5.7 生活中的圆周运动（二） 学案全集（人教必修2）

5．7 生活中的圆周运动（二）
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一、离心运动
1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受的合外力 提供圆周运动所需要的向心力时，将远离圆心运动。这种运动叫做离心运动。
2．离心运动的实质：做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着切线方向飞出的倾向，因为有向心力的作用，向心力改变了速度的方向，把物体不断的从切线方向拉到圆周上来。当向心力突然消失时，物体将沿切线方向飞出（如图中③）；当向心力不足以提供向心力时，虽然向心力可以把物体拉离切线方向，但拉不到圆周上来，也做远离圆心的运动（如图中②）。可见，离心运动实质是物体惯性的表现。
3．物体的运动轨迹与受力的关系：
假设物体正以角速度ω绕定点0做半径为r的匀速圆周运动．则物体所需要的向心力F=mrω2，向心力由物体所受合外力来提供。设物体所受合外力为F。
比较两者关系，可得到以下结论：
(1)当F=mrω2时，物体将继续在原轨道上做匀速圆周运动，轨迹如图①所示。
(2)当F＜mrω2时，即外界所提供的合力F不足以满足匀速圆周运动所需要的向心力时，物体将会逐渐远离圆心0，轨迹如图中②所示。
(3)当F=0时，即外界所提供的合力F为零或外力突然消失时，由于物体有惯性，将会沿圆周在该点的切线方向飞去，轨迹如图中③所示。
(4)当F＞mrω2时，外界所提供的合力F大于物体做匀速圆周运动所需要的向心力时，也会使物体偏离原来的圆周轨道而逐渐靠近圆心O，轨迹如图中④所示。
二、竖直平面内圆周运动中的临界问题
竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内的变速圆周运动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类问题进行简要分析。
图甲 图乙 图丙 图丁
1．如图甲、乙 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
设小球质量为m，图甲中的绳长为L（图乙中轨道半径为R），在最点的速度为v，当小球运动到最点时，做圆周运动的向心力为，如果，此时绳子不能提供支持力，小球将脱离圆周，不能做完整的圆周运动。所以小球能在竖直平面内做完整圆周运动临界条件 ，能过最高点的条件 ，此时绳或轨道对球分别产生______________ ，不能过最高点的条件 。
2．如图丙、丁所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况
设小球质量为m，图丙中的杆长为L（图丁中轨道半径为R），在最点的速度为v，当小球运动到最点时，做圆周运动的向心力为，如果，此时重力提供向心力多余的部分压在杆上，杆对小球一个支持力，使小球仍能做圆周运动，不会脱离圆周运动。可见，这种情况下小球能过最高点的条件 ，此时杆对球的作用力 。
当0当v=时，杆对小球 ；
当v>时，杆对小球的力为 ，其大小为____________。
精讲精练
知识点1 离心运动概念的理解
[例1] 下列关于离心现象的说法正确的是 ( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做曲线运动
知识点2 圆周运动中绳模型的应用
[例2] 长L＝0.5m的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m＝0.5 Kg的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v＝3m/s，水对筒底的压力多大？
知识点3 圆周运动中的杆模型
[例3] 如图所示，竖直放置的半径为R的圆环上套着一个质量为m的小球，现给球一初速度，使小球沿圆环在竖直平面内转动，不计空气阻力，则 （ ）
A.小球到达最高点的速度必须大于
B.小球到达最高点的速度可能为0
C.小球到达最高点一定受环对它向下的压力
D.小球到达最高点一定受环对它向上的支持力
教材补充
田径运动员的弯道跑技术
目前，国际性田径比赛使用的是周长为400 m的标准跑道。跑道通常设有8条分道，各宽1.2～1.25 m，弯道半径(内径)37.90 m。200 m、400 m等项目的竞赛都涉及弯道途中跑。由于弯道约占全程的3／5，所以弯道技术成为制胜的关键。根据圆周运动的知识，弯道跑中，最重要的是有意识地使身体向圆心方向倾斜，蹬地与摆动方向都应与身体向圆心方向倾斜趋于一致(如图)。对于不同道次上的运动员来说，跑道半径R不同，即使速率相同，人体的倾斜角度也是不同的。假设某一运动员在弯道上的速率为lO m／s，则从最内侧跑道到最外侧跑道所需要的向心力、倾斜的角度见下表：
弯道半径R／m 37.90 39.15 40.40 4l.65 42.90 44.15 45.40 46.65
向心力(R为37.90 m时取1) 1 0.97 0.94 0.91 0.88 0.86 0.83 0.8l
倾斜角／度 15.07 14.6l 14.18 13.77 13.38 13.01 12.67 12.34
从上表中，我们可以看出，在相同速率下，运动员在最内侧和最外侧跑道上比赛时，向心力相差约19％，人体的倾斜角度相差近3°，这正是运动员重视比赛道次安排的重要原因。
请在标准跑道上试一试，在保持相同快慢的情况下，不同道次上的身体的倾斜情况。
学海泛舟
1．关于离心运动，下列说法中正确的是 ( )
A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动
2.下列那些现象是为了防止离心运动而产生不良后果的（ ）
A.汽车拐弯时要限速
B.转速很高的砂轮半径不能做得太大
C.在砂轮的外侧加一个防护罩
D.修筑铁路时，拐弯处轨道内高外低
3．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v的速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为多少
4．质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，求空气对飞机的作用力大小和方向。
1．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F的作用下做匀速圆周运动，若小球到达B点时F突然发生变化，下列关于小球的运动的说法正确的是 （ ）
A. F突然消失，小球将沿轨迹Ba做离心运动
B. F突然变小，小球将沿轨迹Ba做离心运动
C. F突然变大，小球将沿轨迹Bb做离心运动
D. F突然变小，小球将沿轨迹Bc做离心运动
2．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，图中Ａ、Ｂ分别表示小球运动轨道的最低点和最高点，则杆对小球的作用力可能是 （ ）
A．Ａ处为拉力，Ｂ处为拉力
B．Ａ处为拉力，Ｂ处为支持力
C．Ａ处为推力，Ｂ处为拉力
D．Ａ处为推力，Ｂ处为支持力
3．如图所示，轻绳下系一质量为l kg的小桶，桶底放一质量为0.5 kg的木块。现在使小桶在竖直平面内做半径R=60 cm的圆周运动，若小桶通过圆弧最低点的速度为5 m／s(忽略小桶和木块的大小)，求：
(1)木块对桶底的压力；
(2)木块所受的合力；
(3)绳子所受的拉力．
4．如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度ω做匀速圆周运动。在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力的数值之差为多少
5．7 生活中的圆周运动（一）
精讲精练
[例1] [思路分析] 从离心运动的实质可见，物体做远离圆心的运动是物体惯性的表现，并不是什么离力心的作用，A错。离心运动时指沿切线或渐渐远离圆心的运动，不是指背离圆心的运动，B错。在外力消失时，由于惯性物体将沿此时圆周的切线方向飞出，做匀速直线运动，C对，D错。
答案：C
[例2] [思路分析] （1）若水恰不流出，则有，所求最小速率m/s＝2.2m/s
(2) 在最高点速度为v＝3m/s时，由牛顿第二定律得
N－0.5×9.8 N＝4.1 N
由牛顿第三定律知，水对桶底的压力FN′＝FN＝4.1 N
答案：（1）2.2m/s （2）4.1N
[例3] [思路分析] 由于环对球有支撑作用，小球达最高点时速度可以为0，故B正确，A错误；当最高点速度为，则只有重力提供做圆周运动的向心力，由此可见，此时环对球的作用力为0，若小球速度过大，又飞出的趋势时，对小球受力分析可知
此时为压力。若小球速度为0，对小球受力分析可知，
则小球受到杆的支持力（即推力）为mg。
由以上分析可知，小球在最高点受到的力可能是压力，可能是支持力，可能是0。
答案：B
课内训练
1．D
2．ABC
3．3mg
4．大小为 方向与水平方向的夹角为
课外探究
1．A
2．AB
3．(1)25.8 N
(2)20.8 N
(3)77.5 N
4．
.o
….
课 内 训 练
课 外 探 究
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B
a
b
c
O
F
O
B
A
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