向量的坐标表示
一、向量的坐标
1.直角坐标系：正交分解、坐标分解、位置向量
2.构建直角坐标系：垂直、不垂直但可特殊化处理
二、向量的坐标运算
1.向量加法：
；
2.
数与向量：
；
3.
向量坐标：
..
4.向量的数量积：
(1)数量积：
(2)向量夹角：
(3)向量投影：
5.向量的共线：
(1)中点、重心公式：
；
(2)定比分点公式：若，则.
(3)两向量共线：；
6.
向量的垂直：
(1)
例1.已知向量，的夹角为，若，，则_______
【难度】★★
答案：．
例2.已知向量，，，若，则_______
【难度】★★
答案：．
例3.已知向量，，．若，则_______；_______
【难度】★★
答案：1，2．
例4.设向量，，若，，三点共线，则_______
【难度】★★★
答案：．
例5.已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为，那么在基底，下的坐标为_______
【难度】★★★
答案：．
例6.设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，
，，则_______
【难度】★★★
答案：．
例7.在中，，，，为边上的高，为的中点，
，则的值为_______
【难度】★★★
答案：．
例8.如图，在平行四边形中，，，与相交于点，若，求实数的值
【难度】★★★★
答案：
例9.【21浦东新区一模】正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，求的取值范围
【难度】★★★
答案：，．
1、在平面直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则的坐标为_______
【难度】★★★
答案．
2、设向量，，，若，则_______
【难度】★★
答案：15．
3、已知向量，，若，则实数的值为_______；若，则实数的值为_______
【难度】★★
答案：，．
4、已知是的外心，且，，，若，则____
【难度】★★★
答案：．
5、如图，已知平面内有三个向量，，，其中与和的夹角分别为和，且，，若，则_______
【难度】★★★
答案：8．
6、【18静安区二模】在直角三角形中，，，，为三角形内一点，且．若，则的最大值等于_______
【难度】★★★
答案：1．
7、【18松江区二模】已知向量、的夹角为60°，，，若，则实数的值为
【难度】★★
答案：3
8、【20普陀区期中】已知，若点是所在平面内一点，且，求的最大值
【难度】★★★★
答案：13．
1、【18闵行区一模】如图，向量与的夹角为，，，是以为圆心，为半径的弧上的动点，若，求的最大值
【难度】★★★★
答案：
2、【21徐汇区一模】在中，，是的中点，若，在线段上运动，求的最小值
【难度】★★★★
答案：．
3、【18崇明二模】在平面四边形中，已知，，，，则的值为
【难度】★★★★
答案：10
1、已知，，点在线段上，且，则点坐标是_______
【难度】★★
答案：．
2、已知，向量，，若与共线，则_______
【难度】★★
答案：．
3、设点，，若点在直线上，且满足，则点的坐标为_______
【难度】★★
答案：或．
4、已知向量，若，则_______；若，则_______
【难度】★★
答案：或2，．
5、设向量，，若向量与同向，则_______
【难度】★★
答案：3．
6、如图，在同一个平面内，与的夹角为，且，与的夹角为，
，，，若，，则的取值是_______
【难度】★★★
答案：．
7、在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为_______
【难度】★★★
答案：3．
8、已知等边的边长为1，点满足，则_______
【难度】★★★
答案．
9、在矩形中，已知，分别是，上的点，且满足，．若，求的值
【难度】★★★★
答案：
10、矩形中，，，为矩形内部一点，且．若，求的最大值
【难度】★★★★
答案：2．向量的坐标表示
一、向量的坐标
1.直角坐标系：正交分解、坐标分解、位置向量
2.构建直角坐标系：垂直、不垂直但可特殊化处理
二、向量的坐标运算
1.向量加法：
；
2.
数与向量：
；
3.
向量坐标：
..
4.向量的数量积：
(1)数量积：
(2)向量夹角：
(3)向量投影：
5.向量的共线：
(1)中点、重心公式：
；
(2)定比分点公式：若，则.
(3)两向量共线：；
6.
向量的垂直：
(1)
例1.已知向量，的夹角为，若，，则_______
【难度】★★
例2.已知向量，，，若，则_______
【难度】★★
例3.已知向量，，．若，则_______；_______
【难度】★★
例4.设向量，，若，，三点共线，则_______
【难度】★★★
例5.已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为，那么在基底，下的坐标为_______
【难度】★★★
例6.设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，
，，则_______
【难度】★★★
例7.在中，，，，为边上的高，为的中点，
，则的值为_______
【难度】★★★
例8.如图，在平行四边形中，，，与相交于点，若，求实数的值
【难度】★★★★
例9.【21浦东新区一模】正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，求的取值范围
【难度】★★★
1、在平面直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则的坐标为_______
【难度】★★★
2、设向量，，，若，则_______
【难度】★★
3、已知向量，，若，则实数的值为_______；若，则实数的值为_______
【难度】★★
4、已知是的外心，且，，，若，则____
【难度】★★★
5、如图，已知平面内有三个向量，，，其中与和的夹角分别为和，且，，若，则_______
【难度】★★★
6、【18静安区二模】在直角三角形中，，，，为三角形内一点，且．若，求的最大值
【难度】★★★
7、【18松江区二模】已知向量、的夹角为60°，，，若，则实数的值为
【难度】★★
8、【20普陀区期中】已知，若点是所在平面内一点，且，求的最大值
【难度】★★★★
1、【18闵行区一模】如图，向量与的夹角为，，，是以为圆心，为半径的弧上的动点，若，求的最大值
【难度】★★★★
2、【21徐汇区一模】在中，，是的中点，若，在线段上运动，求的最小值
【难度】★★★★
3、【18崇明二模】在平面四边形中，已知，，，，则的值为
【难度】★★★★
1、已知，，点在线段上，且，则点坐标是_______
【难度】★★
2、已知，向量，，若与共线，则_______
【难度】★★
3、设点，，若点在直线上，且满足，则点的坐标为_______
【难度】★★
4、已知向量，若，则_______；若，则_______
【难度】★★
5、设向量，，若向量与同向，则_______
【难度】★★
6、如图，在同一个平面内，与的夹角为，且，与的夹角为，
，，，若，，则的取值是_______
【难度】★★★
7、在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为_______
【难度】★★★
8、已知等边的边长为1，点满足，则_______
【难度】★★★
9、在矩形中，已知，分别是，上的点，且满足，．若，求的值
【难度】★★★★
10、矩形中，，，为矩形内部一点，且．若，求的最大值
【难度】★★★★
