2012高考数学导数题预测

2012高考数学题导数预测
设函数，（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
解析：（1），依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（2）的定义域为，．
方程的判别式．
①若，即，在的定义域内，故的极值．
②若，则或．若，，．
当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．
③若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为
．
答案： （1）；（2）见详解。
点评：本题主要考查对极值概念的理解以及对函数导数的综合运用。
已知函数处取得极值2。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，在区间为增函数；
（Ⅲ）若图象上任意一点，直线的图象切于P点，求直线L的斜率的取值范围。
解：（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）
又在
）
（Ⅲ）直线I在P点的切线斜率
令
当
）
设是的两个极值点，的导函数是
（Ⅰ）如果 ，求证： ；
（Ⅱ）如果 ，求的取值范围 ；
（Ⅲ）如果 ，且时，函数的最小值为 ，求的最大值。
（I）证明： 是方程的两个根 1分
由且得 2分
得
3分
（Ⅱ）解：由第（1）问知 由 ，两式相除得
即 4分
①当时，由 即
， 5分
令函数，则
在上是增函数
当时， ，即 7分
②当时， 即
令函数则同理可证在上是增函数
当时，
综①②所述，的取值范围是
（Ⅲ）解：的两个根是 ，可设
10分
又
g(x)
当且仅当 ，即 时取等号
当时，
在上是减函数