北师大版九年级数学下册：1.1 锐角三角函数 第1课时 正切（教案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：1.1 锐角三角函数 第1课时 正切（教案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 164.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-13 17:56:09 | ||
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文档简介
1 锐角三角函数
第1课时 正切
教案
情景导入
图1-1-1
你知道图中1-1-1建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的建筑——比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场四大建筑之一,也是意大利著名的标志之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜,应该如何来描述它的倾斜程度呢?
[说明与建议] 说明:创设真实的情景吸引学生的注意力,激发求知欲,调动学生思维的积极性,在学生思考的基础上引出本节课题——正切.建议:启发学生大胆猜想,鼓励各种新鲜的想法.
复习导入 1.提问:相似三角形有什么性质?
2.提问:直角三角形的三个内角之间满足怎样的数量关系?三边之间满足怎样的数量关系?
3.猜想:直角三角形的锐角和边长之间满足特定的数量关系吗?是怎样的数量关系呢?
[说明与建议] 说明:从对直角三角形的复习到猜想是一个从已知到未知的拓展过程,既能引出课题又能帮助学生形成拓展思维的习惯.建议:前两个问题若学生答错,应予以纠正,第三个问题若学生猜没有关系,则启发学生展开探索寻找依据,从而引出课题.
教材母题——教材第3页例1
图1-1-2表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
图1-1-2
【模型建立】
与正切有关的计算和推理题,都需要根据定义进行计算,因此要把握好定义的关键:对边比邻边,在解题时要分清对边和邻边.
【变式变形】
1. 在直角三角形中,各边都扩大为原来的4倍,锐角A的正切值 (B)
A.扩大为原来的4倍 B.不变
C.缩小为原来的14 D.改变
2. 在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=?52 .?
3. 小敏想知道如图1-1-3所示的校园内一棵大树的高,她测得BC=10米,∠ACB=α,你能帮她算出树高AB为多少米吗?
图1-1-3
[答案:10tanα米]
[命题角度1] 利用正切函数求线段的长
根据正切的定义tanA=∠A的对边∠A的邻边可以变形出两个计算公式:对边=邻边×正切,邻边=对边正切;在解决此类问题的时候只需正确判断对边和邻边,选择相应的公式即可.
例 [湖州中考] 如图1-1-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是 (A)
图1-1-4
A.2 B.8 C.22 D.4
[解析] ∵tanA=12=BCAC,AC=4,∴BC=2.故选A.
[命题角度2] 正切的应用——坡度坡角问题
坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比,也称为坡比.其实质就是坡面与水平面所夹角的正切值.因此,在解决坡度坡角问题时,一般都转化为有关正切的计算.
例 [德州中考] 如图1-1-5是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为 (B)
图1-1-5
A.43米 B.65米 C.125米 D.24米
[解析] 在Rt△ABC中,∵BCAC=i=12,AC=12米,∴BC=6米.
根据勾股定理,得AB=AC2+BC2=65米.故选B.
[命题角度3] 在平面直角坐标系中求值
在平面直角坐标系中,利用正切可以求点的坐标.关键是通过辅助线构造直角三角形,把已知的锐角放在直角
三角形中,再进行求值.
例 [金华中考] 如图1-1-6,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=32,则t的值是 (C)
图1-1-6
A.1 B.1.5 C.2 D.3
数学素养提升
甲、乙对话三角函数定义
甲：什么叫做三角函数？它是不是三个角的函数？
乙：三角函数是角的正弦、余弦和正切的统称，它不是三个角的函数，而是角的三种函数．
甲：什么叫做角的正弦、余弦和正切？
乙：要回答这个问题，必须回到直角三角形中去．你知道直角三角形吗？
甲：你问这个干什么？谁不知道直角三角形就是指有一个角是直角的三角形呢？
乙：因为三角函数的“老家”就是直角三角形，我们如果想认识三角函数，那么就应该到它们的“老家”去．
甲：原来如此，那我应该对直角三角形再重新复习一下．
乙：不用啦，下面我来问你：
如图１，中，，的对边是哪一边？它的两条边分别是什么？
2125980133350
甲：这不是明摆着吗？的对边是，的两边是和．
乙：不错，为了定义引入的需要，从现在开始我们仍然把叫做的对边，叫做斜边，而则叫做的邻边．根据这一规定，你知道的对边和邻边吗？
甲：哪能不知道呢！的对边和邻边不就是和吗？
乙：一点也没错，这说明直角三角形中，除了斜边不变外，对边和邻边都是相对于某个锐角而言的，而不是固定的某条边．比如在图2中，设是直角三角形的一个锐角，则的对边、邻边和斜边分别如图2所示．
193548083820
甲：了解这些到底有什么用呢？
乙：你先别急，我再问你：如果给定直角三角形的两边，
能求第三边吗？
甲：根据勾股定理，当然可以了．
乙：那好办，现在我再问你：在图2的直角三角形中，如果给出三边的长，你能求，，的值吗？
甲：难道你连我这点能力也怀疑吗？
乙：既然如此，问题不就解决了吗？
甲：这就奇怪了，你讲了这么多，还没有告诉我究竟什么叫做正弦、余弦和正切，怎么说问题解决了呢？
乙：这不，的值就叫做的正弦，记作：，即；的值叫做的余弦，记作：，即；的值叫做的正切，记作：，即．
甲：啊，原来就这么简单呀！我还以为三角函数是什么三头六臂呢！
第1课时 正切
教案
情景导入
图1-1-1
你知道图中1-1-1建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的建筑——比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场四大建筑之一,也是意大利著名的标志之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜,应该如何来描述它的倾斜程度呢?
[说明与建议] 说明:创设真实的情景吸引学生的注意力,激发求知欲,调动学生思维的积极性,在学生思考的基础上引出本节课题——正切.建议:启发学生大胆猜想,鼓励各种新鲜的想法.
复习导入 1.提问:相似三角形有什么性质?
2.提问:直角三角形的三个内角之间满足怎样的数量关系?三边之间满足怎样的数量关系?
3.猜想:直角三角形的锐角和边长之间满足特定的数量关系吗?是怎样的数量关系呢?
[说明与建议] 说明:从对直角三角形的复习到猜想是一个从已知到未知的拓展过程,既能引出课题又能帮助学生形成拓展思维的习惯.建议:前两个问题若学生答错,应予以纠正,第三个问题若学生猜没有关系,则启发学生展开探索寻找依据,从而引出课题.
教材母题——教材第3页例1
图1-1-2表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
图1-1-2
【模型建立】
与正切有关的计算和推理题,都需要根据定义进行计算,因此要把握好定义的关键:对边比邻边,在解题时要分清对边和邻边.
【变式变形】
1. 在直角三角形中,各边都扩大为原来的4倍,锐角A的正切值 (B)
A.扩大为原来的4倍 B.不变
C.缩小为原来的14 D.改变
2. 在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=?52 .?
3. 小敏想知道如图1-1-3所示的校园内一棵大树的高,她测得BC=10米,∠ACB=α,你能帮她算出树高AB为多少米吗?
图1-1-3
[答案:10tanα米]
[命题角度1] 利用正切函数求线段的长
根据正切的定义tanA=∠A的对边∠A的邻边可以变形出两个计算公式:对边=邻边×正切,邻边=对边正切;在解决此类问题的时候只需正确判断对边和邻边,选择相应的公式即可.
例 [湖州中考] 如图1-1-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是 (A)
图1-1-4
A.2 B.8 C.22 D.4
[解析] ∵tanA=12=BCAC,AC=4,∴BC=2.故选A.
[命题角度2] 正切的应用——坡度坡角问题
坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比,也称为坡比.其实质就是坡面与水平面所夹角的正切值.因此,在解决坡度坡角问题时,一般都转化为有关正切的计算.
例 [德州中考] 如图1-1-5是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1∶2,则斜坡AB的长为 (B)
图1-1-5
A.43米 B.65米 C.125米 D.24米
[解析] 在Rt△ABC中,∵BCAC=i=12,AC=12米,∴BC=6米.
根据勾股定理,得AB=AC2+BC2=65米.故选B.
[命题角度3] 在平面直角坐标系中求值
在平面直角坐标系中,利用正切可以求点的坐标.关键是通过辅助线构造直角三角形,把已知的锐角放在直角
三角形中,再进行求值.
例 [金华中考] 如图1-1-6,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=32,则t的值是 (C)
图1-1-6
A.1 B.1.5 C.2 D.3
数学素养提升
甲、乙对话三角函数定义
甲：什么叫做三角函数？它是不是三个角的函数？
乙：三角函数是角的正弦、余弦和正切的统称，它不是三个角的函数，而是角的三种函数．
甲：什么叫做角的正弦、余弦和正切？
乙：要回答这个问题，必须回到直角三角形中去．你知道直角三角形吗？
甲：你问这个干什么？谁不知道直角三角形就是指有一个角是直角的三角形呢？
乙：因为三角函数的“老家”就是直角三角形，我们如果想认识三角函数，那么就应该到它们的“老家”去．
甲：原来如此，那我应该对直角三角形再重新复习一下．
乙：不用啦，下面我来问你：
如图１，中，，的对边是哪一边？它的两条边分别是什么？
2125980133350
甲：这不是明摆着吗？的对边是，的两边是和．
乙：不错，为了定义引入的需要，从现在开始我们仍然把叫做的对边，叫做斜边，而则叫做的邻边．根据这一规定，你知道的对边和邻边吗？
甲：哪能不知道呢！的对边和邻边不就是和吗？
乙：一点也没错，这说明直角三角形中，除了斜边不变外，对边和邻边都是相对于某个锐角而言的，而不是固定的某条边．比如在图2中，设是直角三角形的一个锐角，则的对边、邻边和斜边分别如图2所示．
193548083820
甲：了解这些到底有什么用呢？
乙：你先别急，我再问你：如果给定直角三角形的两边，
能求第三边吗？
甲：根据勾股定理，当然可以了．
乙：那好办，现在我再问你：在图2的直角三角形中，如果给出三边的长，你能求，，的值吗？
甲：难道你连我这点能力也怀疑吗？
乙：既然如此，问题不就解决了吗？
甲：这就奇怪了，你讲了这么多，还没有告诉我究竟什么叫做正弦、余弦和正切，怎么说问题解决了呢？
乙：这不，的值就叫做的正弦，记作：，即；的值叫做的余弦，记作：，即；的值叫做的正切，记作：，即．
甲：啊，原来就这么简单呀！我还以为三角函数是什么三头六臂呢！