7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）

897255-190500第七章随机变量及其分布
第七章随机变量及其分布
960755635007.2离散型随机变量及其分布列
7.2离散型随机变量及其分布列
16065574930知识点1-----随机变量
知识点1-----随机变量
1.随机变量的概念
如果随机试验的结果可用一个变量来表示,而这个变量是随着试验结果的变化而变化的，称这个变量为随机变量
例如：一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数?与之对应，我们称X为随机变量
2. 随机变量的表示：
随机变量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.
3.随机变量与函数有什么联系和区别?
共同点：随机变量和函数都是一种映射
区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数
联系： 试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；
注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
4.随机变量的分类：
1)离散型随机变量：
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
2)连续型随机变量:
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
79375055245注意
离散型随机变量的特点:(1)取值依赖于样本点;(2)所有可能取值是明确的
注意
离散型随机变量的特点:(1)取值依赖于样本点;(2)所有可能取值是明确的
161861546990
136525-70485知识点2-----离散型随机变量的分布列
知识点2-----离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
（2）可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
false
false
false
false
false
false
P
false
false
false
false
false
false
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
2.离散型随机变量的表示
也可用等式P(X=xi)=pi ， i=1,2,…,n表示X的分布列.
或图像(如课本P47图2.1-2)表示.
（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。
（2）函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。
3.离散型随机变量的分布列两个性质：
(1) pi≥0 , i=1,2,3, …n
(2) p1+p2+ …+pn=1
216535244475注意：
求离散型随机变量ξ分布列的解题步骤为：
(1)判断随机变量ξ的取值；
(2)说明ξ取各值的意义(即表示什么事件)并求出取该值的概率，如果取各值的意义基本相似，则可只说明第一个值，后面的值同理即可；
(3)列表写出ξ的分布列
注意：
求离散型随机变量ξ分布列的解题步骤为：
(1)判断随机变量ξ的取值；
(2)说明ξ取各值的意义(即表示什么事件)并求出取该值的概率，如果取各值的意义基本相似，则可只说明第一个值，后面的值同理即可；
(3)列表写出ξ的分布列
00经典例题
经典例题
例题1.一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 X ，则 P(X≤22)= （??? ）．
A.?23???????????????????????????????????????B.?512???????????????????????????????????????C.?56???????????????????????????????????????D.?518
【答案】 C
【解析】 X=k 表示前k个球为白球，第 k+1 个球为红球，
P(X=0)=410=25 ，
P(X=1)=6×410×9=415 ，
P(X=2)=A62A41A103=16 ，
所以 P(X≤22)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=25+415+16=56 ，
故答案为：C．
例题2.下列随机变量X不是离散型随机变量的是 ( ??)
A.?某机场候机室中一天的游客数量为X ?B.?某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C.?某水文站观察到一天中长江的水位为X D.?某立交桥一天经过的车辆数为X
【答案】 C
【解析】A、B、D中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；
C中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量.
故答案为：C.
例题3.党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 p(0（1）若 p=13 ，按方案一，求 4 例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
（2）若 p=110 ，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由.
【答案】 （1）解：用 X 表示4例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量 X~B(4,13)
由题意可知： P(x=2)=C42?(13)2?(1?13)2=827
（2）解：方案一：若逐个检验，则检验次数为4.
方案二：混合一起检验，记检验次数为 X, 则 X=1,5 .
P(X=1)=(1?110)4=81×8110000=656110000
P(X=5)=1?P(X=1)=343910000
E(X)=1×656110000+5×343910000=2375610000
方案三：每组的两个样本混合在一起化验，若结果呈阴性，则检测次数为1，
其概率为 (1?110)2=81100 ,
若结果呈阳性，则检测次数为3其概率为 1?81100=19100
设方案三检测次数为随机变量 Y, 则 Y=2,4,6
P(Y=2)=81100×81100=81×8110000=656110000
P(Y=4)=81100×19100×2=2×81×1910000=307810000
P(Y=6)=19100×19100=36110000
则 E(Y)=2×81×8110000+4×2×81×1910000×19×1910000=2760010000
由 E(X)知方案二最优
【解析】 （1）利用对立事件概率计算公式能求出该混合样本呈阳性的概率；
（2）方案一：逐个检测，数学期望为4，方案二：检测次数为X，X的可能取值为1，5，分求出相应的概率，由此能求出方案二的期望；方案三，每组两个样本检测时，若呈阴性，则检测次数为1，概率为81100 ， 若呈阳性则检测次数为3，概率为199100 ， 故方案三的检测次数记为Y，Y的可能取值为2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出方案三的期望，从而方案一、二，三中方案二最“优”．
例题4.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
?
(附： k2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) )
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
（1）根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数 ξ 的分布列.
【答案】 （1）解：由题意可得列联表如下：
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
20
45
65
年龄超过40岁
5
30
35
合计
25
75
100
根据列联表中的数据可得， k=100×(20×30?45×5)265×35×25×75 =100×313×7≈3.297>2.706
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；
（2）解：由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40岁的市民人数 ξ 的所有值为0，1，2，则
P(ξ=0)=C202C252=1930 ， P(ξ=1)=C201C51C252=13 ， P(ξ=2)=C52C252=130
∴ ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
P
1930
13
130
【解析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）由频率分布直方图，结合题意知 ?ξ?的所有值为0，1，2，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望。
例题5.每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
被调查的人数
10
15
20
m
25
5
赞成的人数
6
12
n
20
12
2
（1）从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在 [35,45) 的概率为 15 ，求出表格中m， n 的值；
（2）若从年龄在 [45,55) 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列．
【答案】 （1）解：因为总共抽取100人进行调查，所以 m=100?10?15?20?25?5=25 ，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在 [35,45) 的概率为 n52+n=15 ，所以 n=13 ．
（2）解：从年龄在 [45,55) 中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取 10×2025=8 人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的可能取值为2，3，4.
则 P(X=2)=C82?C22C104=215
P(X=3)=C83?C21C104=815 ，
P(X=4)=C84?C20C104=13 ．
所以X的分布列为
X
2
3
4
P
215
815
13
【解析】（1）m的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用 [35,45) 的概率为 15 求出n的值；（2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而X表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以X的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成X的分布列.
-21590158115随堂练习
随堂练习
练习1.有以下四个随机变量，其中离散型随机变量的个数是（?? ）
①某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数ξ是一个随机变量；
②如果以测量仪的最小单位计数．测量的舍入误差ξ是一个随机变量；
③一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置全是一个随机变量；
④某人射击一次中靶的环数ξ是一个随机变量．
?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
练习2.投掷两枚骰子，所得点数之和记为x，那么X=4表示的随机实验结果是（???）
?一枚是3点，一枚是1点??????????????????????????????????B.?两枚都是2点
C.?两枚都是4点?????????????????????????????????????????????????????? ?D.?一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
练习3.每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学?夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出(单位：百元)频率分布方图如图.
（1）求实数 a 的值；
（2）在 [45,50) ， [50,55) ， [55,60) 三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析.
①求每组恰好各被选出 1 人的概率；
②设 ξ 为选出的3人中 [45,50) 这一组的人数，求随机变量 ξ 的分布列.
练习4.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为 p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验 5 件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每 k 个 (k≤5) 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或 1+k 次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为X．
（1）求X的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当 p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当 p=0.1 时，求使该方案最合理时 k 的值及 1000 件该产品的平均检验次数．
练习5.某公司为了了解一种新产品的销售情况，对该产品100天的销售数量做调查，统计数据如下图所示：
销售数量（件）
48
49
n
52
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
天数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
经计算，上述样本的平均值 μ=64 ，标准差 σ=4.8 .
（Ⅰ）求表格中字母n的值；
（Ⅱ）为评判该公司的销售水平，用频率近似估计概率，从上述100天的销售业绩中随机抽取1天，记当天的销售数量为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的概率）；
① P(μ?σ评判规则是：若同时满足上述三个不等式，则销售水平为优秀；仅满足其中两个，则等级为良好；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格.试判断该公司的销售水平；
（Ⅲ）从上述100天的样本中随机抽取2个，记样本数据落在 (μ?2σ,μ+2σ] 内的数量为 Y ，求 Y 的分布列和数学期望.
200025-90805参考答案
参考答案
练习1【答案】 B
【解析】解：随机变量中能够一一列举的变量是离散型随机变量，
①④中的随机变量能一一列举，
②③中的随机变量不能一一列举，
∴共有2个离散型随机变量，
故选B．
练习2【答案】 D
【解析】投掷两枚骰子，所得点数之和记为4的情况。故选D。
练习3【答案】 （1）解：由题意，得 (0.024+a+0.04×2+0.03×2)×5=1 ，
解得 a=0.036
（2）解：按照分层抽样， [45,50) ， [50,55) ， [55,60) 三组抽取人数分别为4，3，3.
①每组恰好各被选出1人的概率为 C41C31C31C103=310 .
② ξ 的所有可能取值为0，1，2，3.
P(ξ=0)=C40C63C103=16 ， P(ξ=1)=C41C62C103=12 ，
P(ξ=2)=C42C61C103=310 ， P(ξ=3)=C43C60C103=130 ，
则 ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
16
12
310
130
【解析】 （1）由频率分布理直方图得（0.024+a+0.04×2+0.03×2）×5=1，由此能求出a的值；
（2） ① 按照分层抽样，[45，50），[50，55），[55，60）三组抽取人数分别为4，3，3．由此能求出每组恰好各被选出1人的概率．
② ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
练习4【答案】 （1）解： P(X=1k)=(1?p)k 由题，X的可能取值为 1k 和 1+kk
P(X=1+kk)=1?(1?p)k ，故 X 的分布列为
X
1k
1+kk
P
(1?p)k
1?(1?p)k
E(X)=1k·(1?p)k+1+kk·[1?(1?p)k]=1?(1?p)k+1k
（2）解：（i）由 (1) 记 f(p)=1?(1?p)k+1k ，因为 k>0 ，
所以 f(p) 在 p∈(0,1) 上单调递增 ，
故 p 越小， f(p) 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
(ii) 记 g(k)=1?(1?p)k+1k=1?0.9k+1k
当 g(k)<1 且取最小值时，该方案最合理，
因为 g(1)=1.1,g(2)=0.69 ， g(3)≈0.604,g(4)≈0.594 ， g(5)≈0.61
所以 k=4 时平均检验次数最少，约为 1000×0.594=594 次．
【解析】（1）由题意可得 P(X=1k)=(1?p)k ， X 的可能取值为 1k 和 1+kk ，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出期望.（2）（i）由 (1) 记 f(p)=1?(1?p)k+1k ，根据函数的单调性即可证出； (ii) 记 g(k)=1?(1?p)k+1k=1?0.9k+1k ，当 g(k)<1 且取最小值时，该方案最合理，对 k 进行赋值即可求解.
练习5 【答案】 解：（Ⅰ）依题意， 48×1+49×1+3n+52×5+63×6+64×19+65×33 +66×18+67×4+68×4+69×2+70×1+71×2+73×1=64×100=6400 ， 解得 n=51 . （Ⅱ）由题意得 μ?σ=59.2 ， μ+σ=68.8 ， μ?2σ=54.4 ， μ+2σ=73.6 ， μ?3σ=49.6 ， μ+3σ=78.4 . 于是由表格得到， P(μ?σ0.6827 ， P(μ?2σY
0
1
2
P
1110
211
89110
故 E(Y)=95 .
【解析】（Ⅰ）根据表中数据以及平均数的公式即可求解.（Ⅱ）由平均值 μ=64 ，标准差 σ=4.8 ，结合表中数据求出 P(μ?σ