案：．
6、在中，，，，，则________
【难度】★★★★
答案：．
7、已知单位向量和的夹角为，
（1）试判断与的关系并证明；
（2）求在方向上的投影．
【难度】★★★
答案：（1）与垂直（2）．
1、在矩形中，，，点满足，则
A．21
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：．
2、已知，，则的最小值为________
【难度】★★★★
答案：
3、已知平面向量，满足，．
（1）若与的夹角为，且，求实数的值；
（2）若对于一切实数，恒成立，求与的夹角．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．
1、已知向量，满足，，，则，________
【难度】★★★
答案：．
2、已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为________
【难度】★★★
答案：．
3、已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为________
【难度】★★★
答案：．
4、若向量，，，则________
【难度】★★
答案：0．
5、非零向量，满足，且，则与的夹角为________
【难度】★★★
答案：．
6、已知单位向量满足．设，则向量的夹角的余弦值为________
【难度】★★★
答案：．
7、已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★★
答案：．
8、在中，，，，分别是斜边上的两个三等分点，则
A．6
B．8
C．9
D．10
【难度】★★★★
答案：．
9、已知，，与的夹角是．
（1）求；
（2）当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）．（2），且．
10、设向量，满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）求的大小．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）．
11、已知，，，求：
（1）向量与的夹角；
（2）．
【难度】★★★
答案：（1）（2）
12、已知，，且与夹角是．
（1）求的值；
（2）当为何值时，？
【难度】★★★
答案：（1）．（2）．
