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人教版
八年级数学下册
19.3
课题学习
选择方案（第1课时）
学习目标
1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；
2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；
3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．
学习重点
建立函数模型解决方案选择问题．
1.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,
当x=________时y1=y2，
当x_________时y1>y2
当x________时y11
2
>5
<5
5
1
2
知识回顾
2.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x
千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算．
＞1500
知识回顾
情景导入
情景导入
情景导入
一件事情，有时会有不同的实施方案
A
方案
B
方案
C
方案
D
方案
选择方案时，常用到一次函数选择最优方案
情景导入
选择方案
问题1
怎样选取上网收费方式？
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/时
超时费/(元/分)
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120
不限时
下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式.
选取哪种方式能节省上网费？
根据省钱原则选择方案
选择方案的依据是什么？
新知探究
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/时
超时费/(元/分)
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120
不限时
1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
A、B会变化，C不变
2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？
上网费=月使用费+超时费
3.影响超时费的变量是什么？
上网时间
4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？
没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/时
超时费/(元/分)
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
5.设月上网时间为x
h，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在
x
>
0
时，考虑何时
（1）
y1
=
y2；
（2）
y1
<
y2；
（3）
y1
>
y2.
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/时
超时费/(元/分)
A
30
25
0.05
6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？
不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生．
合起来可写为：
当0≤x≤25时，y1=30；
当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45.
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/时
超时费/(元/分)
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120
不限时
7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间
x之间的函数关系式吗?
方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢?
当x≥0时，y3=120.
方式A.
方式B.
方式C.
请比较y1
y2
y3
的大小？
当x≥0时，y3=120.
这个问题看起来还是有点复杂，难点在于每一个函数的解析式都是分类表示的，需要分类讨论，而怎样分类是难点,怎么办？
综上分析我们把这个问题描述为函数问题,设上网时间为
x，方案A，B，C的上网费用分别为y1
元，y2
元，
y3
元，且
——先画出图象看看．
新知探究
方式A.
在同一坐标系画出它们的图象：
方式B.
方式C.
当x≥0时，y3=120.
7.当上网时__________时，选择方式A最省钱.
在同一坐标系画出它们的图象：
此时，A和B方式一样省钱
7.当上网时__________时，选择方式A最省钱.
当上网时间__________时，选择方式B最省钱.
在同一坐标系画出它们的图象：
此时，B和C方式一样省钱
7.当上网时__________时，选择方式A最省钱.
当上网时间__________时，选择方式B最省钱.
当上网时间_________时，选择方式C最省钱.
在同一坐标系画出它们的图象：
实际问题
一次函数问题
设变量
找对应关系
一次函数问题的解
实际问题的解
解释实
际意义
这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？
解后反思
某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：
A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/分；
B方案：
零月租费，通话费为0.3元/分.
（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话
时间t（分）之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方式合算？
A方案：
y1
=
15+0.2t（t≥0）
B方案：y2
=
0.3t（t≥0）.
练习巩固
解：（1）
A方案：
y1
=
15+0.2t（t≥0），
B方案：
y2
=
0.3t（t≥0）.
（2）这两个函数的图象如下：
t（分）
O
50
150
100
10
20
y（元）
50
30
40
●
●
y1
=
15+0.2t
y2
=
0.3t
●
观察图象，可知：
当通话时间为150分时，选择A或B方案费用一样；
当通话时间少于150分时，选择B方案费合算；
当通话时间多于150分时，选择A方案合算.
解决方案问题步骤：
1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型）.
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围.
3.利用一次函数的增减性知识从而选择出最佳方案.
课堂小结
1．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价
y(元)与销售量
x（件）之间的函数图象．下列说法,
其中正确的说法有????????????
．（填序号）
①售2件时甲、乙两家售价一样；
②买1件时买乙家的合算；
③买3件时买甲家的合算；
④买1件时，售价约为3元.
课后作业
2.
东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择．
甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本．
乙：按购买金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≤10）本．如何选择方案购买呢？
课后作业
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19.3
课题学习
选择方案（第1课时）
同步练习
一、选择题
1．（2021春?海淀区校级月考）某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出、、三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：
类年票：每张120元，持票入园无须再购票；
类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了类年票，小华选择了类年票，以下说法正确的是
A．小军的年入园需求可能是25次
B．小华的年入园次数需求多于小军
C．小华的年入园需求可能是25次
D．小华的年入园次数需求少于小军
2．（2021?南岗区一模）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，判断下列说法中错误的是
A．小明从家步行到学校共用了20分钟
B．小明从家步行到学校的平均速度是90米分
C．当时，与的函数解析式是
D．小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行360米
3．（2021?江津区模拟）甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论：
①；
②；
③甲车从地到地共用了7小时；
④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是 ．
A．4
B．3
C．2
D．1
4．（2021?自贡模拟）2021年自贡环青龙湖半程马拉松的赛程是21.0975公里，甲乙两选手的行程（千米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①第1小时两人都跑了10千米；②起跑1小时过后，甲在乙的后面；③在起跑后的0.5至1.5小时，甲比乙跑得更慢；④乙比甲先到达终点．
其中正确的说法有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
5．（2021春?沙坪坝区校级月考）小明、小宏两人在一条笔直的道路上相向而行，小明骑自行车从甲地到乙地，小宏开车从乙地到甲地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知小明先出发6分钟后，小宏才出发，在整个过程中，小明、小宏两人的距离（千米）与小明出发的时间（分之间的关系如图所示，已知点坐标为，，则点坐标为
．
6．（2020秋?青山区期末）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有
．（填序号）
7．（2021?商河县一模）某天早晨，亮亮、悦悦两人分别从、两地同时出发相向跑步而行，途中两人相遇，亮亮到达地后立即以另一速度按原路返回．如图是两人离地的距离（米与悦悦运动的时间（分之间的函数图象，则亮亮到达地时，悦悦还需要
分到达地．
三、解答题
8．（2021春?金山区校级月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．
问：（1）设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，与的函数关系式．
（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明．
（3）随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大．
9．（2021?石家庄一模）某市在全体居民居家封闭抗击疫情期间，需从甲、乙两家超市紧急调配生鲜食品供应、两个小区．已知甲、乙超市现存生鲜食品分别是和，、两个小区分别急需生鲜食品和，所需配送费如下表中的数据．设从乙超市送往小区的生鲜食品为．
配送费（元
小区
小区
甲超市
0.2
0.25
乙超市
0.15
0.18
（1）甲超市送往小区的生鲜食品为 （用含的式子表示）；
（2）求当甲、乙两个超市配送费相等时，的值；
（3）设甲、乙两个超市的总配送费是元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
10．（2021?和平区一模）市和市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援市10台，市8台．已知从市调运一台机器到市、市的运费分别为130元和200元；从市调运一台机器到市、市的运费分别为100元和150元．
（Ⅰ）填空：
若从市运往市机器5台，
①从市运往市机器
台；
②从市运往市机器 台；
③从市运往市机器 台；
（Ⅱ）填空：
设从市运往市机器台，总运费为元，
①从市运往市机器 台；
②从市运往市机器 台；
③从市运往市机器 台；
④总运费关于的函数关系式为 ；
⑤若总运费不超过2650元，共有 种不同的调运方案．
（Ⅲ）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？
11．（2021?碑林区校级二模）某市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划修建、两种型号的沼气池共24个，两种沼气池的修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：
沼气池
修建费用（万元个）
可供使用户数（户个）
占地面积（平方米个）
型
3
20
10
型
2
15
8
设修建型沼气池个，修建两种沼气池共需费用万元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若此次修建沼气池至少要保证幸福村400户的居民每户一个，且政府土地部门只批给该村沼气池用地220平方米，求出费用最少时的修建方案，并计算此时修建完沼气池剩余的用地面积．
12．（2020秋?余杭区期末）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：
①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．
某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为（个，付款总金额为（元．
（1）分别写出两种优惠方案中与之间的函数关系式；
（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？
19.3
课题学习
选择方案（第1课时）
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2021春?海淀区校级月考）某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出、、三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：
类年票：每张120元，持票入园无须再购票；
类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了类年票，小华选择了类年票，以下说法正确的是
A．小军的年入园需求可能是25次
B．小华的年入园次数需求多于小军
C．小华的年入园需求可能是25次
D．小华的年入园次数需求少于小军
【解析】解：设小军的年入园次数是，
由题意得，，
解得：，
设小华的年入园次数是，
由题意得，，
解得：，
小军的年入园次数小于20次，小华的年入园次数大于30次，
小华的年入园次数需求多于小军．
故选：．
2．（2021?南岗区一模）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，判断下列说法中错误的是
A．小明从家步行到学校共用了20分钟
B．小明从家步行到学校的平均速度是90米分
C．当时，与的函数解析式是
D．小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行360米
【解析】解：由图象可知，小明从家步行到学校共用了20分钟，故正确；
根据图象，小明从家步行到学校共用了20分钟，所以小明的平均速度为（米分），故正确；
当时，小明走的路程为960米，速度为（米分），与的函数解析式是，故正确；
当时，设，
将、代入，得：
，
解得：，
；
当时，，
（米，
当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故错误．
故选：．
3．（2021?江津区模拟）甲、乙两车从地驶向地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶，并且甲车途中休息了，如图是甲、乙两车行驶的距离与时间的函数图象，有以下结论：
①；
②；
③甲车从地到地共用了7小时；
④当两车相距时，乙车用时为．其中正确结论的个数是 ．
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】解：由题意，得，故①结论正确；
，则，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程与时间的函数关系式为，由题意，得：
，
解得，
当时，，
解得：，
甲车从地到地共用了7小时，故③结论正确；
当时，．
设乙车行驶的路程与时间之间的解析式为，由题意得：
，
解得，
．
当时，
解得：，
当时，
解得：，
，，
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距，故④结论错误．
正确结论的个数是3个．
故选：．
4．（2021?自贡模拟）2021年自贡环青龙湖半程马拉松的赛程是21.0975公里，甲乙两选手的行程（千米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①第1小时两人都跑了10千米；②起跑1小时过后，甲在乙的后面；③在起跑后的0.5至1.5小时，甲比乙跑得更慢；④乙比甲先到达终点．
其中正确的说法有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：由图象可得，第1小时两人相遇，都跑了10千米，故①正确；
由纵坐标看出，起跑后1小时后，甲在乙的后面，故②正确；
由纵坐标看出，起跑后0.5小时，甲在乙的前面，起跑后1小时，乙追上甲，起跑后1.5小时，乙在甲的前面，所以在起跑后的0.5至1.5小时，甲比乙跑得更慢，故③正确；
④起跑后2小时，乙到达终点，2小时后，甲才到达终点，所以乙比甲先到达终点，故④正确；
故选：．
二、填空题
5．（2021春?沙坪坝区校级月考）小明、小宏两人在一条笔直的道路上相向而行，小明骑自行车从甲地到乙地，小宏开车从乙地到甲地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知小明先出发6分钟后，小宏才出发，在整个过程中，小明、小宏两人的距离（千米）与小明出发的时间（分之间的关系如图所示，已知点坐标为，，则点坐标为 ．
【解析】解：由图象可得，
从甲地到乙地的路程是，
小明的速度为（千米分钟），
小宏的速度为：（千米分钟），
故小宏从乙地到甲地需要：（分钟），
（千米），
点坐标为，
故答案为：．
6．（2020秋?青山区期末）甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有 ①②③ ．（填序号）
【解析】解：①当时，，
、之间的距离为，结论①正确；
②乙的速度为，
甲的速度为，
，
乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③，结论③正确；
④，结论④错误．
故结论正确的有①②③，
故答案为：①②③．
7．（2021?商河县一模）某天早晨，亮亮、悦悦两人分别从、两地同时出发相向跑步而行，途中两人相遇，亮亮到达地后立即以另一速度按原路返回．如图是两人离地的距离（米与悦悦运动的时间（分之间的函数图象，则亮亮到达地时，悦悦还需要 10 分到达地．
【解析】解：根据题意得，
亮亮从地到地的速度为：（米分），
悦悦的速度为：（米分），
亮亮返回的速度为：（米分），
亮亮到达地时，悦悦到达地还需要的时间为：（分钟）．
故答案为：10
三、解答题
8．（2021春?金山区校级月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．
方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．
方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．
问：（1）设工厂每月生产件产品，每月利润为元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，与的函数关系式．
（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明．
（3）随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大．
【解析】解：（1）由分析得：采用方案1时总利润为：
．
采用方案2时总利润为：；
（2）当时，当采用方案1时工厂利润为：；
当采用方案2时工厂利润为；，
所以工厂采用方案1时利润更多；
（3）当时，解得，即当污水量超过5000立方米时，工厂采用方案1时利润更多；
当时，解得，即当污水量等于5000立方米时，工厂采用任意一种方案的利润相同；
当时，解得，即当污水量超过5000立方米时，工厂采用方案2时利润更多．
9．（2021?石家庄一模）某市在全体居民居家封闭抗击疫情期间，需从甲、乙两家超市紧急调配生鲜食品供应、两个小区．已知甲、乙超市现存生鲜食品分别是和，、两个小区分别急需生鲜食品和，所需配送费如下表中的数据．设从乙超市送往小区的生鲜食品为．
配送费（元
小区
小区
甲超市
0.2
0.25
乙超市
0.15
0.18
（1）甲超市送往小区的生鲜食品为 （用含的式子表示）；
（2）求当甲、乙两个超市配送费相等时，的值；
（3）设甲、乙两个超市的总配送费是元，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【解析】解：（1）从乙超市送往小区的生鲜食品为，小区急需生鲜食品，
甲运往小区的生鲜食品是，
而甲超市现存生鲜食品分别是，
甲运往小区的生鲜食品是，
故答案为：；
（2）当甲、乙两个超市配送费相等时，列方程得：
，
解得，
答：当甲、乙两个超市配送费相等时，的值是200；
（3）由题意得，，
化简得，
自变量的取值范围是．
10．（2021?和平区一模）市和市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支援市10台，市8台．已知从市调运一台机器到市、市的运费分别为130元和200元；从市调运一台机器到市、市的运费分别为100元和150元．
（Ⅰ）填空：
若从市运往市机器5台，
①从市运往市机器
台；
②从市运往市机器 台；
③从市运往市机器 台；
（Ⅱ）填空：
设从市运往市机器台，总运费为元，
①从市运往市机器 台；
②从市运往市机器 台；
③从市运往市机器 台；
④总运费关于的函数关系式为 ；
⑤若总运费不超过2650元，共有 种不同的调运方案．
（Ⅲ）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？
【解析】解：（Ⅰ）若从市运往市机器5台，
①从市运往市机器7台；
②从市运往市机器5台；
③从市运往市机器1台；
故答案为：7；5；1；
（Ⅱ）设从市运往市机器台，总运费为元，
①从市运往市机器台；
②从市运往市机器台；
③从市运往市机器台；
④总运费关于的函数关系式为：
；
⑤由题意，得，
解得，
可取8、9、10，
故若总运费不超过2650元，共有3种不同的调运方案．
故答案为：；；；；3；
（Ⅲ）从市运往市机器台，运往市机器台；
从市运往市机器台，运往市机器台；
，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，的最小值是2600，
答：使得总运费最低的方案是：市运往市机器为10台，市运往市机器为2台，市运往市机器为0台，市运往市机器6台，此时总运费为2600元．
11．（2021?碑林区校级二模）某市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划修建、两种型号的沼气池共24个，两种沼气池的修建费用、可供使用户数、占地面积如下表：
沼气池
修建费用（万元个）
可供使用户数（户个）
占地面积（平方米个）
型
3
20
10
型
2
15
8
设修建型沼气池个，修建两种沼气池共需费用万元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若此次修建沼气池至少要保证幸福村400户的居民每户一个，且政府土地部门只批给该村沼气池用地220平方米，求出费用最少时的修建方案，并计算此时修建完沼气池剩余的用地面积．
【解析】解：（1）由题意可得，
，
即与的函数关系式为；
（2）政府土地部门只批给该村沼气池用地220平方米，且修建沼气池至少要保证幸福村400户的居民每户一个，
，
解得，
为整数，
，9，10，11，12，13，14．
即有7种满足上述要求的修建方案：
①修型池8个，型池16个；
②修型池9个，型池15个；
③修型池10个，型池14个；
④修型池11个，型池13个；
⑤修型池12个，型池12个；
⑥修型池13个，型池11个；
⑦修型池14个，型池10个；
修建费为：，
当有最小值时，有最小值，
即费用最少时的方案为型池修8个，型池16个，
故剩余用地面积为：．
12．（2020秋?余杭区期末）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：
①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．
某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为（个，付款总金额为（元．
（1）分别写出两种优惠方案中与之间的函数关系式；
（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？
【解析】解：（1）由题意可得，
方案①：，
方案②：，
即方案①中与之间的函数关系式是，方案②中与的函数关系式为；
（2）当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱．
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精品试卷·第
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