18.1勾股定理2
图片预览
文档简介
(共57张PPT)
a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
┏
a
c
b
勾
股
弦
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
一、预习与反馈
知识回顾 ：
练一练
例1.在等腰Rt△ABC中, ∠c=90°， a=b=1,则c=
例2.在Rt△ABC中, ∠A=30°， ∠c=90° AB=2，则BC= ＿
AC=＿＿＿
1
练一练，想一想
数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
0
1
2
3
4
二、新课精讲
0
1
2
3
4
L
A
B
2
C
那斜边一定是
解：
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
1
1
用同样的方法，你能否在数轴上画出表示
，…
提示：
利用上一个直角三角形的斜边
作为下一个直角三角形的直角边
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
55cm
１０cm
6cm
55cm
48cm
解题思路：把握题意——找关键字词——连接相关知识——建立数学模型（建模）
知识构建:
勾股定理
（a2+b2=c2)
直角三角形
中的应用
已知任意两条边，
就可以求第三边．
已知一条边以及另
两条边之间的关系，
就可以求另两条边的
长度．
勾股小常识：勾股数
1、 a +b =c ，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.
如：3、4、5 ; 5、12、 13; 7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，
如：6、8、10； 9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数；
4、
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16，则高
AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿
3 、 等边三角形的边长为12，则它的高为______
4、在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为_________
5或
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，那么它的宽是（ ）
A ㎝ B ㎝ C ㎝ D ㎝
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ ）
A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°,
∠B=45°,AC=1,则AB=( )
A 2, B 1, C , D
A
C
B
A
B
C
三、反馈练习
（4）、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是
A、6厘米 B、 8厘米
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
D
【解析】选D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5米,所以BC=10米， 米.
大树折断前的高度为AC+BC=15(米).
3.如图所示，一棵大树在一
次强台风中离地面5米处折
断倒下，倒下部分与地面
成30°角，则这棵大树在
折断前的高度和AB的长分
别为（ ）
（A）10米， 米 （B）15米， 米
（C）10米， 米 （D）15米， 米
5. 已知，在△ABC中，∠A=45°，
AB= +1，则边BC的长为____.
【解析】过点C作CD⊥AB,
∵∠A=45°,∴AD=CD,
∴2AD2=AC2=2,
∴DC=AD=1,
∴BD=AB-AD= +1-1=
在Rt△CDB中，
答案：2
四、小结测试
五、作业
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。
无字证明
青出
朱方
青方
朱入
朱出
青入
青入
青出
青出
a
b
c
无字证明
①
②
③
④
⑤
青出
朱入
朱出
朱方
青方
青入
青入
青出
青出
华罗庚
青朱出入图
朱入
朱出
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？
提示：图中的两个大正方形面积相等吗？
空白部分的面积呢？那剩余的
(4)
(3)
(2)
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
c
c
c
c
(a-b)2
(a-b)2
C2－4×
ab
=
a2 + b2 = c2
可得：
a2+b2－2ab = c2－2ab
b
C
a
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
证明一
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
大正方形的面积该怎样表示
(a+b)2
=
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
证明二
证明三
c2
a2
b2
a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
a
证明六 印度婆什迦羅的證明
c
c2 = b2 + a2
b
证明七 “总统”证法
(a + b)(b + a) = c2 + 2× ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab
a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
证明八
证明八
证明八
证明八
证明八
a2
b2
证明九
证明九
证明九
证明九
证明九
c2
a2 + b2 = c2
证明九
证明九
拼图游戏
证明九
拼图游戏
无字证明
青出
朱方
青方
朱入
朱出
青入
青入
青出
青出
a
b
c
无字证明
①
②
③
④
⑤
青出
朱入
朱出
朱方
青方
青入
青入
青出
青出
华罗庚
青朱出入图
朱入
朱出
I
II
III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I
II
III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III
因此，a2 + b2 = c2 。
证明十
2ab +（b－a）2 = c2
2ab + b2 －2ab + a2 = c2
a2 + b2 = c2
2ab + c2 = (a+b)2
2ab + c2=a2 + b2 + 2ab
a2 + b2 = c2
a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
┏
a
c
b
勾
股
弦
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
一、预习与反馈
知识回顾 ：
练一练
例1.在等腰Rt△ABC中, ∠c=90°， a=b=1,则c=
例2.在Rt△ABC中, ∠A=30°， ∠c=90° AB=2，则BC= ＿
AC=＿＿＿
1
练一练，想一想
数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
0
1
2
3
4
二、新课精讲
0
1
2
3
4
L
A
B
2
C
那斜边一定是
解：
扩展
利用勾股定理作出长为 的线段.
1
1
用同样的方法，你能否在数轴上画出表示
，…
提示：
利用上一个直角三角形的斜边
作为下一个直角三角形的直角边
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，１０cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
55cm
１０cm
6cm
55cm
48cm
解题思路：把握题意——找关键字词——连接相关知识——建立数学模型（建模）
知识构建:
勾股定理
（a2+b2=c2)
直角三角形
中的应用
已知任意两条边，
就可以求第三边．
已知一条边以及另
两条边之间的关系，
就可以求另两条边的
长度．
勾股小常识：勾股数
1、 a +b =c ，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.
如：3、4、5 ; 5、12、 13; 7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，
如：6、8、10； 9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数；
4、
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝3：4，c＝10，求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16，则高
AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿
3 、 等边三角形的边长为12，则它的高为______
4、在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另一边为_________
5或
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，那么它的宽是（ ）
A ㎝ B ㎝ C ㎝ D ㎝
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ ）
A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5
⑵如图，在RT△ABC中，∠C=90°,
∠B=45°,AC=1,则AB=( )
A 2, B 1, C , D
A
C
B
A
B
C
三、反馈练习
（4）、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是
A、6厘米 B、 8厘米
C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
D
【解析】选D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5米,所以BC=10米， 米.
大树折断前的高度为AC+BC=15(米).
3.如图所示，一棵大树在一
次强台风中离地面5米处折
断倒下，倒下部分与地面
成30°角，则这棵大树在
折断前的高度和AB的长分
别为（ ）
（A）10米， 米 （B）15米， 米
（C）10米， 米 （D）15米， 米
5. 已知，在△ABC中，∠A=45°，
AB= +1，则边BC的长为____.
【解析】过点C作CD⊥AB,
∵∠A=45°,∴AD=CD,
∴2AD2=AC2=2,
∴DC=AD=1,
∴BD=AB-AD= +1-1=
在Rt△CDB中，
答案：2
四、小结测试
五、作业
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。
无字证明
青出
朱方
青方
朱入
朱出
青入
青入
青出
青出
a
b
c
无字证明
①
②
③
④
⑤
青出
朱入
朱出
朱方
青方
青入
青入
青出
青出
华罗庚
青朱出入图
朱入
朱出
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？
提示：图中的两个大正方形面积相等吗？
空白部分的面积呢？那剩余的
(4)
(3)
(2)
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
c
c
c
c
(a-b)2
(a-b)2
C2－4×
ab
=
a2 + b2 = c2
可得：
a2+b2－2ab = c2－2ab
b
C
a
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
证明一
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
大正方形的面积该怎样表示
(a+b)2
=
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
证明二
证明三
c2
a2
b2
a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
a
证明六 印度婆什迦羅的證明
c
c2 = b2 + a2
b
证明七 “总统”证法
(a + b)(b + a) = c2 + 2× ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab
a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
证明八
证明八
证明八
证明八
证明八
a2
b2
证明九
证明九
证明九
证明九
证明九
c2
a2 + b2 = c2
证明九
证明九
拼图游戏
证明九
拼图游戏
无字证明
青出
朱方
青方
朱入
朱出
青入
青入
青出
青出
a
b
c
无字证明
①
②
③
④
⑤
青出
朱入
朱出
朱方
青方
青入
青入
青出
青出
华罗庚
青朱出入图
朱入
朱出
I
II
III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I
II
III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III
因此，a2 + b2 = c2 。
证明十
2ab +（b－a）2 = c2
2ab + b2 －2ab + a2 = c2
a2 + b2 = c2
2ab + c2 = (a+b)2
2ab + c2=a2 + b2 + 2ab
a2 + b2 = c2