7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）

658495-134620第七章随机变量及其分布
第七章随机变量及其分布
-371475882650知识点1-----离散型随机变量的均值
知识点1-----离散型随机变量的均值
1333500793757.3离散型随机变量的数字特征
7.3离散型随机变量的数字特征
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变 量X的分布列为
X
false
false
false
false
false
false
P
false
false
false
false
false
false
则称false为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么false
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为false，false
一般地，下面的结论成立:false
随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般 会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
309880-101600注意:
E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的，可取不同的值,而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.
注意:
E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的，可取不同的值,而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.
-371475435610知识点2-----离散型随机变量的方差
知识点2-----离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
false
false
false
false
P
false
false
false
false
考虑X所有可能取值false与false的偏差的平方false,false，…false,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值false的偏离程度，我们称false为随机变量X的方差，有时也记为false，并称false为随机变量X的标准差，记为false
2.几个常见的结论
（1）false
（2）如果随机变量X服从两点分布，那么false
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
777875174625方法突破
求离散型随机变量的均值与方差的步骤:
(1 )明确离散型随机变量的取值，以及取每个值的试验结果;
(2 )求出离散型随机变量取各个值的概率;
(3 )列出分布列;
(4)利用公式求出离散型随机变量的均值E(X)与方差D(x).
方法突破
求离散型随机变量的均值与方差的步骤:
(1 )明确离散型随机变量的取值，以及取每个值的试验结果;
(2 )求出离散型随机变量取各个值的概率;
(3 )列出分布列;
(4)利用公式求出离散型随机变量的均值E(X)与方差D(x).
00经典例题
经典例题
例题1.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是 13 ，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为 ξ ，则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ （??? ）
A.?2627????????????????????????????????????????B.?2827????????????????????????????????????????C.?89????????????????????????????????????????D.?23
【答案】 A
【解析】由题意可得 ξ 的取值为0，1，2，
P(ξ=0)=(1?13)3=827 ， P(ξ=1)=C31×13×(1?13)2=49 ，
P(ξ=2)=C21×13×23×13+13×13=727 ，
所以数学期望 Eξ=0×827+1×49+2×727=2627 .
故答案为：A
首先得到随机变量 ξ 的取值，再分别写出概率，再根据期望公式计算 Eξ
例题2.已知随机变量 Xi 满足 P(Xi=1)=pi ， P(Xi=0)=1?pi,i=1,2 ，若 12A.?E(X1)E(X2) ， D(X1)C.?E(X1)D(X2)?????????????????????D.?E(X1)>E(X2) ， D(X1)>D(X2)
【答案】 C
【解析】依题意可知：
X1
0
1
P
1?p1
p1
X2
0
1
P
1?p2
p2
由于 12DX2 ，
故答案为：C.
例题3.已知随机变量 ξi 满足P（ ξi =1）=pi ， P（ ξi =0）=1—pi ， i=1，2.若0A.?E(ξ1<) D(ξ2)
C.?E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1) E(ξ2)，D(ξ1)> D(ξ2)
【答案】 A
【解析】∵ E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2 ，∴ E(ξ1)∵ D(ξ1)=p1(1?p1),D(ξ2)=p2(1?p2) ，
∴ D(ξ1)?D(ξ2)=(p1?p2)(1?p1?p2)<0 ，所以 D(ξ1)故答案为：A．

例题4.某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求 t 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为 12 ， 13 ， 14 ，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量 ξ ，求随机变量 ξ 的分布列及其期望值 E(ξ) ．
【答案】 （1）解：由 (0.005+t+0.020+0.025+0.030+0.005)×10=1 得 t=0.015 ，
平均得分 =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.025×10+
95×0.005×10=72
（2）解：由已知得： ξ=0 ，1，2，3，
P(ξ=0)=(1?12)×(1?13)×(1?14)=14 ，
P(ξ=1)=12×(1?13)×(1?14)+(1?12)×13×(1?14)+(1?12)×(1?13)×14=1124 ，
P(ξ=2)=12×13×(1?14)+12×(1?13)×14+(1?12)×13×14=624=14 ，
P(ξ=3)=12×13×14=124 ，
则分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
14
1124
14
124
则期望 E(ξ)=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312
【解析】(1)结合已知条件由频率分布柱状图中的数据结合平均数公式计算出答案即可。
(2)根据题意首先求出ξ的取值再由概率的公式计算出对应的每一个ξ的概率值，由此即可得出分布列再把数值代入到期望公式计算出结果即可。
例题5.随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增.方便之余却加剧了交通拥堵和环保问题.绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市黄泽市有统计数据显示.2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年齡分为“年轻人”(20岁 ~391 岁)和“非年轻人”( 19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”.使用次数为5次或不足5次的称为“非单车族”.已知在“单车族”中有 56 是“年轻人”.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为400的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
单车族
非单车族
合计
（2）若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取3人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人数为随机变量 X, 求 X 的分布列与期望.
参考数据:独立性检验界值表
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
60635
其中， n=a+b+c+d,K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (注:保留三位小数).
【答案】 （1）解：补全的列联表如下:
年轻人
非年轻人
合计
单车族
200
40
240
非单车族
120
40
160
合计
320
80
400
∴K2=400×(200×40?120×40)2240×160×320×80≈4.167>3.841，
（ K2 要求保留三位小数，否则扣一分）
即有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关
（2）解：由（1）的列联表可知，
既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为 40400×100%=10%，
即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻人”的概率为 0.1,
随机变量 X 可取 0,1,2,3
P(X=0)=C30(1?0.1)3=0.729,
P(X=1)=C310.11(1?0.1)2=0.243
P(X=2)=C320.12(1?0.1)1=0.027,
P(X=3)=C330.133=0.001,
则 X~B(3,0.1),
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
∴X 的数学期望 E(X)=3×0.1=0.3
【解析】 （1）补全的列联表，求出 K2≈4.167>3.841 ，从而有 95% 的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关;
（2）既是“单车族”又是“非年轻人”占样本总数的频率为10%，从而X～B（3，0.1），由此能出X的分布列和数学期望E（X）．
例题6.已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数．
（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求 X=3 的概率；
（2）求X的分布列与数学期望．
【答案】 （1）解： Ai= “第i次验血结果呈阳性”， i∈{1,2,3,4,5,6} ，表示 Ai 的对立事件．
若 A1 发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排，
故符合条件的排列顺序共有 C21A55 种,
若 A1 与 X=3 同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置，
其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有 A22A44 种．
所以概率为 P(X=3∣A1)=P(A1A3)P(A1)=A22A44C21A55=15
（2）解：随机变量X的可能取值为 2,3,4,5 ，
可得 P(X=2)=P(A1A2)=A22A44A66=115 ，
P(X=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=2×A22A44A66=215 ，
P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=4×A22A44A66=415 ，
故 P(X=5)=1?P(X=2)?P(X=3)?P(X=4)=815
故X的分布列是
X
2
3
4
5
P
115
215
415
815
数学期望 E(X)=2×115+3×215+4×415+5×815=6415
【解析】（1）由题意可得第一只阳性且x=3对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测，其余4只任意排，求出对应的结果数，再求出总的结果数，根据条件概率公式即可求解；
（2）求出X的可能取值，再求出对应的概率，由此即可求解．
-1352558890随堂练习
随堂练习
练习1.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 23 ，乙获胜的概率为 13 ，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则 X 的数学期望是（??? ）
A.?20183????????????????????????????????????B.?21483????????????????????????????????????C.?22481????????????????????????????????????D.?23981
练习2.已知甲口袋中有 3 个红球和 2 个白球，乙口袋中有 2 个红球和 3 个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为 ξ ，则 Eξ= （?? ）
A.?145????????????????????????????????????????B.?135????????????????????????????????????????C.?73????????????????????????????????????????D.?83
练习3.甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i（i=1,2,3）个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1（i），E2（i），则以下结论错误的是（?? ）

A.?E1（1）＞E2（1）??????B.?E1（2）=E2（2）??????C.?E1（1）+E2（1） =4??????D.?E1（3）＜E2（1）
练习4.某电子产品加工厂购买配件 M 并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件 M ，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为 34 ， 23 ，丙部门检修合格的概率为 12 ．
（1）求该工厂购买的任一配件 M 可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件 M 的购买价格为80元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为8元/个，丙部门的检修成本为 16 元个，若配件 M 加工成型进入市场销售，售价可达200元/个；若配件 M 报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件 M 的成型产品，试估计该工厂加工5000个配件 M 的利润．（利润 = 售价 ? 购买价格 ? 加工成本）
练习5.太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示：
日照情况
日均气温不低于15℃
日均气温低于15℃
日照充足
耗电0千瓦时
耗电5千瓦时
日照不足
耗电5千瓦时
耗电10千瓦时
日照严重不足
耗电15千瓦时
耗电20千瓦时
根据调查，当地每天日照充足的概率为 25 ，日照不足的概率为 25 ，日照严重不足的概率为 15 .2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为 [5,10) ， [10,15) ， [15,20) ， [20,25) ， [25,30) ， [30,35] .
（1）求图中 a 的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；
（2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算）
练习6.有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中?每只球的放置相互独立.
（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；
（3）记录至少有一只球的盒子.以 X 表示这些盒子编号的最大值，求 EX .
102870-191135参考答案
参考答案
练习1【答案】 C
【解析】用 Ak 表示“第 k 局甲获胜”， Bk 表示“第 k 局乙获胜”，
则 P(Ak)=23,P(Bk)=13 ， k=1,2,3,4,5
X 的所有可能取值为 2,3,4,5 ，
且 P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)?P(A2)+P(B1)?P(B2)=59 ，
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A1)P(A3)+P(A1)?P(B2)?P(B3)=29 ，
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081 ，
P(X=5)=1?P(X=2)?P(X=3)?P(X=4)=881
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
59
29
1081
881
E(X)=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481 .
故答案为：C.
练习2【答案】 A
【解析】 ξ 的可能取值为 2,3,4 .
ξ=2 表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故 P(ξ=2)=35×35=925 .
ξ=3 表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故 P(ξ=3)=35×25+25×35=1225 .
ξ=4 表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故 P(ξ=4)=25×25=425 .
所以 Eξ=2×925+3×1225+4×425=145 .故答案为：A.
练习3【答案】 D
【解析】解：根据题意用X表示交换后甲盒子中的红球个数，Y表示交换盒子后乙盒子中的红球个数；
当i=1时，就有P(X=2)=P(Y=2)=C31·C31C41·C41=916,P(X=4)=P(Y=0)=C11·C11C41·C41=116
P(X=3)=P(Y=1)=C31·C11C41·C41×2=38,∴E1(3)=0×116+1×38+2×916=32
E2(1)=2×916+0×116+1×38=32.
当i=2时，P(X=2)=P(Y=2)=C31·C11·C32C42C42×2=12
，P(X=3)=P(Y=1)=C31·C11·C31·C11C42C42=14,∴E1(2)=1×14+2×12+3×14=2 ， E2(2)=3×14+2×12+1×14=2.
当i=3时，P(X=0)=P(Y=4)=C33·C33C43C43=116,P(X=1)=P(Y=3)=C33·C11·C32C43C43×2=38
P(X=2)=P(Y=2)=916,由此ABC均正确，D错误。
故答案为：D
练习4【答案】 （1）解：记任一配件 M 加工成型可进入市场销售为事件 A ，甲、乙两道工序分别处理成功为事件 B ， C ，丙部门检修合格为事件 D ．
则 P(A)=P(BC)+P(BCD)+P(BCD) =34×23+(1?34)×23×12+34×(1?23)×12=1724
（2）解：设该工厂加工5000个配件 M 的利润为 Y 元，加工一个配件 M 的利润为 X 元，则 Y=5000X ．
由题可知 X 的所有可能取值为104，88，-96，-112，
则 P(X=104)=34×23=12 ，
P(X=88)=1724?P(X=104)=524 ，
P(X=?96)=(1?34)×(1?23)=112 ，
P(X=?112)=(1?34)×23×12+34×(1?23)×12=524 ．
X 的分布列为
X
104
88
-96
-112
P
12
524
112
524
∴ E(X)=104×12+88×524?96×112?112×524=39 ，
∴ E(Y)=E(5000X)=5000E(X)=195000 .
∴估计该工厂加工5000个配件 M 的利润为19.5万元
【解析】（1）根据题意利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
（2）结合已知条件设加工5000个配件M的利润为Y，加工一个配件M的利润为X，则Y=5000X，求X的所有可能取值及对应的概率，即可得出答案．
练习5【答案】 （1）解：依题意得 a=15(1?0.02×5?0.03×5?0.03×5?0.04×5?0.03×5)=0.05 .
一年中日均气温不低于15℃的频率为 0.03×5+0.04×5+0.05×5+0.03×5=0.75=34
（2）解：这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为 34 ，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为 14 ，
设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为 X ， X 的所有可能取值为0，5，10，15，20 P(X=0)=25×34=620=310 ， P(X=5)=25×34+25×14=820=25 ， P(X=10)=25×14=220=110 ， P(X=15)=15×34=320 ， P(X=20)=15×14=120 .
所以 X 的分布列为
X
0
5
10
15
20
P
310
25
110
320
120
所以 X 的数学期望 E(X)=0×310+5×25+10×110+15×320+20×120=254=6.25
所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为 20?6.25=13.75 （千瓦时）
所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为 13.75×365=5018.75 （千瓦时）
【解析】(1)由已知条件的图表中的数据结合平均数的公式计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
练习6【答案】 （1）解：设“三只小球恰在两个盒子中”为事件 A ，则 P(A)=C31C22C42A2243=916 .
（2）解：设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件 B ，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件 C ，则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件： B+C ，
P(B)=C31(1+2)43=964 ，
P(C)=2+C32×343=1164 ，
B 与 C 互斥，
故 P(B+C)=P(B)+P(C)=964+1164=516 .
（3）解： X=1,2,3,4 .
P(X=1)=143=164 ；
P(X=2)=23?143=764 ；
P(X=3)=33?2343=1964 ；
P(X=4)=43?3343=3764 ；
故 E(X)=1×164+2×764+3×1964+4×3764=5516 .
【解析】（1）利用实际问题已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式，从而求出三只小球恰在两个盒子中的概率。
（2） 设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件 B ，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件 C ，则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件： B+C ， 再利用互斥事件求概率公式，从而求出至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率。
（3） 以 X 表示这些盒子编号的最大值， 所以 X=1,2,3,4 ，再利用已知条件求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望 EX 的值。