6.3二项式定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（word含答案）

二项式定理：（a+b）=++...+，n∈N*.
（2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）的二项式展开式，它共有n+1项.
（3）二项式系数：各项的系数（k=0，1，2，...，n）叫做二 项式系数.
（4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项叫做二项展开式的通项.
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 即 =
性质2：增减性与最大值: 先增后减
当n是偶数时,中间的一项 ,取得最大值

当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。
性质3：各二项式系数的和
(1).也就是说, (a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n
(2.)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2
例题1
1.设
（1）求 ， 的值
（2）求 除以9的余数
【答案】 （1）解：对于
令 ，得： ①
令 ，得： ②
①+②得： ，∴ = .
，求导得： ，
令 ，得 ，
即
（2）解：
∴




显然，上面括号内的数为正整数，故求 被9除的余数为7
【解析】（1)利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用赋值法得出
①和 ②， ①+②得 的值，用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用求导的方法结合赋值法求出 的值 。
（2）利用二项式定理求出展开式中的通项公式，结合变形的方法，进而求出 除以9的余数 。
?
?
例题2.??
（1）设 .
①求 ；
②求 ；
③求 ；
（2）求 除以9的余数．
【答案】 （1）解：①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15
（2）解：S＝C ＋C ＋…＋C ＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1＝C ×99－C ×98＋…＋C ×9－C －1
＝9(C ×98－C ×97＋…＋C )－2
＝9(C ×98－C ×97＋…＋C －1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7
【解析】（1）利用赋值法分别求出 ，? 和的值。
（2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用组合数的性质，从而求出 除以9的余数。
例题3.二项式 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】 （1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得 ，
因此所有二项式系数的和 .
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得 ，所以 或 ，
因此所求有理项为 ， .
【解析】（1）由二项展开式的性质求得 的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为： ，根据有理项的定义，求得 或 ，代入即可求解.
例题4.对任意 ，定义 ，其中 ， 为正整数.
（1）求 ， 的值；
（2）求证： ；
（3）设 是否存在实数 ，使得 对任意 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.

【答案】 （1）解： ，
所以 ，所以 ，
，
所以 ， ；
（2）解： ，
所以 ，
，
所以



，
所以 ；
（3）解：由（2）知， ，设 ，
则 ，
可以发现 会随着n的增大而增大，
所以 会随着n的增大而减小，并且会越来越接近与1，
所以 会无限趋近与 ，且比 要大；
当 时，
则 ，
同理可以确定 会随着会随着n的增大而增大，会无限趋近与 ，
从而可以得出满足 的 的值为 .
【解析】（1）分别令 和 ，将 和 展开，求得 的值，进而求得结果；（2）分别列出 和 的值，列出关系，得到 ，从而证得结果；（3）假设存在实数 ，满足条件，根据题意找关系，确定出 的极限，求得结果.
练习1 .设 ， .
（1）求 的展开式中系数最大的项；
（2） 时，化简 ；
（3）求证： .
练习2.已知
（1）求 ；
（2）我们知道二项式 的展开式 ,若等式两边对 求导得 ，令 得 .利用此方法解答下列问题：
①求 ；
②求 .
练习3.已知函数 ，其中 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ， ，求 ( ，1，2，3，…，8)的最大值；
（3）若 ，求证： ．
练习4.已知数列 是等比数列， ，公比是 的展开式的第二项（按 的降幂排列）.
（1）求数列 的通项 ；
（2）求数列 前 项和 ；
（3）若 ，求 .
练习1【答案】 （1）解： ，通项为： ，
故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为 ；
（2）解：
；
（3）证明：令 ①，
则 ，
所以 ②，
① ②得： ，∴ .
【解析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大；（2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可；（3）根据 ，将左边利用倒序相加法求和.
练习2【答案】 （1）解：对于(2x－1)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn ，
取x=1得a0＋a1＋a2＋…＋an=1
（2）解：①对(2x－1)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边求导得2n(2x－1)n－1=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1 ，
取x=1得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan=2n.
②将2n(2x－1)n－1=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1两边乘以x得
2n(2x－1)n－1·x=a1x＋2a2x2＋3a3x3＋…＋nanxn ，
两边求导得
2n[2(n－1)(2x－1)n－2x＋(2x－1)n－1]=a1＋22a2x＋32a3x2＋…＋n2anxn－1 ，
取x=1得12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an=4n2－2n
【解析】（1）采用赋值法，令 ，求系数的和；（2）①原式 两边求导，得 ，再赋值 求值；② 两边同时乘以 ，然后两边再求导，赋值 求值.
练习3【答案】 （1）解： ， 时，
，
令 得 ，
令 得 ，
两式相加可得 ．
（2）解： ，
．
不妨设 为 中的最大值，则 或6，
中最大值为 ．
（3）解：若 ， ，
．
因为 ，
所以 ．

．
故得证.
【解析】(1)首先把代入求出n的值，从而得出再由特殊值法代入计算出结果即可。
(2)根据题意由(1)的结论即可得出结合已知条件即可得出进而求出t的值由此即可得出结果。
(3)已知条件即可得出 ， 解二项式定理整理即可得证出结论。
练习4【答案】 （1）解： 的展开式的第二项为 ，
所以，数列 的公比为 ，则 ；
（2）解：当 时，则 ， ；
当 时， .
综上所述， ；
（3）解：当 时， ， ，
此时， ；
当 时， ，
此时， .
综上所述， .
【解析】(1)根据题意由二项展开式的通项公式代入数值计算出x的值即为等比数列的公比，由此即可求出数列的通项公式。
(2)结合等比数列的前n项公式代入数值计算出答案即可。
(3)根据题意对x分情况讨论 当 以及当时，结合二项式定理代入数值即可求出。