北师大版九年级数学下册：1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦（教案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦和余弦（教案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-13 17:56:09 | ||
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文档简介
第2课时 正弦和余弦
教案
置疑导入 我们在上节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度,并且得出了当倾斜角确定时,其对边与斜边之比随之确定的结论,也就是说这一比值只与倾斜角的大小有关,与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.
现在我们提出两个问题:
问题1:当直角三角形中的锐角确定之后,其他边之间的比也确定吗?
问题2:梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有,是怎样的关系?
[说明与建议] 说明:通过回顾正切的有关知识,引导学生运用类比的思想完成本节课的学习任务,为本节课的学习做好准备.启发学生还有其他方法可以判断梯子的倾斜程度,让学生意识到本节课要学习的新知识.建议:留给学生充足的思考时间,让学生积极动脑,为新知识的学习做好铺垫.
复习导入 上节课,我们研究了“陡”这个字,明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶到地面的距离以及梯脚到墙角的距离比有关的.如图1-1-25,研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法:一是用梯子的倾斜角来刻画,倾斜角越大,梯子越陡;二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画,正切值越大,梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢?下面请同学们模拟试验,探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关呢?
图1-1-25
[说明与建议] 说明:思维往往是从人的动作、活动参与开始的,而动手操作及量一量活动最易激发学生的想象、思维和发现,在量一量活动中增强自己的感性认识与经验,进而上升到理性观察、思考与推理论证.建议:在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步的学习积累数学活动经验.
教材母题——教材第5页例2
如图1-1-26,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长.
图1-1-26
【模型建立】
利用直角三角形的边角关系——三角函数进行边的计算,要抓住两个要点:一是弄清各边之比构成哪个三角函数;二是根据定义正确进行变形,得到计算的式子.
【变式变形】
1.如图1-1-27,在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,AC=8,求BC的长.
图1-1-27
[答案:6]
2.如图1-1-28,在△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=20,求△ABC的周长和面积.
图1-1-28
[答案:△ABC的周长为60,面积为150]
3.如图1-1-29,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.
图1-1-29
答案:sinB=45,cosB=35,tanB=43
4.在△ABC中,∠C=90°,若AB=4AC,求cosA的值.
答案:cosA=14
[命题角度1] 三角函数的定义
考查特点:将正弦、余弦、正切与点的坐标、三角形等知识结合,考查对定义的掌握以及综合解决问题的能力.应对策略:计算相应的线段长,从而得到所求的三角函数值.
例 [怀化中考] 如图1-1-30,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是 (C)
图1-1-30
A.35 B.34 C.45 D.43
[命题角度2] 互余两角的三角函数关系
在△ABC中,若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,tanA·tanB=1.利用这种关系可以快速地得出结论,避免设未知量表示各边长的较为烦琐的过程.
例 [汕尾中考] 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=35,则cosB的值是 (B)
A.45 B.35 C.34 D.43
[解析] ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cosB=sinA.∵sinA=35,∴cosB=35.故选B.
[命题角度3] 同角的三角函数关系
对于同角的三角函数,关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系:对任一锐角α,都有sin2α+cos2α=1.根据这一关系,当知道了一个三角函数值时,即可求出其他三角函数值.
例 [连云港中考] 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=513,则cosA的值为(D)
A.512 B.813 C.23 D.1213
[解析] ∵sin2A+cos2A=1,即5132+cos2A=1,
∴cos2A=144169,
∴cosA=1213或-1213(舍去),∴cosA=1213.故选D.
习题答案
P4随堂练习
1．如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
解：∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC＝AC＝2.
在Rt△DBC中，tanC＝＝＝.
2．如图，某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55 m，求山的坡度(结果精确到0.001 m)．
解：在Rt△ABC中，AC＝≈
192．2888(m)，
故tanA＝≈0.286.
即山的坡度约为0.286.
P4习题1.1
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tanA和tanB.
解：在Rt△ABC中，BC＝＝
＝12.
∴tanA＝＝，tanB＝＝.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝，求AC.
解：在Rt△ABC中， ∵tanA＝，BC＝3，∴＝，∴AC＝.
3．观察你们学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？
解：略．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA与tanB有什么关系？
解：tanA＝，tanB＝，tanA·tanB＝·＝1.
P6随堂练习
1．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sinB，cosB，tanB.
解：如图，过点A作AD⊥BC，
则BD＝DC＝BC＝3.
在Rt△ABD中，AD＝＝4, sinB＝＝， cosB＝＝，
tanB＝＝.
2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
解： 在Rt△ABC中， ∵sinA＝＝，BC＝20，∴＝，∴AB＝25.
∴AC＝＝＝15.
∴△ABC的周长为20＋15＋25＝60，
△ABC的面积为AC·BC＝150.
P6习题1.2
1．如图，分别求∠α和∠β的正弦、余弦和正切．
解：由题意可得，
x2＝92－， 解得x＝.
∴sinα＝＝，sinβ＝＝；
cosα＝＝，cosβ＝＝；
tanα＝＝，tanβ＝＝.
2.如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？
解：略．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA与cosB有什么关系？
解：sinA＝cosB.理由如下：
如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则sinA＝， cosB＝，∴sinA＝cosB.
4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.
解：如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，CD为AB边上的中线， CD＝5，
∴AB＝2CD＝2DB＝2AD＝10.
∴AC＝＝＝6.
∴sin∠ACD＝ sinA＝＝＝，
cos∠ACD＝ cosA＝＝＝，
tan∠ACD＝ tanA ＝＝.
5．在△ABC中，∠BAC>90°，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，求CD和sinC.如果∠BAC<90°呢？
解：若∠BAC>90°，
如图， 在Rt△ABD中，
BD＝＝＝3，
∴CD＝BC－BD＝13－3＝10.
在Rt△ACD中， AC＝＝＝2，
∴sinC＝＝＝.
若∠BAC<90°，如图， 在Rt△ABD中， BD＝＝＝3,
∴CD＝BC＋BD＝13＋3＝16.
在Rt△ACD中， AC＝＝＝4，
∴sinC＝＝＝.
专题一 锐角三角函数的概念
1．（2014广东省广州市）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶2068830236220点均在格点上，则（ ）．
（A） （B） （C） （D）
2．已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是 _ ．
3．（2014贵州省毕节市）如图是以△ABC的边为直径的半圆O，点C恰在半圆上，过C作CD⊥AB交AB与D，已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（ ）
A.1 B. C.3 D.
4．（2012,，鄂州）如图，□ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，sin∠BAE=,则CF= .
1943100138430
专题二 正切、正弦、余弦的实际应用
5．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8 cm(如箭头所示)，则木桩上升了（ ）.
A．8tan20°cm B． cm C．8sin20°cm D．8cos20°cm
18402309277356. （2012，德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝（ ）.
A． B．2 C． D．
7．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
笔记：
【知识要点】锐角三角函数的定义及应用.
【方法技巧】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，求锐角三角函数值或者要用三角函数值必须在直角三角形中进行，通常有两种方法：（一）构造直角三角形；（二）等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.
参考答案
1．D
2． 或2 ［解析］此题的最大特点是没有图形，故可以联想到可能存在多种情况．因为点P在直线CD上，PD＝1，所以点P可以在点D的两侧，如图甲、乙所示，故有两个答案．
1485900122555
3．D
4．6 ［解析］∵sin∠BAE=，AE=4，∴ CD=AB=，连接AC， ∴△ABC≌△CDA，∴=，即 BC?AE= CD?AF，∴BC=AD=, ∴DF=6，则CF=.
1943100178435
5．A ［解析］设木桩上升了h cm，则= tan 20°，即h=8 tan 20°.
194310099060
6．A ［解析］在△PAB中，∠APB＝60°＋30°＝90°，PA＝20，PB＝60×＝40，故tan∠ABP＝．
7．解：由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α＝70°时AC最大．在Rt△ABC中，AB＝6米，α＝70°，sin70°＝，即0.94≈，解得AC ≈5.6.
答：梯子的顶端能达到的最大高度AC约为5.6米.
数学素养提升
教案
置疑导入 我们在上节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度,并且得出了当倾斜角确定时,其对边与斜边之比随之确定的结论,也就是说这一比值只与倾斜角的大小有关,与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.
现在我们提出两个问题:
问题1:当直角三角形中的锐角确定之后,其他边之间的比也确定吗?
问题2:梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有,是怎样的关系?
[说明与建议] 说明:通过回顾正切的有关知识,引导学生运用类比的思想完成本节课的学习任务,为本节课的学习做好准备.启发学生还有其他方法可以判断梯子的倾斜程度,让学生意识到本节课要学习的新知识.建议:留给学生充足的思考时间,让学生积极动脑,为新知识的学习做好铺垫.
复习导入 上节课,我们研究了“陡”这个字,明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶到地面的距离以及梯脚到墙角的距离比有关的.如图1-1-25,研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法:一是用梯子的倾斜角来刻画,倾斜角越大,梯子越陡;二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画,正切值越大,梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢?下面请同学们模拟试验,探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关呢?
图1-1-25
[说明与建议] 说明:思维往往是从人的动作、活动参与开始的,而动手操作及量一量活动最易激发学生的想象、思维和发现,在量一量活动中增强自己的感性认识与经验,进而上升到理性观察、思考与推理论证.建议:在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步的学习积累数学活动经验.
教材母题——教材第5页例2
如图1-1-26,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长.
图1-1-26
【模型建立】
利用直角三角形的边角关系——三角函数进行边的计算,要抓住两个要点:一是弄清各边之比构成哪个三角函数;二是根据定义正确进行变形,得到计算的式子.
【变式变形】
1.如图1-1-27,在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,AC=8,求BC的长.
图1-1-27
[答案:6]
2.如图1-1-28,在△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=20,求△ABC的周长和面积.
图1-1-28
[答案:△ABC的周长为60,面积为150]
3.如图1-1-29,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.
图1-1-29
答案:sinB=45,cosB=35,tanB=43
4.在△ABC中,∠C=90°,若AB=4AC,求cosA的值.
答案:cosA=14
[命题角度1] 三角函数的定义
考查特点:将正弦、余弦、正切与点的坐标、三角形等知识结合,考查对定义的掌握以及综合解决问题的能力.应对策略:计算相应的线段长,从而得到所求的三角函数值.
例 [怀化中考] 如图1-1-30,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是 (C)
图1-1-30
A.35 B.34 C.45 D.43
[命题角度2] 互余两角的三角函数关系
在△ABC中,若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,tanA·tanB=1.利用这种关系可以快速地得出结论,避免设未知量表示各边长的较为烦琐的过程.
例 [汕尾中考] 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=35,则cosB的值是 (B)
A.45 B.35 C.34 D.43
[解析] ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cosB=sinA.∵sinA=35,∴cosB=35.故选B.
[命题角度3] 同角的三角函数关系
对于同角的三角函数,关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系:对任一锐角α,都有sin2α+cos2α=1.根据这一关系,当知道了一个三角函数值时,即可求出其他三角函数值.
例 [连云港中考] 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=513,则cosA的值为(D)
A.512 B.813 C.23 D.1213
[解析] ∵sin2A+cos2A=1,即5132+cos2A=1,
∴cos2A=144169,
∴cosA=1213或-1213(舍去),∴cosA=1213.故选D.
习题答案
P4随堂练习
1．如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
解：∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC＝AC＝2.
在Rt△DBC中，tanC＝＝＝.
2．如图，某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55 m，求山的坡度(结果精确到0.001 m)．
解：在Rt△ABC中，AC＝≈
192．2888(m)，
故tanA＝≈0.286.
即山的坡度约为0.286.
P4习题1.1
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tanA和tanB.
解：在Rt△ABC中，BC＝＝
＝12.
∴tanA＝＝，tanB＝＝.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝，求AC.
解：在Rt△ABC中， ∵tanA＝，BC＝3，∴＝，∴AC＝.
3．观察你们学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？
解：略．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA与tanB有什么关系？
解：tanA＝，tanB＝，tanA·tanB＝·＝1.
P6随堂练习
1．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求sinB，cosB，tanB.
解：如图，过点A作AD⊥BC，
则BD＝DC＝BC＝3.
在Rt△ABD中，AD＝＝4, sinB＝＝， cosB＝＝，
tanB＝＝.
2．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝20，求△ABC的周长和面积．
解： 在Rt△ABC中， ∵sinA＝＝，BC＝20，∴＝，∴AB＝25.
∴AC＝＝＝15.
∴△ABC的周长为20＋15＋25＝60，
△ABC的面积为AC·BC＝150.
P6习题1.2
1．如图，分别求∠α和∠β的正弦、余弦和正切．
解：由题意可得，
x2＝92－， 解得x＝.
∴sinα＝＝，sinβ＝＝；
cosα＝＝，cosβ＝＝；
tanα＝＝，tanβ＝＝.
2.如何用正弦、余弦、正切来刻画梯子的倾斜程度？
解：略．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA与cosB有什么关系？
解：sinA＝cosB.理由如下：
如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，则sinA＝， cosB＝，∴sinA＝cosB.
4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.
解：如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，CD为AB边上的中线， CD＝5，
∴AB＝2CD＝2DB＝2AD＝10.
∴AC＝＝＝6.
∴sin∠ACD＝ sinA＝＝＝，
cos∠ACD＝ cosA＝＝＝，
tan∠ACD＝ tanA ＝＝.
5．在△ABC中，∠BAC>90°，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，求CD和sinC.如果∠BAC<90°呢？
解：若∠BAC>90°，
如图， 在Rt△ABD中，
BD＝＝＝3，
∴CD＝BC－BD＝13－3＝10.
在Rt△ACD中， AC＝＝＝2，
∴sinC＝＝＝.
若∠BAC<90°，如图， 在Rt△ABD中， BD＝＝＝3,
∴CD＝BC＋BD＝13＋3＝16.
在Rt△ACD中， AC＝＝＝4，
∴sinC＝＝＝.
专题一 锐角三角函数的概念
1．（2014广东省广州市）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶2068830236220点均在格点上，则（ ）．
（A） （B） （C） （D）
2．已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是 _ ．
3．（2014贵州省毕节市）如图是以△ABC的边为直径的半圆O，点C恰在半圆上，过C作CD⊥AB交AB与D，已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（ ）
A.1 B. C.3 D.
4．（2012,，鄂州）如图，□ABCD 中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，sin∠BAE=,则CF= .
1943100138430
专题二 正切、正弦、余弦的实际应用
5．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8 cm(如箭头所示)，则木桩上升了（ ）.
A．8tan20°cm B． cm C．8sin20°cm D．8cos20°cm
18402309277356. （2012，德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP＝（ ）.
A． B．2 C． D．
7．生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC．（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
笔记：
【知识要点】锐角三角函数的定义及应用.
【方法技巧】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，求锐角三角函数值或者要用三角函数值必须在直角三角形中进行，通常有两种方法：（一）构造直角三角形；（二）等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.
参考答案
1．D
2． 或2 ［解析］此题的最大特点是没有图形，故可以联想到可能存在多种情况．因为点P在直线CD上，PD＝1，所以点P可以在点D的两侧，如图甲、乙所示，故有两个答案．
1485900122555
3．D
4．6 ［解析］∵sin∠BAE=，AE=4，∴ CD=AB=，连接AC， ∴△ABC≌△CDA，∴=，即 BC?AE= CD?AF，∴BC=AD=, ∴DF=6，则CF=.
1943100178435
5．A ［解析］设木桩上升了h cm，则= tan 20°，即h=8 tan 20°.
194310099060
6．A ［解析］在△PAB中，∠APB＝60°＋30°＝90°，PA＝20，PB＝60×＝40，故tan∠ABP＝．
7．解：由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α＝70°时AC最大．在Rt△ABC中，AB＝6米，α＝70°，sin70°＝，即0.94≈，解得AC ≈5.6.
答：梯子的顶端能达到的最大高度AC约为5.6米.
数学素养提升