向量的应用
一、几何图形中的向量应用
1.向量共线：三点共线共线
2.等和线：
3.向量合成：
（为中点），，
，（为中点），
4.向量分解：
(1)基的分解：
(1)中点对称式分解（含积化恒等式）：
（为中点）
（为中点）
5.向量投影：
（为向量在上投影，为向量在上投影）
6.向量垂直：
(1)垂直的充要条件：
(2)建坐标系
二、向量的证明
1.利用构建向量法进行证明
三、向量在实际中的应用
例1.已知为的外心，且，则的值为 ．
【难度】★★★
例2.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，P为AD中点，Q为AB中点，M为CD边上的一
个动点，则的最大值为____________
【难度】★★★
例3.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线同侧，且P到的距离分别为1，3．点M，N分别在上，，则的最大值为（
）
A．15 B．12 C．10 D．9
【难度】★★★
例4.已知菱形的边长为2，,点分别在上，,若,则
.
【难度】★★★
例5.已知△为等边三角形，，设点满足，，，若，则
【难度】★★★
例6.设是△所在平面上的一点，且满足，则△的形状一定是（
）
A.
等腰三角形
B.
等边三角形
C.
直角三角形
D.
以上都不对
【难度】★★★
例7.对于菱形,给出下列各式：①;②;③;④；其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★★
例8.【20华师大二附中高三月考】如图，已知，为的中点，分别以?为直径在的同侧作半圆，?分别为两半圆上的动点(不含端点??)，且，则的最大值为___________.
【难度】★★★★
例9.已知中，分别是内角所对的边，为边上的高，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★★
1、中，若，，则
__________
【难度】★★★
2、在△OAB中，OA=2，OB=3，AB=,设△OAB的外心是点D,,则
=________
【难度】★★★
3、如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，Q为小圆上的点，则的取值范围是
．
【难度】★★★
4、在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________．
【难度】★★
5、如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为_________N.
【难度】★★
6、【20行知中学高二期中】如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.
【难度】★★★★
7、【19青浦高级中学高三】已知中，，则的形状为(
)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【难度】★★★
8、在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【难度】★★★
1、若是△AOB所在的平面内的点，且,给出下列说法：
①；②的最小值一定是；
③点在一条直线上；
④向量及在向量的方向上的投影必相等
其中所有正确命题的序号是
.
【难度】★★★★
2、平面四边形ABCD中，，，，，则
【难度】★★★★
3、【20嘉定区第一中学高二】在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
1、在△ABC中，AB=10，AC=8，D是边BC的中点，则____________
【难度】★★★
2、如图所示，正八边形的边长为，若为该正八边形上的动点，则的取值范围________.
【难度】★★★
3、【20位育中学高二月考】设H是的垂心，且，则______.
【难度】★★★★
4、如图，在三角形ABC中，，，，则____
【难度】★★★
5、已知是边长为的正三角形，为外接圆O的一条直径，M为边上的动点，则的最大值是______.
【难度】★★★★
6、【20杨浦高级中学高二期中】正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
【难度】★★★
7、如图，在边长为1的正方形中，E为的中点，若F为正方形内（含边界】任意一点，则的最大值为______.
【难度】★★★
8、已知三个力，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力________．
【难度】★★
9、【19奉城高级中学高二期中】点是三角形所在平面上一点，且满足，则三角形的形状一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【难度】★★★向量的应用
一、几何图形中的向量应用
1.向量共线：三点共线共线
2.等和线：
3.向量合成：
（为中点），，
，（为中点），
4.向量分解：
(1)基的分解：
(1)中点对称式分解（含积化恒等式）：
（为中点）
（为中点）
5.向量投影：
（为向量在上投影，为向量在上投影）
6.向量垂直：
(1)垂直的充要条件：
(2)建坐标系
二、向量的证明
1.利用构建向量法进行证明
三、向量在实际中的应用
例1.已知为的外心，且，则的值为 ．
【难度】★★★
答案：
例2.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，P为AD中点，Q为AB中点，M为CD边上的一
个动点，则的最大值为____________
【难度】★★★
答案：
例3.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线同侧，且P到的距离分别为1，3．点M，N分别在上，，则的最大值为（
）
A．15 B．12 C．10 D．9
【难度】★★★
答案：A
例4.已知菱形的边长为2，,点分别在上，,若,则
.
【难度】★★★
答案：2
例5.已知△为等边三角形，，设点满足，，，若，则
【难度】★★★
答案：
例6.设是△所在平面上的一点，且满足，则△的形状一定是（
）
A.
等腰三角形
B.
等边三角形
C.
直角三角形
D.
以上都不对
【难度】★★★
答案：A
例7.对于菱形,给出下列各式：①;②;③;④；其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★★
答案：C
例8.【20华师大二附中高三月考】如图，已知，为的中点，分别以?为直径在的同侧作半圆，?分别为两半圆上的动点(不含端点??)，且，则的最大值为___________.
【难度】★★★★
答案：
例9.已知中，分别是内角所对的边，为边上的高，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【难度】★★★★
答案：C
1、中，若，，则
__________
【难度】★★★
答案：
2、在△OAB中，OA=2，OB=3，AB=,设△OAB的外心是点D,,则
=________
【难度】★★★
答案：
3、如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，Q为小圆上的点，则的取值范围是
．
【难度】★★★
答案：
4、在静水中划船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________．
【难度】★★
答案：
5、如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为_________N.
【难度】★★
答案：20
6、【20行知中学高二期中】如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.
【难度】★★★★
答案：
7、【19青浦高级中学高三】已知中，，则的形状为(
)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【难度】★★★
答案：B
8、在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【难度】★★★
答案：证明略，建系可证，或分解基底证明
1、若是△AOB所在的平面内的点，且,给出下列说法：
①；②的最小值一定是；
③点在一条直线上；
④向量及在向量的方向上的投影必相等
其中所有正确命题的序号是
.
【难度】★★★★
答案：③④
2、平面四边形ABCD中，，，，，则
【难度】★★★★
答案：0
3、【20嘉定区第一中学高二】在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★★
答案：D
1、在△ABC中，AB=10，AC=8，D是边BC的中点，则____________
【难度】★★★
答案：
2、如图所示，正八边形的边长为，若为该正八边形上的动点，则的取值范围________.
【难度】★★★
答案：
3、【20位育中学高二月考】设H是的垂心，且，则______.
【难度】★★★★
答案：
4、如图，在三角形ABC中，，，，则____
【难度】★★★
答案：
5、已知是边长为的正三角形，为外接圆O的一条直径，M为边上的动点，则的最大值是______.
【难度】★★★★
答案：
6、【20杨浦高级中学高二期中】正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
【难度】★★★
答案：
7、如图，在边长为1的正方形中，E为的中点，若F为正方形内（含边界】任意一点，则的最大值为______.
【难度】★★★
答案：
8、已知三个力，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力________．
【难度】★★
答案：
9、【19奉城高级中学高二期中】点是三角形所在平面上一点，且满足，则三角形的形状一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【难度】★★★
答案：A
