北师大版九年级数学下册：1.2、30 °，45 °，60 °角的三角函数值（教案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：1.2、30 °，45 °，60 °角的三角函数值（教案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 961.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-13 17:56:09 | ||
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文档简介
2 30°,45°,60°角的三角函数值
教案
置疑导入 如图1-2-1,为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.你能利用上述测量工具测出这棵大树的高度吗?
(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)
图1-2-1
[说明与建议]
说明:以生活中的实例入手,激发学生的学习热情.给学生时间,让学生去充分思考交流讨论,并由此引出新课.建议:给学生充足的时间寻求解决问题的方法,在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步学习积累数学活动经验.
复习导入
回顾相关知识,回答下列问题:
(1)在直角三角形中,30°的锐角有什么性质?
(2)等腰直角三角形中的两个锐角的度数各是多少度?
(3)根据(1)中的答案可知30°的锐角的对边与斜边之比为12,即sin30°=12,那么你能据此进一步求出cos30°,tan30°吗?你还能求出哪些特殊度数的角的三角函数值?
悬念激趣 网络购物从一个新生事物变成了越来越多的人选择的购物方式,每年的“双十一”(11月11日)网上商家都会推出各式各样的促销活动,吸引消费者网上抢购.本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝(如图1-2-2),投放进几家商铺进行出售,你们有没有信心抢到呢?
很好,我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧,看谁能抢到它们!(利用多媒体投影)
商铺:
图1-2-2
[说明与建议]
说明:以进行网购,积极抢购订单的形式引入新课,大大调动了学生学习的积极性,既复习了上节课的重点知识,又为本课的学了道路.建议:把知识的回顾放到“网购”中,让学生独立思考,解决问题.
教材母题——教材第9页例2
如图1-2-3,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5
m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01
m).
图1-2-3
【模型建立】
在具体情境中,选择或者构建恰当的直角三角形,借助三角函数的定义建立算式,再利用特殊角的三角函数值求得相应的边长,进而解决简单的实际问题.这里一定要准确记忆特殊角的三角函数值.
三角函数值三角函数角α
sinα
cosα
tanα
30°
12
32
33
45°
22
22
1
60°
32
12
3
【变式变形】
1.如图1-2-4,小阳发现电线杆AB在太阳光下的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得1米长的木杆的影长为2米,则电线杆的高度为
(D)
图1-2-4
A.9米
B.28米
C.(7+3)米
D.(14+23)米
[解析]
延长BC,AD交于点E,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F.如果没有土坡的遮挡,电线杆AB的影长应为BE.根据相同时刻物体的高度与影长成正比可得:ABBE=DFEF=12,因此要求AB的长,需先求BE的长,而BE=BC+CF+EF,故需求CF与EF的长.在Rt△DCF中,DF=CD·sin30°=4米,CF=CD·cos30°=43米.由DFEF=12,得EF=8米,所以BE=(28+43)米,所以AB=12BE=(14+23)米.
2.如图1-2-5,为了求出湖两岸A,B两点之间的距离,观测者从测点A,B分别测得∠BAC=90°,∠ABC=30°,又量得BC=160
m,则A,B两点之间的距离为 803 m(结果保留根号).?
图1-2-5
[解析]
在Rt△ABC中,AB=BC·cos∠ABC=160×32=803(m).
3.如图1-2-6,身高1.6
m的小美用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为6
m,那么这棵树高大约为多少?(结果精确到0.1
m,其中小美眼睛距离地面的高度近似为她的身高)
图1-2-6
[解析]
树高相当于CE,问题也就转化为求CD与DE的和,而DE相当于小美的身高,在Rt△ACD中利用三角函数的知识求CD就成了解题的关键.
解:在Rt△ACD中,∵tan30°=CDAD,∴33=CD6,∴CD=23
m,
∴树高CE=CD+DE=23+1.6≈5.1(m).
4.如图1-2-7,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米的速度收绳.问8秒后船向岸边移动了多少米.(结果精确到0.1米)
图1-2-7
[解析]
斜边缩短,直角边AC不变,导致直角边AB的变化,所以需要先求出斜边变化后的值,再由勾股定理即可求解.
解:在Rt△ABC中,AC=5
m,∠ABC=30°,∴BC=10
m,AB=53
m.
设8秒后,点B移至点B',此时B'C=10-0.5×8=6(米),
∴AB'=B'C2-AC2=36-25=11(米),船向岸边移动的距离为53-11≈5.3(米).
答:8秒后船向岸边移动了5.3米.
5.如图1-2-8,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60°的方向上,求河的宽度(结果保留根号).
图1-2-8
解:由题意,知∠ACB=90°,∠ABC=30°,CB=180米,
所以AC=CB·tan30°=180×33=603(米).
答:河的宽度为603米.
[命题角度1]
利用特殊角的三角函数值求线段长度
考查特点:考查含特殊角的三角形的性质.解题思路:构造直角三角形,把特殊角放在直角三角形中,借助特殊角的三角函数值进行计算.
例 [扬州中考]
如图1-2-9,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为
(C)
图1-2-9
A.3
B.4
C.5
D.6
[解析]
过点P作PD⊥OB于点D.
在Rt△OPD中,cos60°=ODOP=12,OP=12,∴OD=6.
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND=12MN=1,
∴OM=OD-MD=6-1=5.
故选C.
[命题角度2]
由特殊三角函数值求角度
考查特点:与绝对值、二次根式和偶次方相结合,考查学生对非负数的掌握.解题思路:由特殊三角函数值求得对应的特殊角度,再展开相关计算.
例 [邵阳中考]
在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,若sinA-12+cosB-122=0,则∠C的度数是
(D)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
[解析]
∵sinA-12+cosB-122=0,∴sinA=12,cosB=12,
∴∠A=30°,∠B=60°,则∠C=180°-30°-60°=90°.故选D.
[命题角度3]
利用特殊角的三角函数值计算
在考查实数的运算时,往往会加入零指数幂的运算法则、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值等,因此熟知零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此类题的关键.再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
例 [桂林中考]
计算:(1-3)0-12+2sin60°-|-3|.
解:原式=1-23+3-3=1-23.
习题答案
P9随堂练习
1．计算：
(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60°；
(3)sin45°＋sin60°－2cos45°.
解：(1)原式＝－1＝.
(2)原式＝
＋＝.
(3)原式＝
×＋－2×＝＋－＝.
2．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7
m．扶梯的长度是多少？
解：设扶梯的长度为x
m，则sin30°＝，∴＝，解得x＝14.
答：扶梯的长度为14
m.
P10习题1.3
1.
计算：
(1)tan45°－sin30°；
(2)cos60°＋sin45°－tan30°；
(3)6tan230°－sin60°－2cos45°.
解：(1)
原式＝1－＝.
(2)原式＝＋－＝.
(3)原式＝6×－×－2×＝2－－＝－.
2．如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，桥长12
m，在C处看桥两端A，B，夹角∠BCA＝60°，求B，C间的距离(结果精确到1
m)．
解：在Rt△ABC中，
tanC
＝，AB＝12,
∠C＝60°，∴tan60°
＝，
∴＝，解得BC＝4≈7(m)．
答：B，C间的距离约为7
m.
3．如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB＝120°，AB＝54，求SO的长．
解：∵△ASB是等腰三角形，∠ASB＝120°，AB＝54，
∴∠OSB＝60°，OB＝27.
在Rt△SOB中，tan∠OSB＝＝，
∴SO＝9.
4．如图，身高1.75
m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A＝30°)，已知她与树之间的距离为5
m，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1
m)
解：在Rt△ADC中，
tanA
＝，AD＝5,
∠A＝30°，
∴tan30°
＝，
∴＝，解得CD＝，
∴CE＝DE＋CD＝AB＋CD＝1.75＋≈4.6(m)．
答：这棵树的高度约为4.6
m.
5．如图，一段长1500
m的水渠，其截面为四边形ABCD，其中AB∥CD，BC＝AD，渠深AE＝0.8
m，底AB＝1.2
m，坡角为45°，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米？
解：由题意，得DE＝CF＝AE＝0.8
m．
故S四边形ABCD＝(AB＋CD)·AE＝1.6(m2).
故水渠最多能蓄水1.6×1500＝2400(m3)．
6．某阶梯的形状如图所示，其中线段AB＝BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，AD＝1.5
m．如果每个台阶的高不超过20
cm，那么这一阶梯至少有多少个台阶？(最后一个台阶的高不足20
cm时，按一个台阶计算)
解：14个．
专题
特殊角的三角函数值
1．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）.
A．sin30°＜x＜sin60°
B．cos30°＜x＜cos45°
C．tan30°＜x＜tan45°
D．tan45°＜x＜tan60°
2．如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）.
A
B
C
A．sinA＝cosA
B．sinA＞cosA
C．sinA＞tanA
D．sinA＜cosA
3．在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°．根据图形计算tan15°＝
．
18288000
29260802885944．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
状元笔记：
【知识要点】30°，45°，60°角的三角函数值
【温馨提示】熟记三角函数的特殊值是解题的关键.
参考答案
1．D
2．B
［解析］在锐角三角函数中仅当∠A＝45°时，sinA＝cosA，所以A选项错误；因为45°＜A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即sinA＞cosA，B选项正确，D选项错误；tanA
＝＞1，sinA＜1，所以C选项错误.
3．2－ ［解析］可设CD＝x，用含x的代数式表示BD即可．
4．［解析］过点B作BM⊥FD于点M．
在△ACB中，∠ACB＝90°，
∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，
BC＝AC·tan60°＝10.
3360420532130∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°．
∴BM＝BC·sin30°＝10×＝5.
CM＝BC·cos30°＝10×＝15.
在△EFD中，∠F＝90°，
∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5．
∴CD＝CM－MD＝15-5．
教案
置疑导入 如图1-2-1,为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.你能利用上述测量工具测出这棵大树的高度吗?
(用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)
图1-2-1
[说明与建议]
说明:以生活中的实例入手,激发学生的学习热情.给学生时间,让学生去充分思考交流讨论,并由此引出新课.建议:给学生充足的时间寻求解决问题的方法,在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步学习积累数学活动经验.
复习导入
回顾相关知识,回答下列问题:
(1)在直角三角形中,30°的锐角有什么性质?
(2)等腰直角三角形中的两个锐角的度数各是多少度?
(3)根据(1)中的答案可知30°的锐角的对边与斜边之比为12,即sin30°=12,那么你能据此进一步求出cos30°,tan30°吗?你还能求出哪些特殊度数的角的三角函数值?
悬念激趣 网络购物从一个新生事物变成了越来越多的人选择的购物方式,每年的“双十一”(11月11日)网上商家都会推出各式各样的促销活动,吸引消费者网上抢购.本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝(如图1-2-2),投放进几家商铺进行出售,你们有没有信心抢到呢?
很好,我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧,看谁能抢到它们!(利用多媒体投影)
商铺:
图1-2-2
[说明与建议]
说明:以进行网购,积极抢购订单的形式引入新课,大大调动了学生学习的积极性,既复习了上节课的重点知识,又为本课的学了道路.建议:把知识的回顾放到“网购”中,让学生独立思考,解决问题.
教材母题——教材第9页例2
如图1-2-3,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5
m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01
m).
图1-2-3
【模型建立】
在具体情境中,选择或者构建恰当的直角三角形,借助三角函数的定义建立算式,再利用特殊角的三角函数值求得相应的边长,进而解决简单的实际问题.这里一定要准确记忆特殊角的三角函数值.
三角函数值三角函数角α
sinα
cosα
tanα
30°
12
32
33
45°
22
22
1
60°
32
12
3
【变式变形】
1.如图1-2-4,小阳发现电线杆AB在太阳光下的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得1米长的木杆的影长为2米,则电线杆的高度为
(D)
图1-2-4
A.9米
B.28米
C.(7+3)米
D.(14+23)米
[解析]
延长BC,AD交于点E,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F.如果没有土坡的遮挡,电线杆AB的影长应为BE.根据相同时刻物体的高度与影长成正比可得:ABBE=DFEF=12,因此要求AB的长,需先求BE的长,而BE=BC+CF+EF,故需求CF与EF的长.在Rt△DCF中,DF=CD·sin30°=4米,CF=CD·cos30°=43米.由DFEF=12,得EF=8米,所以BE=(28+43)米,所以AB=12BE=(14+23)米.
2.如图1-2-5,为了求出湖两岸A,B两点之间的距离,观测者从测点A,B分别测得∠BAC=90°,∠ABC=30°,又量得BC=160
m,则A,B两点之间的距离为 803 m(结果保留根号).?
图1-2-5
[解析]
在Rt△ABC中,AB=BC·cos∠ABC=160×32=803(m).
3.如图1-2-6,身高1.6
m的小美用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度,已知她与树之间的距离为6
m,那么这棵树高大约为多少?(结果精确到0.1
m,其中小美眼睛距离地面的高度近似为她的身高)
图1-2-6
[解析]
树高相当于CE,问题也就转化为求CD与DE的和,而DE相当于小美的身高,在Rt△ACD中利用三角函数的知识求CD就成了解题的关键.
解:在Rt△ACD中,∵tan30°=CDAD,∴33=CD6,∴CD=23
m,
∴树高CE=CD+DE=23+1.6≈5.1(m).
4.如图1-2-7,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米的速度收绳.问8秒后船向岸边移动了多少米.(结果精确到0.1米)
图1-2-7
[解析]
斜边缩短,直角边AC不变,导致直角边AB的变化,所以需要先求出斜边变化后的值,再由勾股定理即可求解.
解:在Rt△ABC中,AC=5
m,∠ABC=30°,∴BC=10
m,AB=53
m.
设8秒后,点B移至点B',此时B'C=10-0.5×8=6(米),
∴AB'=B'C2-AC2=36-25=11(米),船向岸边移动的距离为53-11≈5.3(米).
答:8秒后船向岸边移动了5.3米.
5.如图1-2-8,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60°的方向上,求河的宽度(结果保留根号).
图1-2-8
解:由题意,知∠ACB=90°,∠ABC=30°,CB=180米,
所以AC=CB·tan30°=180×33=603(米).
答:河的宽度为603米.
[命题角度1]
利用特殊角的三角函数值求线段长度
考查特点:考查含特殊角的三角形的性质.解题思路:构造直角三角形,把特殊角放在直角三角形中,借助特殊角的三角函数值进行计算.
例 [扬州中考]
如图1-2-9,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM的长为
(C)
图1-2-9
A.3
B.4
C.5
D.6
[解析]
过点P作PD⊥OB于点D.
在Rt△OPD中,cos60°=ODOP=12,OP=12,∴OD=6.
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND=12MN=1,
∴OM=OD-MD=6-1=5.
故选C.
[命题角度2]
由特殊三角函数值求角度
考查特点:与绝对值、二次根式和偶次方相结合,考查学生对非负数的掌握.解题思路:由特殊三角函数值求得对应的特殊角度,再展开相关计算.
例 [邵阳中考]
在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,若sinA-12+cosB-122=0,则∠C的度数是
(D)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
[解析]
∵sinA-12+cosB-122=0,∴sinA=12,cosB=12,
∴∠A=30°,∠B=60°,则∠C=180°-30°-60°=90°.故选D.
[命题角度3]
利用特殊角的三角函数值计算
在考查实数的运算时,往往会加入零指数幂的运算法则、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值等,因此熟知零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此类题的关键.再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
例 [桂林中考]
计算:(1-3)0-12+2sin60°-|-3|.
解:原式=1-23+3-3=1-23.
习题答案
P9随堂练习
1．计算：
(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60°；
(3)sin45°＋sin60°－2cos45°.
解：(1)原式＝－1＝.
(2)原式＝
＋＝.
(3)原式＝
×＋－2×＝＋－＝.
2．某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7
m．扶梯的长度是多少？
解：设扶梯的长度为x
m，则sin30°＝，∴＝，解得x＝14.
答：扶梯的长度为14
m.
P10习题1.3
1.
计算：
(1)tan45°－sin30°；
(2)cos60°＋sin45°－tan30°；
(3)6tan230°－sin60°－2cos45°.
解：(1)
原式＝1－＝.
(2)原式＝＋－＝.
(3)原式＝6×－×－2×＝2－－＝－.
2．如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，桥长12
m，在C处看桥两端A，B，夹角∠BCA＝60°，求B，C间的距离(结果精确到1
m)．
解：在Rt△ABC中，
tanC
＝，AB＝12,
∠C＝60°，∴tan60°
＝，
∴＝，解得BC＝4≈7(m)．
答：B，C间的距离约为7
m.
3．如图，SO是等腰三角形SAB的高，已知∠ASB＝120°，AB＝54，求SO的长．
解：∵△ASB是等腰三角形，∠ASB＝120°，AB＝54，
∴∠OSB＝60°，OB＝27.
在Rt△SOB中，tan∠OSB＝＝，
∴SO＝9.
4．如图，身高1.75
m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度(∠A＝30°)，已知她与树之间的距离为5
m，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1
m)
解：在Rt△ADC中，
tanA
＝，AD＝5,
∠A＝30°，
∴tan30°
＝，
∴＝，解得CD＝，
∴CE＝DE＋CD＝AB＋CD＝1.75＋≈4.6(m)．
答：这棵树的高度约为4.6
m.
5．如图，一段长1500
m的水渠，其截面为四边形ABCD，其中AB∥CD，BC＝AD，渠深AE＝0.8
m，底AB＝1.2
m，坡角为45°，那么该段水渠最多能蓄水多少立方米？
解：由题意，得DE＝CF＝AE＝0.8
m．
故S四边形ABCD＝(AB＋CD)·AE＝1.6(m2).
故水渠最多能蓄水1.6×1500＝2400(m3)．
6．某阶梯的形状如图所示，其中线段AB＝BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为30°，AD＝1.5
m．如果每个台阶的高不超过20
cm，那么这一阶梯至少有多少个台阶？(最后一个台阶的高不足20
cm时，按一个台阶计算)
解：14个．
专题
特殊角的三角函数值
1．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（ ）.
A．sin30°＜x＜sin60°
B．cos30°＜x＜cos45°
C．tan30°＜x＜tan45°
D．tan45°＜x＜tan60°
2．如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）.
A
B
C
A．sinA＝cosA
B．sinA＞cosA
C．sinA＞tanA
D．sinA＜cosA
3．在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°．根据图形计算tan15°＝
．
18288000
29260802885944．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
状元笔记：
【知识要点】30°，45°，60°角的三角函数值
【温馨提示】熟记三角函数的特殊值是解题的关键.
参考答案
1．D
2．B
［解析］在锐角三角函数中仅当∠A＝45°时，sinA＝cosA，所以A选项错误；因为45°＜A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即sinA＞cosA，B选项正确，D选项错误；tanA
＝＞1，sinA＜1，所以C选项错误.
3．2－ ［解析］可设CD＝x，用含x的代数式表示BD即可．
4．［解析］过点B作BM⊥FD于点M．
在△ACB中，∠ACB＝90°，
∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，
BC＝AC·tan60°＝10.
3360420532130∵AB∥CF，∴∠BCM＝30°．
∴BM＝BC·sin30°＝10×＝5.
CM＝BC·cos30°＝10×＝15.
在△EFD中，∠F＝90°，
∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5．
∴CD＝CM－MD＝15-5．