7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）

1225550011938000436880-371475第七章随机变量及其分布
第七章随机变量及其分布
17462502178057.5正态分布
7.5正态分布
-101600295910知识点1-----正态分布
知识点1-----正态分布
（1）定义
如果对于任何实数随机变量满足：，则称随机变量服从正态分布。记为
（2）正态分布的期望与方差
若，，则的期望与方差分别为：，。
要点诠释：
（1）正态分布由参数和确定。
参数是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。是
标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．
-107950290195知识点2-----正态曲线
知识点2-----正态曲线

1.正态曲线:
沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变， 所得的曲线依然是正态曲线false函数，其中false,false为参数.
显然对于任意x∈R，false，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称false为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率密度函数为false，则称随机变量X服从正态分布，记为X～false，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

2.正态曲线的性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。
要点诠释：
性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=时取最值；性质⑦说明越大，总体分布越分散，越小，总体分布越集中．




4762522860 重难点探究
重难点探究


随机变量取值的概率与面积的关系
若随机变量ξ服从正态分布，那么对于任意实数a、b（a＜b），当随机变量ξ在区间（a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a，x=b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b]上取值的概率．

一般地，当随机变量在区间（－∞，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左侧以及x轴围成图形的面积，如图（2）．随机变量在（a，+∞）上取值的概率是正态曲线在x=a右侧以及x轴围成图形的面积，如图（3）．
根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．


正态分布在三个特殊区间的概率值：
；
；
。
上述结果可用下图表示：
要点诠释：
若随机变量服从正态分布，则落在内的概率约为，落在之外的概率约为，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。
一般的，服从于正态分布的随机变量通常只取之间的值，简称为原则。
求正态分布在给定区间上的概率方法
（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与轴之间面积为1。
①正态曲线关于直线对称，与对称的区间上的概率相等。
例如；
②；
③若，则。
(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
①；
②；
③。


00经典例题
经典例题

例题1.已知随机变量 ξ~N(μ,σ2) ，有下列四个命题：
甲： P(ξP(ξ>a+2) ? 乙： P(ξ>a)=0.5
丙： (ξ≤a)=0.5 ? 丁： P(a<ξ如果只有一个假命题，则该命题为（??? ）
A.?甲?????????????????????????????????????????B.?乙?????????????????????????????????????????C.?丙?????????????????????????????????????????D.?丁
【答案】 D
【解析】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故 a=μ ，
根据正态分布的对称性可知：甲： P(ξ<μ?1)>P(ξ>μ+2) 为真命题，所以丁为假命题.
并且， P(μ<ξ<μ+1)>P(μ+1<ξ<μ+2) .
所以假命题的是丁.
故为：D

例题2.某种芯片的良品率 X 服从正态分布 N(0.95,0.012) ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过 95% ，不予奖励；若芯片的良品率超过 95% 但不超过 96% ，每张芯片奖励 100 元；若芯片的良品率超过 96% ，每张芯片奖励 200 元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（??? ）元附：随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.6826 ， P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544 ， P(μ?3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974 .
A.?52.28??????????????????????????????????B.?65.87??????????????????????????????????C.?50.13??????????????????????????????????D.?131.74
【答案】 B
【解析】因为 X?N(0.95,0.012) ，得出 μ=0.95 ， μ+σ=0.96 ，
所以 P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5 ，
P(0.95=12P(μ?σP(X>0.96)=12[1?P(μ?σ所以 E(X)=0+100×0.3413+200×0.1587=65.87 （元）
故答案为：B

例题3.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28（吨/天）的确定为“超标”社区：
垃圾量 X
[12.5,15.5)
[15.5,18.5)
[18.5,21.5)
[21.5,24.5)
[24.5,27.5)
[27.5,30.5)
[30.5,33.5)
频数
5
6
9
12
8
6
4
附：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ?σ（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值 x （精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量 X 大致服从正态分布 N(μ,σ2) ，其中 μ ， σ2 分别近似为（1）中样本的平均值 x ，方差 s2 ，经计算 s 约为5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随机抽取5个进行跟踪调查，设 Y 为抽到的这一天产生的垃圾量 至少为30.5吨的社区个数，求 Y 的分布列与数学期望．
【答案】 （1）解：由频数分布表得
x=14×5+17×6+20×9+23×12+26×8+29×6+32×450
=22.76≈22.8 ，
所以这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值为22.8吨
（2）解：由（1）知 μ=22.8 ．因为 s 约为5.2，所以取 σ=5.2 ．
所以 P(X>28)=P(X>μ+σ)
=1?0.68272=0.15865 ．
又 320×0.15865=50.768≈51 ，
所以估计这320分社区一天中“超标”社区的个数为51
（3）解：由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，所以 Y 的可能取值为1，2，3，4，
P(Y=1)=C41C44C85=114 ，
P(Y=2)=C42C43C85=37 ，
P(Y=3)=C43C42C85=37 ，
P(Y=4)=C44C41C85=114 ，
所以 Y 的分布列为
Y
1
2
3
4
P
114
37
37
114
所以 E(Y)=1×114+2×37+3×37+4×114=52
【解析】（1）利用图表中的数据算平均数的方法可以直接计算出来；
（2）根据正态分布的规律，计算公式可以直接计算出结果；
（3）由题意可知Y可以取值1，2，3，4，再由超几何分布概率的计算方法分别计算出对应的概率，即可计算出结果．
?
例题4.标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率 z 服从正态分布 N(μ,σ2) .
（附：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ，则① P(μ?σ（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于 μ?3σ 的数量，求 P(X≥1) 及 X 的数学期望；
（2）下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.9376
0.9121
0.9424
0.9572
0.9518
0.9058
0.9216
0.9171
0.9635
0.9268
经计算得： x=110i=110xi=0.9335 ， s=110i=110(xi?x)2≈0.0189 （其中 xi 为抽取的第 i 个口罩的过滤率）用样本平均数 x 作为 μ 的估计值，用样本标准差 s 作为 σ 的估计值，利用该正态分布，求 P(z≥0.9524) （精确到 0.001 ）
【答案】 （1）解：已知检验率服从正态分布 N(μ,σ2) ，则事件 P(X<μ?3σ)=1?0.99742=0.0013
当生产状态正常时，重复不放回的取10个口罩属于独立重复事件， n=10 ， p=0.0013 ，
故有： E(X)=np=10×0.0013=0.013 ，
而 P(X≥1)=1?P(X=0)=1?C100p0(1?p)10=1?0.998710=0.0129 .
（2）解：由题意知：由平均数近似估计 μ ，
则有 P(z≥0.9524)=P(z≥x+s)=1?0.68262=0.1587 .
【解析】（1）已知可知检验率服从正态分布 N(μ,σ2)? ，通过PX=0可求出 P(X≥1)=1?P(X=0)≈0.0129?，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2）利用公式即可得到结论。
-5588038100随堂练习
随堂练习
练习1.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 ξ 占近似服从正态分布 N(95,σ2) ，且 P(91<ξ≤95)=0.25 ．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（??? ）
A.?100??????????????????????????????????????B.?125??????????????????????????????????????C.?150??????????????????????????????????????D.?175

练习2.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f(x)=12π?10e?(x?80)2200(x∈R) ，则下列命题中不正确的是（??? ）
A.?分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
B.?该市这次考试的数学平均成绩 μ 为80分
C.?该市这次考试的数学成绩的标准差 σ 为10
D.?可以简记为：数学成绩服从正态分布 N(80,10)
练习3.已知随机变量 X?N(2,1) ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形 OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（??? ）（附：若随机变量 ξ?N(μ,σ2) ，则 P(μ?σ<ξ≤μ+σ)=0.6826 ， P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544 .）
A.?0.1359???????????????????????????????B.?0.7282???????????????????????????????C.?0.8641???????????????????????????????D.?0.93205

练习4.某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
（1）通过分析可以认为考生初试成绩 X 服从正态分布 N(μ,δ2) ，其中 μ=64 ， δ2=169 ，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为 34 ，后两题答对的概率均为 23 ，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为 Y ，求 Y 的分布列及数学期望.
附：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,δ2) ，则 P(μ?δ
练习5.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 3% 、 7% 、 16% 、 24% 、 24% 、 16% 、 7% 、 3% ．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 [91,100] 、 [81,90] 、 [71,80] 、 [61,70] 、 [51,60] 、 [41,50] 、 [31,40] 、 [21,30] 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布 N(60,169) ．
（1）求物理原始成绩在区间 (47,86) 的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间 [61,80] 的人数，求X的分布列和数学期望．
（附：若随机变量 ξ~N(μ,σ2) ，则 P(μ?σ<ξ<μ+σ)=0.682 ， P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 ， P(μ?3σ<ξ<μ+3σ)=0.997 ）
练习6.“全面小康路上一个也不能少”是习近平总书记向全国人民作出的郑重承诺！是对全面建成小康社会的形象表达，其中一个重要指标，就是到2020年我国现行标准下农村贫困人口全面脱贫.目前，全国还有一些贫困县未摘帽，不少贫困村未出列，建档立卡贫困人口尚未全部脱贫.某市为了制定下一步扶贫战略，统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入，并绘制了如下频率分布直方图：
（1）若这1000户家庭中，家庭年纯收入不低于5（千元）的家庭，且不超过7（千元）的户数为40户，请补全频率分布图，并求出这1000户家庭的年纯收入的平均值 X （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为这1000户的家庭年纯收入 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ，其中 μ 近似为年纯收入的平均值 X,σ2 近似为样本方差，经计算知 σ2=9.26 ；设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为 x 千元（即家庭年纯收入大于 x 千元，则该户家庭实现脱贫，否则未能脱贫），若根据此正态分布估计，这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，试求该市的脱贫标准 x ；
（3）若该市为了加大扶贫力度，拟投入一笔资金，帮助未脱贫家庭脱贫，脱贫家庭巩固脱贫成果，真正做到“全面小康路上一个也不能少”，方案如下：对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元，对家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元，对家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭每户家庭给予扶持资金8千元，对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持，设 Y 为每户家庭获得的扶持资金，求 E(Y) （结果精确到0.001）.
附：若随机变量 X~N(μ,?σ2) ，则 P(μ?σ







150495-262890参考答案
参考答案

练习1【答案】 D
【解析】由题意，成绩 X 近似服从正态分布 N(95,σ2) ，
则正态分布曲线的对称轴为 X=95 ，
又由 P(91<ξ≤95)=0.25 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 P(X≥99)=12×[1?2×P(91所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为 700×0.25=175 人，
故答案为：D.
练习2【答案】 D
【解析】由 f(x)=12π?10e?(x?80)2200(x∈R) ，可得该正态分布为 N(80,100) ，
所以分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，
该市这次考试的数学平均成绩 μ 为80分，标准差 σ 为10。
故答案为：D
练习3【答案】 D
【解析】解：根据题意，随机变量满足正态分布 X?N(2,1) ，
得 μ=2,σ2=1 ，则对称轴为 x=2 ， σ=1 ，
根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
P(0≤X≤1)=12[P(0≤X≤4)?P(1≤X≤3)]
即 P(0≤X≤1)=12[P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)?P(μ?σ≤X≤μ+σ)]
=12×(0.9544?0.6826)=0.1359 ，
可知长方形 OABC 的面积为： 1×2=2 ，设阴影部分的为 S ，
故所求的概率为 P=S2=2?0.13592=0.93205 .
即向长方形 OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为0.93205.
故答案为：D.
练习4【答案】 （1）解：∵学生笔试成绩 X 服从正态分布 N(μ,δ2) ，其中 μ=64 ， δ2=169 ，
μ+2δ=64+2×13=90
∴ P(X≥90)=P(X≥μ+2δ)=12(1?0.9544)=0.0228
∴估计笔试成绩不低于90分的人数为 0.0228×5000=114 人
（2）解： Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，
则 P(Y=0)=(1?34)×(1?23)2=136
P(Y=3)=34×(1?23)2=336=112
P(Y=5)=(1?34)×C21×23×(1?23)=19
P(Y=8)=34×C21×23×(1?23)=39=13
P(Y=10)=(1?34)×(23)2=19
P(Y=13)=34×(23)2=39=13
Y 的分布为
故 ξ 的分布列为：
Y
0
3
5
8
10
13
P
136
112
19
13
19
13
E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712
【解析】(1)利用正态分布的数据代入数值计算出结果即可。
(2)首先求出满足题意的Y的取值，然后再求出对应Y的值的概率值，由此得到Y的分布，再把数值代入到数学期望的公式计算出结果即可。
练习5【答案】 （1）解：因为物理原始成绩 ξ?N(60,132) ，
所以 P(47<ξ<86)=P(47<ξ<60)+P(60≤ξ<86)
=12P(60?13<ξ<60+13)+12P(60?2×13≤ξ<60+2×13)
=0.6822+0.9542
=0.818 ．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为 2000×0.818=1636 （人）．
（2）解：由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为 25 ．
所以随机抽取三人，则 X 的所有可能取值为0,1,2,3，且 X?B(3,25) ，
所以 P(X=0)=(35)3=27125 ，
P(X=1)=C31?25?(35)2=54125 ，
P(X=2)=C32?(25)2?35=36125 ，
? P(X=3)=(25)3=8125 ．
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125
所以数学期望 E(X)=3×25=65 ．
【解析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间 (47,86) 分为 (47,60) 和 (60,86) 两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间 (47,86) 内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为 25 ，且 X?B(3,25) ，由此可得X的分布列和数学期望．
练习6【答案】 （1）解：家庭年纯收入不低于5（千元）且不超过7（千元）的频率为 401000=0.04 ，
纵坐标为0.02；家庭年纯收入超过15（千元），但不超过17（千元）的家庭频率为
1?2×(0.02+0.05+0.12+0.16+0.06+0.04)=0.1 ，纵坐标为0.05，
补全频率分布直方图如下图：
这1000户家庭的年纯收入的平均值为： 6×0.04+8×0.1+10×0.24+12×0.32+14×0.12+16×0.1+18×0.08=12 ．
（2）解：1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫，
则未脱贫概率为 1?841.351000=0.15865 ，
设该市的脱贫标准为 x ，则 P(x根据 P(μ?σ得脱贫标准 x=μ?σ=12?9.26=12?3.04=8.96 ．
（3）解： ∵μ=12,σ=9.26=3.04,∴μ?2σ=5.92 ，
μ?σ=8.96,μ+σ=15.04 ，
家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭频率为
P(X<5.92)=P(X<μ?2σ)=1?0.95452≈0.0228 ，
家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭频率为
P(5.92家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭频率为
P(8.96家庭年纯收入超过15.04千元的家庭频率为
P(X>15.04)=P(X>μ+σ)=1?0.68272≈0.1587 ，
则每户家庭获得的扶持资金 Y 的数学期望
E(Y)=15×0.0228+12×0.1359+8×0.6827+0×0.1587=7.4344≈7.434 千元．
【解析】 （1）先计算频率，再补全图形；
（2）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6827和P（x＜X＜2μ-x）=0.6827可知x=μ-σ；
（3）根据正态分布分别计算需要补助的各种家庭所占的比例，再计算数学期望．