北师大版九年级数学下册：1.4 解直角三角形 教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：1.4 解直角三角形 教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 121.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-13 17:56:09 | ||
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文档简介
课题名称： 解直角三角形
年级学科 九年级 数学 教材版本 北师大版本
一、教学内容分析
《解直角三角形》是北师大版九年级下册第一章第四节的内容. 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值.本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.
二、教学目标
本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形.通过直角三角形中边角之间关系的学习，整合三角函数的知识，归纳解直角三角形的一般方法.在呈现方式上，显示出实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际，同时还有利于数形结合.通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解决问题的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系.掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法.所以教学目标如下： 知识与能力：初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
过程与方法：解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力
情感态度与价值观：在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯.
数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.
教学重难点：
重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
三、学习者特征分析
1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sin、cos、tan值. 2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解.有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件.
3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养.
四、教学过程
教师活动 预设学生活动 设计意图
第一环节 知识回顾 1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）
2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？
3、提问：RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？
三角函数
角α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
4、填一填 记一记
学生思考后回答：
1、3条边，3个角。
2、 直角三角形的边角关系：
（1）?两锐角互余：
∠A+∠B=90°
（2）?三边满足勾股定理：a2+b2=c2
（3） 边与角的关系：
复习、巩固利用直角三角形边之间的关系、角之间的关系以及锐角三角函数值等相关的知识，为本节课的学习做好铺垫。
第二环节 探究新知 在Rt△ABC中,∠C=90°
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?
（2）根据AC=，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗？
（3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
解直角三角形的定义：
在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形. 学生动手计算后回答：
（1）∠B=30°，AC=15，
BC=
（2）∠A=60°, ∠B=30°
AB=
（3）其它边求不出来。
从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义，并对解直角三角形的定义加以理解。
第三环节 例题讲解 例1 在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b,c,且a =，b =，求这个三角形的其他元素.
解：
例2：如图：在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=30.解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.（为了便于学生计算，教师可以将角B改为特殊角） 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法：
例1：
同学甲：
根据勾股定理先求出斜边c,再根据锐角三角函数的知识来求出其余的锐角。
同学乙：
根据锐角的正切可以求出∠A或∠B，再根据锐角的正弦或余弦求出斜边c。
例2：
由例1的解题经验，同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 教师引导学生回顾解题过程后总结得出：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来。
第四环节 知识应用 1、在Rt△ABC 中，∠C =90° ，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素。
（1）已知 a=4，c=8；
（2）已知 b=10，∠B=60° ；
（3）已知 c=20，∠A=60° ．
教师强调：解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”
2、如图在RtΔABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形.
3、在Rt△ABC中,∠C=90度,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知 ,解这个直角三角形
(2)已知 ,解这个直角三角形
以上两题由学生小组内讨论解决.接下来,在教师引导下分析解决之.
第五环节 能力提升
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤∠a≤75°.如果现有一个长6m的梯子，那么
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角a等于多少？（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？
师生共同分析解决问题1、问题2.
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外.边长保留四位有效数字，角度精确到1′.
第六环节 课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么收获?
学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题
学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题
对于练习3的第（2）问，学生解决起来有一定的困难。教师留给学生充分讨论、交流的时间和空间，并在巡视中给予学生的启发和点拨，
对于这个问题，学生解决起来有一定的困难。教师留给学生充分讨论、交流的时间和空间，并在巡视中给予学生的启发和点拨。
学生思考、讨论、交流得出：
当梯子与地面的夹角达
到最大角75°时，此时使用这个梯子可以爬到墙的最高位置。
h=6sin75°≈5.8米。
根据cosα=2.4/6=0.4，
借助计算器可以求出∠α的值，然后判断∠α是否在50°≤∠a≤75°内，进而判断这时人是否能够安全使用这个梯子。
学生畅谈本节课的收获以及在学习本节课知识时遇到的困惑以及困难有哪些？ （1）中已知两条边如何解直角三角形，
（2）（3）已知一条边及一个角解直角三角形，本题的设计重在引导学生体会并归纳常规解直角三角形的常规方法：
通过练习，进一步强化学生掌握综合运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素的方法。
通过能力提升练习，进一步强化学生掌握综合运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素的方法。
通过课堂小结，帮助学生掌握解决问题的思路和方法以及如何克服、解决问题中的困难。
板书设计 § 1.4 解直角三角形 一、概念 二、例题
解直角三角形定义： 例1： 例2：
三、练习
年级学科 九年级 数学 教材版本 北师大版本
一、教学内容分析
《解直角三角形》是北师大版九年级下册第一章第四节的内容. 在此之前，学生已经具备了勾股定理、锐角三角函数的基本知识，会求任意一个锐角的三角函数值.本节课是三角函数应用之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务.培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧.把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性. 因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用.
二、教学目标
本节内容是在学习了“锐角三角函数”“勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形.通过直角三角形中边角之间关系的学习，整合三角函数的知识，归纳解直角三角形的一般方法.在呈现方式上，显示出实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际，同时还有利于数形结合.通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解决问题的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系.掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法.所以教学目标如下： 知识与能力：初步理解解直角三角形的含义，掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
过程与方法：解直角三角形的对象是什么？在解决与直角三角形有关的实际问题中如何把问题数学模型化.通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力
情感态度与价值观：在解决问题的过程中引发学生形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系.从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难.通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，养成良好的学习习惯.
数学思考：在研究问题中思考如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化.
教学重难点：
重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
三、学习者特征分析
1、九年级学生已经掌握了勾股定理，刚刚学习过锐角三角函数，能够用定义法求三角函数sin、cos、tan值. 2、在计算器的使用上，学生学习了用计算器求任意锐角的三角函数值，并对计算器的二次功能有所了解.有上述知识技能作基础为学生进一步学习“解直角三角形”创造了必要条件.
3、但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都比较差，因此要在本节课进行有意识的培养.
四、教学过程
教师活动 预设学生活动 设计意图
第一环节 知识回顾 1、在一个直角三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）
2、在RtΔABC中，∠C=90°.a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？
3、提问：RtΔABC的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？
三角函数
角α
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
4、填一填 记一记
学生思考后回答：
1、3条边，3个角。
2、 直角三角形的边角关系：
（1）?两锐角互余：
∠A+∠B=90°
（2）?三边满足勾股定理：a2+b2=c2
（3） 边与角的关系：
复习、巩固利用直角三角形边之间的关系、角之间的关系以及锐角三角函数值等相关的知识，为本节课的学习做好铺垫。
第二环节 探究新知 在Rt△ABC中,∠C=90°
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗?
（2）根据AC=，BC= ，你能求出这个三角形的其他元素吗？
（3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
解直角三角形的定义：
在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程就是解直角三角形. 学生动手计算后回答：
（1）∠B=30°，AC=15，
BC=
（2）∠A=60°, ∠B=30°
AB=
（3）其它边求不出来。
从以上关系引导学生发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，从而引出解直角三角形的定义，并对解直角三角形的定义加以理解。
第三环节 例题讲解 例1 在Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b,c,且a =，b =，求这个三角形的其他元素.
解：
例2：如图：在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=30.解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，尽量选择原始数据,避免累积误差.（为了便于学生计算，教师可以将角B改为特殊角） 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法：
例1：
同学甲：
根据勾股定理先求出斜边c,再根据锐角三角函数的知识来求出其余的锐角。
同学乙：
根据锐角的正切可以求出∠A或∠B，再根据锐角的正弦或余弦求出斜边c。
例2：
由例1的解题经验，同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 教师引导学生回顾解题过程后总结得出：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来。
第四环节 知识应用 1、在Rt△ABC 中，∠C =90° ，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素。
（1）已知 a=4，c=8；
（2）已知 b=10，∠B=60° ；
（3）已知 c=20，∠A=60° ．
教师强调：解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”
2、如图在RtΔABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形.
3、在Rt△ABC中,∠C=90度,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知 ,解这个直角三角形
(2)已知 ,解这个直角三角形
以上两题由学生小组内讨论解决.接下来,在教师引导下分析解决之.
第五环节 能力提升
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤∠a≤75°.如果现有一个长6m的梯子，那么
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到0.1m）
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角a等于多少？（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子？
师生共同分析解决问题1、问题2.
注意强调：在解决直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外.边长保留四位有效数字，角度精确到1′.
第六环节 课堂小结
通过本节课的学习，大家有什么收获?
学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题
学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题
对于练习3的第（2）问，学生解决起来有一定的困难。教师留给学生充分讨论、交流的时间和空间，并在巡视中给予学生的启发和点拨，
对于这个问题，学生解决起来有一定的困难。教师留给学生充分讨论、交流的时间和空间，并在巡视中给予学生的启发和点拨。
学生思考、讨论、交流得出：
当梯子与地面的夹角达
到最大角75°时，此时使用这个梯子可以爬到墙的最高位置。
h=6sin75°≈5.8米。
根据cosα=2.4/6=0.4，
借助计算器可以求出∠α的值，然后判断∠α是否在50°≤∠a≤75°内，进而判断这时人是否能够安全使用这个梯子。
学生畅谈本节课的收获以及在学习本节课知识时遇到的困惑以及困难有哪些？ （1）中已知两条边如何解直角三角形，
（2）（3）已知一条边及一个角解直角三角形，本题的设计重在引导学生体会并归纳常规解直角三角形的常规方法：
通过练习，进一步强化学生掌握综合运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素的方法。
通过能力提升练习，进一步强化学生掌握综合运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素的方法。
通过课堂小结，帮助学生掌握解决问题的思路和方法以及如何克服、解决问题中的困难。
板书设计 § 1.4 解直角三角形 一、概念 二、例题
解直角三角形定义： 例1： 例2：
三、练习