贵州省黔东南州2012届高三第一次模拟考试 理科数学试题（2012黔东南一模）

绝密★使用完毕前 2012年月日15∶00—17∶00
2012年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ3至4页。
第Ⅰ卷
（本卷共12小题，每小题5分，共60分）
注意事项
1．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
2．答题前认真阅读答题卡上的“注意事项”。
参考公式：
如果事件、互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件发生次的概率为，，，… ，
球的表面积公式：（为球的半径） 球的体积公式： （为球的半径）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在集合中，的最大值是
． ． ． ．．
2．是虚数单位，复数，则
． ． ． ．．
3．函数的反函数是
． ． ．．．
4．正方体中，二面角的正切值为
． ． ． ．．
5．已知，则
． ． ． ．．
6．已知向量a =，b =，则条件“”是条件“ab”成立的
．充分不必要条件 ．必要不充分条件
．充要条件 ．既不充分也不必要条件．
7．函数的图象经过、两点，则的
．最大值为 ．最小值为 ．最大值为 ．最小值为．
8．圆：上有两个相异的点到直线的距离为都为，则的取值范围是
． ． ． ．．
9．春节期间，某单位要安排位行政领导从初一至初六值班，每天安排人，每人值班两天，则共有多少种安排方案？
． ． ． ．．
10．正三棱锥中，,，则与平面所成角的余弦值为
． ． ． ．．
11．函数的图象总在轴的上方，则实数的取值范围是
． ． ． ．．
12．过椭圆：的右焦点引直线，与的右准线交于点，与交于、两点，与轴交于点，若，则的离心率为
． ． ． ．．
2012年黔东南州普通高等学校招生第一次适应性考试
理科数学
第Ⅱ卷
（本卷共10小题，共90分）
注意事项
1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上。
2．答题前认真阅读答题卡上的“注意事项“。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡中横线上．
13．展开式中第三项为 ．
14． 等差数列中，，且，则 ．
15． 中，，，，是其内切圆的圆心，则 ．
16．在一个球的球面上有、、、、五个点，且是正四棱锥，同时球心和点在平面的异侧，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，角、、所对的边依次为、、，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当的面积为，且时，求、、．
18．（本小题满分12分）
某项试验在甲、乙两地各自独立地试验两次，已知在甲、乙两地每次试验成功的概率依次为、；不成功的概率依次为、．
（Ⅰ）求以上的四次试验中，至少有一次试验成功的概率；
（Ⅱ）在以上的四次试验中，试验成功的次数为，求的分
布列，并计算．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，
，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成角的大小．
20．(本小题满分12分)
数列中，，，．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
21．(本小题满分12分)
已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为的正方形．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过的直线交于、两点，线段的中点为，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．
22．（本题满分12分）
已知函数的图象经过其中为自然对数的底数，．
（Ⅰ）求实数；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对于任意的，都有成立．
理科数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D B A B C A C A B
选择题解答提示：
（7）依题意可知（其中为的周期）；
（8）依题意大于圆心到直线的距离与半径之差而小于圆心到直线的距离与半径之和；
（9）依题意得安排方案共有（种）；
（10）设为中点，显然点在平面的射影在直线上，即为所求的角，在三角形中由余弦定理即得；
（11）本题考察数形结合及分类讨论思想，可分及讨论；也可将问题转化为
恒成立的问题，结合图象即可；
（12）依题意得，又，则由椭圆的性质知，，即，设、在轴上的射影依次为、，易知与相似，从而．
13．； 14．； 15．； 16．．
填空题解答提示：
（15）由等积法知，三角形的内切圆半径为，以C为坐标原点，分别以射线、为轴的正方向建立直角坐标系，可知其内切圆的圆心的坐标为（1，1），从而得；
（16）设底面的中心为，依题意得，又，可得．
17．解：（Ⅰ）余弦定理得 ………2分
………5分
(Ⅱ)由（1）知
又由面积 ………6分
故 ① ………8分
又②
由①、②两式及解得 ………10分
18．解（Ⅰ）设至少有一次试验成功的概率为，依题意得
……5分
(Ⅱ)依题意可取，，，3，4 ………6分
的分布列为
0 1 2 3 4
………11分
故． ………12分
19．证明：（Ⅰ）由平面知为在平面的射影，
由知，
故（三垂线定理） ………5分
解：(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系 ………6分
由已知可得
设平面的法向量为，由………10分
则 ………11分
则与平面所成的角为． ………12分
20．解：（Ⅰ） ………3分
又，知是以3为首项、3为公比的等比数列 ………4分
，即
． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ………8分
故 ………10分
． ………12分
21．解：（Ⅰ）依题意知的两条渐近线相互垂直，且点到任一条渐近线的距离为，
故双曲线的方程为． ………5分
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下： ………7分
当直线的斜率不存在时，结论不成立 ………8分
当直线斜率存在时，设其方程为，并设、
由知 ………9分
则 ………10分
故………11分
这不可能
综上可知，不存在这样的直线． ………12分
22．解：（Ⅰ）由的图象过点得
． ………2分
（Ⅱ） ………4分
由知 ，令，故在上为增函数，当时，
令得，令得，，令得
故的增区间为，减区间为． ………7分
（Ⅲ）由（2）知，在区间上的最小值为 ………8分
即当时，恒成立
当时，令，则有
即 ………10分
故成立． ………12分