7.4二项分布与超几何分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）

754380-149225第七章随机变量及其分布
第七章随机变量及其分布
1917701216025知识点1-----二项分布
知识点1-----二项分布
1642745158757.4二项分布与超几何分布
7.4二项分布与超几何分布
1.伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验

2.n重伯努利实验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立


3.?二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
falsefalse
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作false
1587594615注意：
二项分布的均值与方差
(1)二项分布的均值:在n次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np.
(2)二项分布的方差:若离散型随机变量X从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
注意：
二项分布的均值与方差
(1)二项分布的均值:在n次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np.
(2)二项分布的方差:若离散型随机变量X从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).










-635074930知识点2-----超几何分布
知识点2-----超几何分布


1.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为false，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，Mfalse,false,false,false,false,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布

2.超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN , 则p是N件产品的次品率，而是抽取的 n件产品的次品率,则E( Xn )=p,即E(X)=np.



24638094615注意：
超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件的概率问题.
注意：
超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件的概率问题.
00经典例题
经典例题

例题1.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为 23 ，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数 X 期望是（ ??）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?83???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?53
【答案】 B
【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 P=13×23+23=89 ，通不过的概率为 p=19 ，
由题意可知，甲3个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0,1,2,3 ，
则 P(X=0)=(19)3=1729 ；
P(X=1)=C31×89×(19)2=24729 ；
P(X=2)=C32×(89)2×19=193729 ；
P(X=3)=(23)3=827(89)3=512729 ，
∴ 随机变量 X 的分布列为：
? X
?0
?1
?2
?3
? P
1729
24729
192729
512729
数学期望 E(X)=0×1729+1×24729+2×192729+3×512729=83 ，
或由二项分布的期望公式可得 E(X)=3×89=83 ，
故答案为：B．

例题2.已知随机变量与满足分布列 ξ~B(3,p) ，当 p∈(12,23) 且不断增大时，（??? ）
A.?P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 减小??????????????????????B.?P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 增大
C.?P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 增大??????????????????????D.?P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 减小
【答案】 A
【解析】依题意得 P(ξ=2)=C32p2(1?p) =?3p3+3p2 ，
令 f(p)=?3p3+3p2 ，则 f'(p)=?9p2+6p=?9(p?13)2+1 ，
当 p∈(12,23) 时， f'(p) 为递减函数，所以 f'(p)>f'(23)=?9(23?13)2+1=0 ，
所以 f(p) 在 (12,23) 上为单调递增函数，即当 p∈(12,23) 且不断增大时， P(ξ=2) 的值增大.
D(ξ)=3p(1?p)=?3(p?12)2+34 在 (12,23) 上为单调递减函数，即当 p∈(12,23) 且不断增大时， D(ξ) 减小.
故答案为：A.
例题3.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设 ξ 为取得红球的次数，则 P(ξ=2)= （?? ）
A.?425????????????????????????????????????B.?36125????????????????????????????????????C.?925????????????????????????????????????D.?54125
【答案】 B
【解析】由题意知， ξ~B(3,15) ，由二项分布的概率计算公式得 P(ξ=2)=C32?(25)2?35=36125 ，
故答案为：B。

例题4.2020年底某网购公司为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2020年下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．
（1）求这20个会员对售后服务满意的频率；
（2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．
（i）求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
（ii）记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为 X ，求 X 的数学期望与标准差（标准差的结果精确到0.1）．
【答案】 （1）解：由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为 1420=0.7
（2）解：（i）设只有1个会员对售后服务不满意的事件 A ，则 P(A)=C31×0.3×0.72=0.441 ；
（ii）因为 X~B(3,0.7) ，所以 EX=3×0.7=2.1 ， DX=3×0.7×0.3=0.63 ， DX≈0.8
【解析】 （1）根据题意由雷达图可知及其频率的定义即可得出；
（2）（i）设只有1个会员对售后服务不满意的事件A，利用二项分布列的概率计算公式即可得出； （ii） 由二项分布的性质把数值代入到期望和方差的公式计算出结果即可。?
例题5.某工厂生产甲、乙两种电子产品，甲产品的正品率为 p （ p 为常数且 0（1）记 X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，若 E(X)=8.2 ，求 p ；
（2）在（1）的条件下，求生产4件甲产品所获得的利润不少于11万元的概率.
【答案】 （1）解：由题设知， X 的可能取值为10，5，2，-3，
且 P(X=10)=p(p+0.1) ， P(X=5)=(1?p)(p+0.1) ，
P(X=2)=p(1?p?0.1)=p(0.9?p) ， P(X=?3)=(1?p)(1?p?0.1)=(1?p)(0.9?p) .
所以 X 的分布列为：
-3
2
5
10
(1?p)(0.9?p)
p(0.9?p)
(1?p)(p+0.1)
p(p+0.1)
所以 E(X)=?3(1?p)(0.9?p)+2×p(0.9?p) +5×(1?p)(p+0.1)+10×p(p+0.1)=13p?2.2 ，
因为 E(X)=8.2 ，所以 13p?2.2=8.2 ，解得 p=0.8 .
（2）解：设生产的4件甲产品中正品有 n 件，则次品有 4?n 件，
由题意知， 4n?(4?n)≥11 ，则 n=3 或 n=4 .
所以 P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192 .
故所求概率为0.8192.
【解析】（1）利用已知条件可知随机变量 X 的可能取值为10，5，2，-3， 进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望，再结合已知条件 E(X)=8.2 ， 从而求出p的值。
（2） 在（1）的条件下， 设生产的4件甲产品中正品有 n 件，则次品有 4?n 件， 由题意知， 从而求出n的值，进而结合互斥事件求概率公式和二项分布求概率公式，从而求出生产4件甲产品所获得的利润不少于11万元的概率 。
例题6.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn ．
（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；
（2）证明： Pn+1?pn=?12(pn?pn?1)(1≤n≤98) ；
（3）求P99 ， P100的值．
【答案】 （1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，
P（X＝3）＝（ 12 ）3 =18 ，
P（X＝4） =C31(12)3=38 ，
P（X＝5） =C32(12)3=38 ，
P（X＝6）＝（ 12 ）3 =18 ．
∴X的分布列如下：
X
3
4
5
6
P
18 ?
38 ?
38 ?
18 ?
∴ E(X)=3×18+4×38+5×38+6×18=92 ．
（2）证明： 根据题意，棋子要到第 (n+1) 站，由两种情况，由第 n 站跳1站得到，其概率为 12Pn ，也可以由第 (n?1) 站跳2站得到，其概率为 12Pn?1 ，所以， Pn+1=12Pn+12Pn?1 ．
等式两边同时减去 Pn 得 Pn+1?Pn=?12Pn+12Pn?1=?12(Pn?Pn?1)(1≤n≤98) ；
（3）解：由（2）可得 P0=1 ， P1=12 ， P2=12P1+12P0=34 ．
由（2）可知，数列 {Pn+1?Pn} 是首项为 P2?P1=14 ，公比为 ?12 的等比数列，
∴Pn+1?Pn=14?(?12)n?1=(?12)n+1 ，
∴P99=P1+(P2?P1)+(P3?P2)+?+(P99?P98)=12+(?12)2+(?12)3+?+(?12)99=12+14[1?(?12)98]1?(?12) =23(1?12100) ，
又 P99?P98=(?12)99=?1299 ，则 P98=23(1+1299) ，
由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有 P100=12P98=13(1+1299) ．
【解析】首先根据题意求出满足题意的X的取值。再由已知条件求出每个数值对应下的概率值，由此得到X的分布列，再把数值代入到数学期望的公式计算出结果即可。
(2)结合已知条件即可得出概率的关系式Pn+1=12Pn+12Pn?1 ， 整理即可得出结论。
（3）由(2)的结论即可得出 数列 {Pn+1?Pn} 是 等比数列，结合等比数列的通项公式即可求出Pn+1?Pn=14?(?12)n?1=(?12)n+1 ， 由此即可得出P99=P1+(P2?P1)+(P3?P2)+?+(P99?P98)=23(1?12100)整理得到
P99?P98=(?12)99=?1299 ， 进而计算出P98=23(1+1299)由此得到结果即可。
-8255110490随堂练习
随堂练习



练习1.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， A 学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 X 分， B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 Y 分，则 D(Y)?D(X) 的值为(?? )
A.?12512??????????????????????????????????????B.?3512??????????????????????????????????????C.?274??????????????????????????????????????D.?234

练习2.A 、 B 两支篮球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局 A 队获胜的概率是 12 外，其余每局比赛 B 队获胜的概率都是 13 .假设各局比赛结果相互独立.则 A 队以 3:2 获得比赛胜利的概率为（?? ）
A.?427???????????????????????????????????????B.?281???????????????????????????????????????C.?1681???????????????????????????????????????D.?827
练习3.一次抛掷两枚质地均匀的骰子，当至少有一枚5点或一枚6点时，即认定这次试验成功．则在10次试验中成功次数X的数学期望为??? (????? )
A.?103??????????????????????????????????????B.?203??????????????????????????????????????C.?509??????????????????????????????????????D.?20081
练习4.为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass（通过）与Fail（失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为 13 ，且各关卡之间是否通过相互独立．
（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；
（2）若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费．
（ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额 X 的数学期望：
（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.
练习5.某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，每台仪器被每位专家评议为“可靠”的概率均为 p(0（1）当 p=45 ，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．

练习6.五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用 ξ 表示取出的3个小球中最大得分，求：
（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；
（2）随机变量 ξ 的概率分布和数学期望；
（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.


00参考答案
参考答案
练习1【答案】 A
【解析】设 A 学生答对题的个数为 m ，则得分 x=5m （分）， m?B(12,14) ， D(m)=12×14×34=94 ，所以 D(X)=25×94=2254 ，同理设 B 学生答对题的个数为 n ，可知 n?B(12,13) , D(n)=12×13×23=83 ，所以 D(Y)=83×25=2003 ，所以 D(Y)?D(X)=2003?2254=12512 .
故答案为：A.

练习2【答案】 A
【解析】解：若“ A 队以 3:2 胜利”，
则前四局 A 、 B 各胜两局，
第五局 A 胜利，
因为各局比赛结果相互独立，
所以队以 3:2 获得比赛胜利的概率为
P=C42(23)2×(13)2×12=427 ，
故答案为：A.
练习3【答案】 C
【解析】∵成功次数服从二项分布，
每次试验成功的概率为1-×=， ∴在10次试验中，成功次数ξ的期望为×10=．
故选C ．
练习4【答案】 （1）解：买家通过三关的概率为 C33×(13)3=127 ，
买家参加复活环节并闯关成功的概率为 C32×(13)2×23×C22×(13)2=281 ，
所以买家闯关成功的概率 P=127+281=581 ．
（2）解：（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率 P=581 ，
设这8100名买家中闯关成功的人数为 Y ，
则 X=50Y+10(8100?Y)=40Y+81000 ，
且 Y~B(8100,581) ，
所以 Y 的数学期望为 E(Y)=8100×581=500 ，
所以该日所有买家所获红包总金额 X 的数学期望为
E(X)=E(40Y+81000)=40E(Y)+81000=101000 元．
（ⅱ）设电商该日剔除红包款后盈利 Z 元，
则 E(Z)=8×(8100?500)+120×500?E(X)=19800 元，
由此可见，该电商该日通过游戏搞促销活动盈利较多，很合算．
【解析】（1）分买家通过三关和买家参加复活环节并闯关成功分别求出概率并求和.（2）（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率 P=581 ，则 Y~B(8100,581) ，而 X=50Y+10(8100?Y)=40Y+81000 ，可求出答案.(ii) 设电商该日剔除红包款后盈利 Z 元，则 E(Z)=8×(8100?500)+120×500?E(X) ，可得出答案.
练习5【答案】 （1）解：题意知 X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且 X 服从参数为 n=4,p=45 的二项分布，
所以 P(X=k)=C4k(45)k(1?45)4?k(k=0,1,2,3,4)
P(X=0)=(1?45)4=1625 ，
P(X=1)=C41(45)1(1?45)3=16625 ，
P(X=2)=C42(45)2(1?45)2=96625 ，
P(X=3)=C43(45)3(1?45)1=256625 ，
P(X=4)=(45)4=256625 ．
故 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1625
16625
96625
256625
256625
从而 E(X)=165 ．
（2）解：设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400．
P(X=100)=p3+(1?p)3 ， P(X=400)=1?p3?(1?p)3 ．
所以 E(X) = 100[p3+(1?p)3]+400[1?p3?(1?p)3] ，
化简得 E(X)=400?300[p3+(1?p)3] ，
令 f(p)=400?300[p3+(1?p)3] ， p∈(0,1)
f'(p)=?300[3p2?3(1?p)2]=?300(6p?3)=0 ，解得 p=12 ，
当 00 ， f(p) 在 (0,12) 单调递增，
当 12所以当 p=12 时， f(p) 的最大值为 f(12)=325 ．
实施此方案，最高费用为 100×325=32500 元 < 33000元，不会超过预算．
【解析】 （1）推出X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X服从参数为 ?n=4,p=45的二项分布，求出概率，得到分布列，然后求解期望;
（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400． P(X=100)=p3+(1?p)3?，?P(X=400)=1?p3?(1?p)3通过 ?E(X)=400?300[p3+(1?p)3] ,构造函数，结合函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．
练习6【答案】 （1）解：“一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为 A ，
则 P(A)=C63?C21?C21?C21C123=811
（2）解：由题意 ξ 有可能的取值为：2，3，4，5，6
P(ξ=2)=C22?C21+C21?C22C123=155 ；
P(ξ=3)=C42?C21+C41?C22C123=455 ；
P(ξ=4)=C62?C21+C61?C22C123=955 ；
P(ξ=5)=C82?C21+C81?C22C123=1655 ；
P(ξ=6)=C102?C21+C101?C22C123=511
所以随机变量 ξ 的概率分布为
ξ
2
3
4
5
6
P
155
455
955
1655
511
因此 ξ 的数学期望为 E(ξ)=2×155+3×455+4×955+5×1655+6×511=5611
（3）解：“某人抽奖一次，中奖”的事件为 C ，则
P(C)=P(ξ=3或ξ=4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=455+955=1355
【解析】(1)根据题意由概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先题意求出ξ的取值，再由概率公式计算出每种情况下的的概率值即可得出随机变量的分布列，结合期望公式代入数值计算出结果即可。
(3)根据题意设出事件C结合题意即可得到P(C)=P(ξ=3或ξ=4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=455+955=1355计算出结果即可。