6.4.3 正弦定理-课件（共20张PPT）

第6章 平面向量及其应用
6.4.3 正弦定理
????????????????????=????????????????????=????????????????????=????????
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?????????????????????=?????????????????????
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?????????????????????=?????????????????????
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?????????????????????=?????????????????????
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????????????????：????????????????：????????????????=????：????：????
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????+????+????????????????????+????????????????+????????????????=????+????????????????????+????????????????=????+????????????????????+????????????????=????+????????????????????+????????????????=????????
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高中数学人教A版（2019）必修 第二册
正弦定理
正弦定理的描述
【文字语言】在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等
适用范围：任意的三角形
结构特征：分式连等形式，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称之美.
简单应用：实现三角形中边角关系的转化
【符号语言】如图，在ΔABC中，????????????????????=????????????????????=????????????????????=2????(????是????????????????外接圆半径)
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探究新知
正弦定理
正弦定理的应用
已知两角和任一边，求其他的边和角
——考什么
已知两边和其中一边的对角，求其他边和角
——怎么考
作为知识形态，放在选择题，填空题中考
大题考察正弦定理，常与三角函数，三角恒等变换结合，考察工具形态
边角互相转化
探究新知
正弦定理
正弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????
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【证法1】定义法(利用三角函数的定义)
教材中给出了当ΔABC为直角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ΔABC为钝角三角形时的证明
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????
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????
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????
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????
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????
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如图，设∠ABC为钝角，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D.
由三角函数的定义可知????????=????????????????????????,????????=?????????????????????????∠????????????=????????????????????∠????????????
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即有????????????????????????=????????????????????∠????????????，即????????????????????∠????????????=????????????????????????,同理可得????????????????????∠????????????=????????????????????∠????????????
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所以就有????????????????????∠????????????=????????????????????????=????????????????????∠????????????，同理也可以推出锐角三角形时亦成立
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探究新知
正弦定理
正弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????
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【证法2】向量法(利用向量的数量积定义)
教材中给出了当ΔABC为直角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ΔABC为钝角三角形时的证明
????
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????
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????
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????
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从而????????????????????????????????=????????????????????????=????????????????????????，类似可推出当ΔABC为直角三角形时亦成立.
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如图，当ΔABC为钝角三角形时，过点A作非零向量????⊥AC.由向量的加法可得AB=AC+CB，则?????·AB= ?????·(AC+CB)，∴ ?????·AB= ?????·AC+ ?????·CB
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即????????????????????????90°?∠????????????=0+?????????????????????????90°+????,整理得
????????????????????∠????????????=????????????????????????，即????????????????????????????????=????????????????????????,同理可得????????????????????????=????????????????????????
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探究新知
下列有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形
②正弦定理不适用于直角三角形
③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值
④在ΔABC中，若内角A，B，C所对的边分别为????,????,????，则A：B：C= ????：????：????
其中哪些是正确的？
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【解】正弦定理适用于人以三角形，故①②不正确；
在ΔABC中，由正弦定理得????????????????????=????????????????????=????????????????????=2????.因为三角形确定，所以外接圆半径R为定值，③正确；
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④不正确，如A=B=45°，C=90°，A：B：C≠????：????：????
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针对训练
正弦定理
三角形中的隐含条件
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????，外接圆半径为????，则：
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????+????+????=????,??????????
????>?????????>?????????????????????>????????????????;?????+????>?????????????????????+????????????????>????????????????
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????????????????+????=?????????????????;????????????????+????=??????????????????;????????????????+????????=???????????? ????2
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ΔABC为锐角三角形,则????+????>????2?????>????2??????????????????????>????????????????,????????????????>????????????????
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即在锐角三角形中，一个角的正弦值大于另一个角的余弦值.
探究新知
正弦定理
正弦定理的推广及常用变形公式
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????，外接圆半径为????，则：
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????????????????????=????????????????????=????????????????????=????????
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?????????????????????=?????????????????????
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?????????????????????=?????????????????????
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?????????????????????=?????????????????????
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????????????????：????????????????：????????????????=????：????：????
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????+????+????????????????????+????????????????+????????????????=????+????????????????????+????????????????=????+????????????????????+????????????????=????+????????????????????+????????????????=????????
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?????=?????????????????????????,????=????????????????????????,????=????????????????????????(实现边和角的相互转化)
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探究新知
利用正弦定理解三角形的类型及方法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}类型
已知条件
一般解法
已知三角形的两
角和任意一边
已知三角形的两边
和其中一边的对角
????=????????????????????????????????????,????=?????????+????,????=????????????????????????????????????
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????,????,????
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????,????,????
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????,????,????
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????,????,????
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????=????????????????????????????????????,????=?????????+????,????=????????????????????????????????????
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????=????????????????????????????????????,????=?????????+????,????=????????????????????????????????????
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????????????????=????????????????????????,????=?????????+????,????=????????????????????????????????????
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解的个数不唯一
①应用正弦定理解三角形时，必须明确三角形中边角之间的对应关系；
②已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不唯一确定， 需要讨论；
③解三角形时，要注意大边对大角这一性质的运用.
探究新知
解决几何问题的常见公式
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为?????,????,???? ——
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三角形的高
在ΔABC中，边BC，CA，AB上的高分别记作?????,?????,?????
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若ΔABC为锐角三角形，则由下图可知，????????=?????????????????????=?????????????????????
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????
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????
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????
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?????
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同理可得?????????=?????????????????????=??????????????????????,????????=?????????????????????=?????????????????????
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当ΔABC为直角三角形或钝角三角形时结论相同.
探究新知
解决几何问题的常见公式
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为?????,????,???? ——
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三角形面积的计算公式
在ΔABC中，边BC，CA，AB上的高分别记作?????,?????,?????
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????=????????????????????=????????????????????=????????????????????
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????=?????????????????????????????????=?????????????????????????????????=?????????????????????????????????
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对 的证明：
????
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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①当ΔABC为锐角三角形时，作AD⊥BC于点D，设
ΔABC的面积为S，则????=????????????????·????????=12?????????????????????????
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②当ΔABC为钝角三角形时，作BC边上的高AD，
则????????=????????????????????????????????°?∠????????????=????????????????????∠????????????,∴????=12????????·????????=12?????????????????????????????????
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当ΔABC为直角三角形时，上述结论依然成立.
探究新知
解决几何问题的常见公式
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为?????,????,???? ——
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三角形面积的计算公式
在ΔABC中， ???? 为内切圆的半径，????为外接圆半径.
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????=????????????+????+????·????
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????=????????????????????
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【证明】
????
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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????????????????????=????????????????????+????????????????????+????????????????????
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=????????????????+????????????????+????????????????=????????????+????+????·????
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【证明】
????=?????????????????????????????????
=????????????????????????????
=????????????????????
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探究新知
①在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为?????,????,????,且????=5,????=4,????????????????=45，求ΔABC的面积.
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【解】因为????????????????=45,????∈(0,????)，∴ ????????????????=35
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∴ ????????????????????=12?????????????????????????=12×5×4×35=6
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②若锐角三角形ABC的面积为103，且AB=5，AC=8，求BC.
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【解】由已知得12????????·????????·????????????????=20????????????????=103,????????????????=32
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∵ ????∈0,????2所以????=????3,由余弦定理得
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????????2=????????2+????????2?2????????·????????·????????????????=49,所以????????=7
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针对训练
三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时第三角已知，三角形是唯一确定的，所以解是唯一的
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解，两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.不妨设已知ΔABC的两边????,????和角A，作图步骤如下：
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①先把未知边????画成水平的，作出已知角A；
角A的另一条边为已知边????；
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②以边????的端点C为圆心， ????为半径作圆；
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③观察圆C与边????交点的个数，就是三角形
解的个数.
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????
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????
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????
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????
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探究新知
三角形的解的个数
显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：
????
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????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????无解
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
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????
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????=????????=????????????????????
仅有一个解
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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????????=????????????????????有两个解
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????
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????
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????
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????
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????
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????
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????≥????
仅有一个解
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探究新知
三角形的解的个数
当A为直角(或钝角)时，有如图所示的2种情况：
????
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????
?
????
?
????
?
????
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????>????
仅有一个解
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????
?
????
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????
?
????
?
????
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????≤????
仅有一个解
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根据分析可知，由于????,????
长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解.若A为锐角，只有当????≥????????????????????时才有解，并且随着????的增大，得到的解的个数也不同；若A为钝角或直角，只有当????>????时才有解.
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探究新知
三角形的解的个数
针对此类问题，我们有两种解决方法：
【1】正弦定理法(也称代数法或大边对大角法)
不妨设已知ΔABC的两边????,????和角A，根据正弦定理得????????????????????=????????????????????，可得????????????????=?????????????????????????.
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①若????????????????>1,则三角形无解；
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②若????????????????=1,则三角形有且仅有一个解；
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③若0 大角)，再求出B，从而确定三角形解的个数.
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探究新知
三角形的解的个数
【2】公式法
不妨设已知ΔABC的两边????,????和角A，根据前面的分析可得三角形解的个数
的判断公式如下表：
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
?????
????≥????????°
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????≥????
?
?????
??????????????????????
????=?????????????????????
?
?????
????>????
?
????≤????
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一解
一解
两解
无解
一解
无解
探究新知
谢谢聆听