北师大版九年级数学下册：1.4、解直角三角形（教案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：1.4、解直角三角形（教案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 479.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-13 17:56:09 | ||
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文档简介
4 解直角三角形
教案
情景导入 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图1-4-1,现有一个长6 m的梯子,则:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,梯子与地面所成的角α等于多少度(精确到1°)?这时,人是否能够安全使用这个梯子?
图1-4-1
直角三角形中有六个元素,分别是三条边和三个角,那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?这就是我们本节课要研究的问题.
[说明与建议] 说明:体会数学知识来源于生活,激发学生的学习兴趣,由此引入对直角三角形根据已知元素求未知元素的探究.建议:有与三角函数有关的计算作为基础,学生易解决问题,所以找两名学生到黑板上书写计算过程.
复习导入 我们从小学就认识了直角三角形,八年级上册学过一个重要的定理:勾股定理,下面,请和老师一起了解勾股定理背后的故事吧!
(欣赏视频——数学伟人毕达哥拉斯)
[说明与建议] 说明:通过对数学故事的欣赏,进一步激发学生对学习数学的兴趣,对旧知识巩固以便更好地利用勾股定理解决问题.建议:教师出示视频——数学伟人毕达哥拉斯的故事,让学生对直角三角形进一步加深理解,每一个定理的背后都充满故事.
悬念激趣 直角三角形随处可见,请同学们观察老师手中的这副三角尺,如图1-4-2,谁来说说它的每个内角分别是多少度?它们的各边之间有什么关系?
图1-4-2
一起来观察,如图1-4-3,在Rt△ABC中,一共有几个元素?请分别写出来.
图1-4-3
(1)△ABC的三条边分别是 AB,BC,CA ;?
(2)△ABC的三个角分别是 ∠A,∠B,∠C .?
师:因此,一个直角三角形中共有6个元素,分别是三条边和三个角,那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?今天,我们就来研究与直角三角形有关的问题.
[说明与建议] 说明:通过学生回答一副三角尺的边角关系,比较自然地过渡,从而较好地引出本节课的研究内容,并对一副三角尺的边角关系加以巩固.建议:教师出示我们最常见的三角尺,一是容易接受,二是简单明了,学生比较熟悉,然后,观察一个直角三角形,说出它的6个元素,简单直接引入新课.
教材母题——教材第16页例2
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°,求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
【模型建立】
直角三角形的六个元素,除了直角外,已知其中两个元素(至少有一个为边)可以借助锐角三角函数、勾股定理、直角三角形两锐角互余等知识求得另外三个元素.运用此模型的时候一定要注意是在直角三角形中.
【变式变形】
1.在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边上的高,已知CD=8,BD=42,则tanA的值为 (A)
A.22 B.23 C.24 D.28
2.如图1-4-4,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,D是BC边的中点,则sin∠ADC=?23913 ,tan∠ADC= 23 .?
图1-4-4
3.如图1-4-5,在△ABC中,∠A=30°,∠C-∠B=60°.若BC=a,则AB的长是多少?
图1-4-5
图1-4-6
解:如图1-4-6,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+∠C=150°.
∵∠C-∠B=60°,∴∠B=45°,∠C=105°,
∴BD=CD=22BC=22a.
∵∠A=30°,∴AD=CDtanA=3CD=62a,
∴AB=AD+BD=62a+22a=6+22a.
4.如图1-4-7,在高2米,坡角为32°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度需要多少米(精确到0.1米)?
[解析] 本题考查正切的概念,楼梯表面铺地毯既要铺水平面又要铺竖直面,因此地毯的总长度为(AC+BC)的长.
图1-4-7
解:由题意得地毯的长度为(AC+BC)的长.在Rt△ABC中,∠A=32°,BC=2米.
∵tanA=BCAC,∴AC=BCtanA≈3.20(米),∴AC+BC≈3.20+2≈5.2(米).
答:地毯的长度需要约5.2米.
[命题角度1] 根据三角函数的定义求值
考查特点:考查对三角函数的定义的准确掌握以及从组合图形中寻找基本图形的能力.解决思路:观察并找到两个直角三角形的公共边,正确运用三角函数的定义,算出所需线段的长,进而解决问题.
例 [重庆中考] 如图1-4-8,在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34,求sinC的值.
图1-4-8
[解析] 我们可以先求出BD的长,然后求出CD的长,再求AC的长,最后求出sinC的值.
解:在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=12,tan∠BAD=34=BDAD=BD12,∴BD=9,则CD=BC-BD=14-9=5.
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AD=12,CD=5,
根据勾股定理,得AC=AD2+CD2=13,
∴sinC=ADAC=1213.
[命题角度2] 构造直角三角形求线段的长
解直角三角形的前提是在直角三角形中.当所给图形不是直角三角形时,需要根据已知作辅助线,构造直角三角形,然后再根据三角函数的定义求解.
例 [济宁中考] 如图1-4-9,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,则AB的长为 3+3 .?
图1-4-9
[解析] 如图1-4-9,过点C作CD⊥AB于点D,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD.
∵∠A=30°,AC=23,
∴CD=AC·sin30°=12AC=3,AD=AC·cos30°=32AC=3,
∴BD=CD=3,∴AB=AD+BD=3+3.
[命题角度3] 综合题中运用三角函数
在几何题中,三角函数往往会和其他知识点一同出现.在解决问题时,需要先根据已知条件,利用三角形的中线、勾股定理、相似等知识过渡,最后再利用三角函数解决.
例 [常德中考] 如图1-4-10,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=13,AD=1.
图1-4-10
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.
在Rt△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=13,AD=1,∴AB=ADsinB=3,
∴BD=AB2-AD2=22,∴BC=BD+DC=22+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=12BC=2+12,
∴DE=CE-CD=2-12,∴tan∠DAE=DEAD=2-12.
习题答案
P14随堂练习
1．用计算器求下列各式的值：
(1)sin56°；
(2)cos20.5°；
(3)tan44°59′59″；
(4)sin15°＋cos61°＋tan76°.
解：(1)0.8290；(2)0.9367；(3)1.0000；(4)4.7544.
2．已知sinθ＝0.829 04，求锐角θ的大小．
解：θ≈56°.
3．一个人由山底爬到山顶，需先爬坡度为40°的山坡300 m，再爬坡度为30°的山坡100 m，求山高(结果精确到0.1 m)．
解：由题意可得：300sin40°＋100sin30°≈242.8(m)．
答：山高约为242.8 m.
4．一梯子斜靠在一面墙上，已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角．
解：设梯子与地面所成的锐角为θ，则cosθ＝，
解得θ≈51.32°.
答：梯子与地面所成的锐角约为51.32°.
P14习题1.4
1．用计算器求下列各式的值：
(1)tan32°； (2)cos24.53°；
(3)sin62°11′； (4)tan39°39′39″.
解：(1)0.6249； (2)0.9097；
(3)0.8844； (4)0.8291.
2．用计算器求下列各式的值：
(1)sin256°＋cos225°；
(2)sin62.6°－2sin37°·cos20°.
解：(1)1.5087； (2)－0.2432.
3．根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972.
解：(1)71.5°；(2)23.3°；(3)38.3°；(4)41.9°.
4．举一个生活中应用三角函数解决问题的例子．
解：略．
5．如图，物华大厦离小伟家60 m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度(结果精确到0.1 m)．
解：由题意可得：60tan45°＋60tan37°≈105.2(m)．
答：该大厦的高度约为105.2 m.
6．一辆汽车沿着一山坡行驶了1000 m，其铅直高度上升了50 m．求山坡与水平面所成锐角的大小．
解：设山坡与水平面所成的锐角为θ，则sinθ＝，解得θ≈2.87°.
答：山坡与水平面所成锐角的度数约为2.87°.
7．在1∶20 000的平面地图上，量得甲、乙两地的直线距离为1.5 cm，两地的实际高度相差27 m，求甲、乙两地间的坡角．
解：约为5.16°.
8．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点．
(1)求∠A0OA1，∠A1OA2，∠A2OA3的大小；
(2)已知∠An－1OAn是第一个小于20°的角，求n的值．
解：(1)由勾股定理得OA1＝，OA2＝，OA3＝2，OA4＝，OA5＝，OA6＝，
∴tan∠A0OA1＝1，tan∠A1OA2＝，
tan∠A2OA3＝，∴∠A0OA1＝45°，
∠A1OA2≈35.26°，∠A2OA3＝30°.
(2)由(1)得tan∠A3OA4＝，
tan∠A4OA5＝，tan∠A5OA6＝，
tan∠A6OA7＝，tan∠A7OA8＝.
∴∠A3OA4≈26.57°，∠A4OA5≈24.09°，
∠A5OA6≈22.21°，∠A6OA7≈20.70°，
∠A7OA8≈19.47°.
可知，∠A7OA8<20°，∴n的值为8.
专题 三角函数与其他数学知识的综合应用
1．（2012，德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出右面图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ）.
2059305148590
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．(2012，衡阳)如图，菱形ABCD的周长为20 cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 cm2．
20631155715
3．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离BC为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°,求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：cos75°≈0.259, tan75°≈3.732）
189738041910
30022807905754．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点 E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米．
求：(1) ∠D的度数；
(2)线段AE的长．
状元笔记：
【知识要点】三角函数的有关计算.
【温馨提示】在告诉有关角和边时，可考虑利用三角函数的定义．此类问题可以从以下三个角度出发来解决问题：1．找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口；2．弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题；3．当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程求解.
参考答案
F
1．C
2．
3．解：根据题意可知：竹子长是AB,楼高是AC，楼与地面垂直，在Rt△ABC中，已知BC=2(米），∠ABC=75°.因为tan∠ABC=，所以AC=tan∠ABC·BC=2×tan75°2×3.7327.5(米).因为cos∠ABC=，所以AB=(米)，所以这棵竹子比楼房高出0.2米.
4．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°. ∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米. ∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=， ∴. ∵BF=3米，∴AB=米，∴AF=(米)，∴AE=米.
数学素养提升
三角函数中的两个关系式
一、公式的发现
433387568580如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由三角函数的定义可得：
，，，，则有：
（1）
由勾股定理，得：a2＋b2＝c2，所以，有：sin2A＋cos2A＝1 ①
（2） ②
说明：（1）当∠A＋∠B＝90°时，因为sinB＝，
所以此时又有sin2A＋sin2B＝1.
(2)公式②成立的条件是∠A＋∠B＝90°．
二、公式的应用
例1 若为锐角，，则＝＿＿．
解：由公式①可知，．
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则＝（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：∵ ,∠B是锐角，＞0，由公式①，得
∴＝ ，所以，选（B）．
例3 计算：
＝＿＿＿＿＿．
分析：因为48°＋42°＝90°，44°＋46°＝90°，
所以有：，＝1．
解：原式＝＝1－1＝0．
教案
情景导入 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图1-4-1,现有一个长6 m的梯子,则:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,梯子与地面所成的角α等于多少度(精确到1°)?这时,人是否能够安全使用这个梯子?
图1-4-1
直角三角形中有六个元素,分别是三条边和三个角,那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?这就是我们本节课要研究的问题.
[说明与建议] 说明:体会数学知识来源于生活,激发学生的学习兴趣,由此引入对直角三角形根据已知元素求未知元素的探究.建议:有与三角函数有关的计算作为基础,学生易解决问题,所以找两名学生到黑板上书写计算过程.
复习导入 我们从小学就认识了直角三角形,八年级上册学过一个重要的定理:勾股定理,下面,请和老师一起了解勾股定理背后的故事吧!
(欣赏视频——数学伟人毕达哥拉斯)
[说明与建议] 说明:通过对数学故事的欣赏,进一步激发学生对学习数学的兴趣,对旧知识巩固以便更好地利用勾股定理解决问题.建议:教师出示视频——数学伟人毕达哥拉斯的故事,让学生对直角三角形进一步加深理解,每一个定理的背后都充满故事.
悬念激趣 直角三角形随处可见,请同学们观察老师手中的这副三角尺,如图1-4-2,谁来说说它的每个内角分别是多少度?它们的各边之间有什么关系?
图1-4-2
一起来观察,如图1-4-3,在Rt△ABC中,一共有几个元素?请分别写出来.
图1-4-3
(1)△ABC的三条边分别是 AB,BC,CA ;?
(2)△ABC的三个角分别是 ∠A,∠B,∠C .?
师:因此,一个直角三角形中共有6个元素,分别是三条边和三个角,那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?今天,我们就来研究与直角三角形有关的问题.
[说明与建议] 说明:通过学生回答一副三角尺的边角关系,比较自然地过渡,从而较好地引出本节课的研究内容,并对一副三角尺的边角关系加以巩固.建议:教师出示我们最常见的三角尺,一是容易接受,二是简单明了,学生比较熟悉,然后,观察一个直角三角形,说出它的6个元素,简单直接引入新课.
教材母题——教材第16页例2
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°,求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
【模型建立】
直角三角形的六个元素,除了直角外,已知其中两个元素(至少有一个为边)可以借助锐角三角函数、勾股定理、直角三角形两锐角互余等知识求得另外三个元素.运用此模型的时候一定要注意是在直角三角形中.
【变式变形】
1.在△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边上的高,已知CD=8,BD=42,则tanA的值为 (A)
A.22 B.23 C.24 D.28
2.如图1-4-4,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,D是BC边的中点,则sin∠ADC=?23913 ,tan∠ADC= 23 .?
图1-4-4
3.如图1-4-5,在△ABC中,∠A=30°,∠C-∠B=60°.若BC=a,则AB的长是多少?
图1-4-5
图1-4-6
解:如图1-4-6,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+∠C=150°.
∵∠C-∠B=60°,∴∠B=45°,∠C=105°,
∴BD=CD=22BC=22a.
∵∠A=30°,∴AD=CDtanA=3CD=62a,
∴AB=AD+BD=62a+22a=6+22a.
4.如图1-4-7,在高2米,坡角为32°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度需要多少米(精确到0.1米)?
[解析] 本题考查正切的概念,楼梯表面铺地毯既要铺水平面又要铺竖直面,因此地毯的总长度为(AC+BC)的长.
图1-4-7
解:由题意得地毯的长度为(AC+BC)的长.在Rt△ABC中,∠A=32°,BC=2米.
∵tanA=BCAC,∴AC=BCtanA≈3.20(米),∴AC+BC≈3.20+2≈5.2(米).
答:地毯的长度需要约5.2米.
[命题角度1] 根据三角函数的定义求值
考查特点:考查对三角函数的定义的准确掌握以及从组合图形中寻找基本图形的能力.解决思路:观察并找到两个直角三角形的公共边,正确运用三角函数的定义,算出所需线段的长,进而解决问题.
例 [重庆中考] 如图1-4-8,在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34,求sinC的值.
图1-4-8
[解析] 我们可以先求出BD的长,然后求出CD的长,再求AC的长,最后求出sinC的值.
解:在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=12,tan∠BAD=34=BDAD=BD12,∴BD=9,则CD=BC-BD=14-9=5.
在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AD=12,CD=5,
根据勾股定理,得AC=AD2+CD2=13,
∴sinC=ADAC=1213.
[命题角度2] 构造直角三角形求线段的长
解直角三角形的前提是在直角三角形中.当所给图形不是直角三角形时,需要根据已知作辅助线,构造直角三角形,然后再根据三角函数的定义求解.
例 [济宁中考] 如图1-4-9,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,则AB的长为 3+3 .?
图1-4-9
[解析] 如图1-4-9,过点C作CD⊥AB于点D,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD.
∵∠A=30°,AC=23,
∴CD=AC·sin30°=12AC=3,AD=AC·cos30°=32AC=3,
∴BD=CD=3,∴AB=AD+BD=3+3.
[命题角度3] 综合题中运用三角函数
在几何题中,三角函数往往会和其他知识点一同出现.在解决问题时,需要先根据已知条件,利用三角形的中线、勾股定理、相似等知识过渡,最后再利用三角函数解决.
例 [常德中考] 如图1-4-10,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=13,AD=1.
图1-4-10
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
解:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1.
在Rt△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=13,AD=1,∴AB=ADsinB=3,
∴BD=AB2-AD2=22,∴BC=BD+DC=22+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=12BC=2+12,
∴DE=CE-CD=2-12,∴tan∠DAE=DEAD=2-12.
习题答案
P14随堂练习
1．用计算器求下列各式的值：
(1)sin56°；
(2)cos20.5°；
(3)tan44°59′59″；
(4)sin15°＋cos61°＋tan76°.
解：(1)0.8290；(2)0.9367；(3)1.0000；(4)4.7544.
2．已知sinθ＝0.829 04，求锐角θ的大小．
解：θ≈56°.
3．一个人由山底爬到山顶，需先爬坡度为40°的山坡300 m，再爬坡度为30°的山坡100 m，求山高(结果精确到0.1 m)．
解：由题意可得：300sin40°＋100sin30°≈242.8(m)．
答：山高约为242.8 m.
4．一梯子斜靠在一面墙上，已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成的锐角．
解：设梯子与地面所成的锐角为θ，则cosθ＝，
解得θ≈51.32°.
答：梯子与地面所成的锐角约为51.32°.
P14习题1.4
1．用计算器求下列各式的值：
(1)tan32°； (2)cos24.53°；
(3)sin62°11′； (4)tan39°39′39″.
解：(1)0.6249； (2)0.9097；
(3)0.8844； (4)0.8291.
2．用计算器求下列各式的值：
(1)sin256°＋cos225°；
(2)sin62.6°－2sin37°·cos20°.
解：(1)1.5087； (2)－0.2432.
3．根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888； (2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850； (4)tanθ＝0.8972.
解：(1)71.5°；(2)23.3°；(3)38.3°；(4)41.9°.
4．举一个生活中应用三角函数解决问题的例子．
解：略．
5．如图，物华大厦离小伟家60 m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度(结果精确到0.1 m)．
解：由题意可得：60tan45°＋60tan37°≈105.2(m)．
答：该大厦的高度约为105.2 m.
6．一辆汽车沿着一山坡行驶了1000 m，其铅直高度上升了50 m．求山坡与水平面所成锐角的大小．
解：设山坡与水平面所成的锐角为θ，则sinθ＝，解得θ≈2.87°.
答：山坡与水平面所成锐角的度数约为2.87°.
7．在1∶20 000的平面地图上，量得甲、乙两地的直线距离为1.5 cm，两地的实际高度相差27 m，求甲、乙两地间的坡角．
解：约为5.16°.
8．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点．
(1)求∠A0OA1，∠A1OA2，∠A2OA3的大小；
(2)已知∠An－1OAn是第一个小于20°的角，求n的值．
解：(1)由勾股定理得OA1＝，OA2＝，OA3＝2，OA4＝，OA5＝，OA6＝，
∴tan∠A0OA1＝1，tan∠A1OA2＝，
tan∠A2OA3＝，∴∠A0OA1＝45°，
∠A1OA2≈35.26°，∠A2OA3＝30°.
(2)由(1)得tan∠A3OA4＝，
tan∠A4OA5＝，tan∠A5OA6＝，
tan∠A6OA7＝，tan∠A7OA8＝.
∴∠A3OA4≈26.57°，∠A4OA5≈24.09°，
∠A5OA6≈22.21°，∠A6OA7≈20.70°，
∠A7OA8≈19.47°.
可知，∠A7OA8<20°，∴n的值为8.
专题 三角函数与其他数学知识的综合应用
1．（2012，德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出右面图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（ ）.
2059305148590
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．(2012，衡阳)如图，菱形ABCD的周长为20 cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 cm2．
20631155715
3．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离BC为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°,求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：cos75°≈0.259, tan75°≈3.732）
189738041910
30022807905754．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点 E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米．
求：(1) ∠D的度数；
(2)线段AE的长．
状元笔记：
【知识要点】三角函数的有关计算.
【温馨提示】在告诉有关角和边时，可考虑利用三角函数的定义．此类问题可以从以下三个角度出发来解决问题：1．找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口；2．弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题；3．当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程求解.
参考答案
F
1．C
2．
3．解：根据题意可知：竹子长是AB,楼高是AC，楼与地面垂直，在Rt△ABC中，已知BC=2(米），∠ABC=75°.因为tan∠ABC=，所以AC=tan∠ABC·BC=2×tan75°2×3.7327.5(米).因为cos∠ABC=，所以AB=(米)，所以这棵竹子比楼房高出0.2米.
4．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°. ∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米. ∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=， ∴. ∵BF=3米，∴AB=米，∴AF=(米)，∴AE=米.
数学素养提升
三角函数中的两个关系式
一、公式的发现
433387568580如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由三角函数的定义可得：
，，，，则有：
（1）
由勾股定理，得：a2＋b2＝c2，所以，有：sin2A＋cos2A＝1 ①
（2） ②
说明：（1）当∠A＋∠B＝90°时，因为sinB＝，
所以此时又有sin2A＋sin2B＝1.
(2)公式②成立的条件是∠A＋∠B＝90°．
二、公式的应用
例1 若为锐角，，则＝＿＿．
解：由公式①可知，．
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则＝（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：∵ ,∠B是锐角，＞0，由公式①，得
∴＝ ，所以，选（B）．
例3 计算：
＝＿＿＿＿＿．
分析：因为48°＋42°＝90°，44°＋46°＝90°，
所以有：，＝1．
解：原式＝＝1－1＝0．