22．2 平行四边形的判定第1课时
01 基础题
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，根据图中所给条件可判定四边形ABCD是平行四边形的依据是(
)
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等、另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．(2020·鸡西)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件
，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可)．
第2题图
第3题图
3．如图，若∠1＝∠2，AD＝CB，则四边形ABCD是
．
4．(2020·岳阳)如图，点E，F在?ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
5．(2020·广西)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
知识点2 平行线间的距离处处相等
6．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是(
)
A．AB＝CD
B．EC＝GF
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
7．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将(
)
A．变大
B．变小
C．不变
D．无法确定
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4
cm，到直线b的距离是2
cm，那么直线a和直线b之间的距离为
．
02 中档题
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要的条件是(
)
A．AB＝DC
B．∠1＝∠2
C．AB＝AD
D．∠D＝∠B
10．(2020·保定竞秀区期末)如图，已知E，F分别为平行四边形ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积不一定相等的三角形是(
)
A．△ABD
B．△BDC
C．△EFC
D．△DCF
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形，其中正确的结论是
．
03 综合题
12．(2020·邢台模拟)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于点M，连接BM.
(1)求证：△BAD≌△CAE.
(2)若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数．
(3)求证：四边形MBDE是平行四边形．
22．2 平行四边形的判定第1课时
01 基础题
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，根据图中所给条件可判定四边形ABCD是平行四边形的依据是(D)
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等、另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．(2020·鸡西)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AD＝BC或AB∥CD，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可)．
第2题图
第3题图
3．如图，若∠1＝∠2，AD＝CB，则四边形ABCD是平行四边形．
4．(2020·岳阳)如图，点E，F在?ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝BC，FD＝AD，
∴BE＝DF.
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
5．(2020·广西)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)由(1)得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
知识点2 平行线间的距离处处相等
6．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是(D)
A．AB＝CD
B．EC＝GF
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
7．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将(C)
A．变大
B．变小
C．不变
D．无法确定
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4
cm，到直线b的距离是2
cm，那么直线a和直线b之间的距离为6_cm或2_cm．
02 中档题
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要的条件是(D)
A．AB＝DC
B．∠1＝∠2
C．AB＝AD
D．∠D＝∠B
10．(2020·保定竞秀区期末)如图，已知E，F分别为平行四边形ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积不一定相等的三角形是(C)
A．△ABD
B．△BDC
C．△EFC
D．△DCF
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE.若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形，其中正确的结论是①②④．
03 综合题
12．(2020·邢台模拟)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD，AE为腰作等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于点M，连接BM.
(1)求证：△BAD≌△CAE.
(2)若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数．
(3)求证：四边形MBDE是平行四边形．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠BAC＝180°－2∠ABC.
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED.
∴∠DAE＝180°－2∠ADE.
∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°.
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°.
∴∠ECB＝∠ACB＋∠ACE＝60°.
∵EM∥BC，
∴∠MEC＋∠ECB＝180°.
∴∠MEC＝180°－60°＝120°.
(3)证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠ACE.
∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB.
∴∠ACE＝∠EMC.∴ME＝EC.
∴DB＝ME.
又∵EM∥BD，
∴四边形MBDE是平行四边形．(共25张PPT)
22.2平行四边形的判定（1）
冀教版
八年级下
学习目标
1.运用类比的方法，探索平行四边形的判定方法.
2.理解平行四边形的判定方法，并会简单运用.(重难点）
定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的对边相等，对角相等
平行四边形的对角线互相平分.
既是平行四边形的性质也是平行四边形的判定.
性质：
复习引入
平行四边形定义是什么？它有哪些性质？
活动1 判定定理的探究
阅读教材第123~124页,回答下列问题:
1.你知道平行四边形的判定方法吗?如何表示?
(定义法):两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
几何语言表达定义法:
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
解析:一个四边形只要其两组对边分别平行,则可判定这个四边形是一个平行四边形.
设问:若一个四边形有一组对边平行且相等,则能否判定这个四边形也是平行四边形呢?
2.画两条互相平行的直线,在这两条直线上分别截取线段AB=CD.将线段AB沿BC方向平移,线段AB与CD能不能重合?你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形?
由此,你发现了什么结果?
总结:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
设问:我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢?
平行四边形的判定方法2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图所示,用几何语言表述为:
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.求证四边形ABCD是平行四边形.
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形,只能通过证四边形的两组对边分别平行,即利用平行四边形的定义加以证明.
证明:如图所示,连接BD.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB.∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
知识要点
平行四边形的判定定理1：
思考：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
如等腰梯形
(教材第124页例1)已知:如图所示,在?ABCD中,E为BA延长线上一点,F为DC延长线上一点,且AE=CF,连接BF,DE.
求证四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
又∵AE=CF,
∴BE=BA+AE=DC+CF=DF,且BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
平行线间的距离
二
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出这些垂线段的长度．
经过测量，我们发现这些垂线段的长度都相等．这种现象说明了平行线的又一个性质：
平行线之间的距离处处相等．
合作探究
尝试证明这个结论.
(教材第124页例2)求证:平行线间的距离处处相等.
已知:如图所示,EF∥MN,A,B为直线EF上任意两点,AD⊥MN,垂足为D,BC⊥MN,垂足为C.
求证AD=BC.
想一想:两条平行线间的距离指的是什么?
(平行线间所作垂线段的长度)
证明:∵AD⊥MN,BC⊥MN,
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN,
∴四边形ADCB是平行四边形.
∴AD=BC.
1.(2016·绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是
( )
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
解析:∵只有②③中两个角的两边互相平行,∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选D.
D
2.如图所示,下面不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.∠B=∠D,∠BAD=∠BCD
B.AB∥CD,AD=BC
C.∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°
D.AB∥CD,AB=CD
解析:∵∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,A选项正确;∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,不一定是平行四边形,B选项不正确;∵∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,C选项正确;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,D选项正确.故选B.
B
课堂练习
3.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.AD=BC
B.AC=BD
C.∠A=∠C
D.∠A=∠B
解析:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,当∠A=∠C时,有∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
C
4.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判断四边形是平行四边形的是
( )
A.4∶3∶2∶1
B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2
D.3∶2∶2∶1
解析:由平行四边形的两组对角分别相等,知只有选项B能判定是平行四边形.故选B.
B
5.如图所示,在平面直角坐标系中,以A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
( )
A.(3,1)
B.(-4,1)
C.(1,-1)
D.(-3,1)
解析:如图所示:以AC为对角线,可以画出?AFCB,F(-3,1);以AB为对角线,可以画出?ACBE,E(1,-1);以BC为对角线,可以画出?ACDB,D(3,1).故选B.
6.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD=BC,
∠D=∠DCE.求证四边形ABCD是平行四边形.
解析:由“内错角相等,两直线平行”得出AD∥BC,再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.
证明:∵∠D=∠DCE,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
7.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证四边形ABCD为平行四边形.
解析:首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD,再由条件AB∥CD,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形.
证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,
∴∠AEB=∠DFC.
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
8.如图所示,在边长为1的小正方形网格中,三角形的三个顶点均落在格点上.以三角形的其中两边为边画一个平行四边形,并在顶点处标上字母A,B,C,D.
解析:过A点作AB∥CD,且AB=CD,即可得到平行四边形ABCD.
解:如图所示,四边形ABCD为平行四边形.(答案不唯一)
9.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证四边形ABCD是平行四边形.
解析:根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,从而推出AD∥BC,AB∥CD,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可.
证明:
∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,
∴∠CAD=∠ACB,∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
10.如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AD∥BC,DF∥BE,AE=CF.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解析:(1)根据“ASA”证明△AFD≌△CEB;(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB,由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论.
证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠2.
∵DF∥BE,∴∠3=∠4.
又AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△AFD与△CEB中,
∴△AFD≌△CEB(ASA).
(2)由△AFD≌△CEB,得AD=CB.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
1、
满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”.
√
√
√
×
A
B
C
D
（1）AB=CD，AB∥CD
（
）
（2）AB
∥
CD，AD
∥
BC
（
）
（3）AB
∥
CD，AD=BC
（
）
（4）∠A+∠B=180°，AD=BC
(
)
A
B
C
D
当堂检测
2、
已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD
的边AD,BC的中点.
求证：BE=DF.
D
F
E
C
B
A
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
AD=BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴ED=1/2AD，BF==1/2AD，即ED=BF.
∴四边形EBFD是平行四边形
∴BE=DF
又ED∥BF，
3、如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D,AB=CD,
∠DAB=
∠BCD
∵AE、CF分别是∠DAB、
∠BCD的角平分线
∠BAE=∠DCF
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF，∴AF=CE
.
又∵AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∵
AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB=90°
∵CD=5，
AC=4，∴AD=3
∴AD∥BC
且AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴
AB∥CD.
4、已知：如图，AD∥BC，且AB=CD=5，AC=4，BC=3；
求证：AB∥CD
温馨提示：可利用勾股定理及其逆定理解题
C
D
A
B
5、.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S
□ABCD=
.
提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AE的值.
40cm2
(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是
.
20cm2
提示：△PBC与□ABCD是同底等高.
平行四边形的判定定理1
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理1
平行线间的距离处处相等
课堂小结
布置作业
课本125页A组题和B组题
谢谢
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