20.1第一课时 平行四边形的判定（1）

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第20章 平行四边形的判定
§20.1 平行四边形的判定
1、平行四边形的定义？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形有哪些重要的性质？
平行四边形的对边相等、对边平行.
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
回顾与思考
我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：
1． 两组对边分别平行且相等；
2． 两组对角分别相等；
3． 两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？
“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？
我们先来作一个两组对边分别相等的四边形．
这个四边形像不像平行四边形．下面我们来证明:
已知：四边形ABCD中, AB=CD，AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=CD，AD=BC （已知）
B
D
A
C
3
4
1
2
证明：连结AC，
又∵ AC=AC （公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4
（全等三角形的对应边相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC
（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
平行四边形的性质：
　平行四边形的两组对边分别相等
比一比
平行四边形的判定：
　两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：
　平行四边形的两组对边分别平行
再比一比
平行四边形的判定：
　两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：
“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”
如图,试作一个有一组对边平行且相等的四边形．
∵ AD∥BC
B
D
A
C
已知：四边形ABCD中, AD=BC，AD∥BC
求证：四边形ABCD是平行四边形
3
4
证明：连结AC
∴∠3=∠4
又∵ AD=CB 　AC＝CA
∴△ABC≌△CDA（SAS）
∴AB＝CD
（全等三角形的对应边相等）
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵ AD=BC
判定定理2
　　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB＝CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
“平行且相等”常用符号“? ”来表示．如图， AB＝CD且AB∥CD，可以记作“AB? CD”，读作“AB平行且等于CD”．
例1.如图，在?ABCD中，E、F分别是对边BC和AD上的两点，且AF＝CE，求证： 四边形AECF为平行四边形．
分析 我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件有AF＝CE，若运用现在得到的判定方法，只须证明AF∥CE．
证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC（平行四边形的对边平行）
即AF∥CE．
又∵ AF＝CE，
∴ 四边形AECF为平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
练习
1． 在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？
解:3个
2． 如图，在平行四边形ABCD中，已知M和N分别是AB和DC上的中点，试证明四边形BNDM也是平行四边形．
平行四边形的判定方法：
理一理
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
知识就是力量！
知识就是源泉！
1.延长⊿ABC的中线AD至E,使DE=AD,求证:四边形ABEC是平行四边形
2.AC是□ABCD的一条对角线,BM⊥AC,DN⊥AC,垂足为M、N,求证:四边形BMDN是平行四边形
A
B
C
D
M
N