6.4.2 余弦定理-课件（共17张PPT）

第6章 平面向量及其应用
6.4.2 余弦定理
????????????????=????????+?????????????????????????????
?
????????????????=????????+?????????????????????????????
?
????????????????=????????+?????????????????????????????
?
????????+?????????????????=????????????????????????????
?
????????+?????????????????=????????????????????????????
?
????????+?????????????????=????????????????????????????
?
高中数学人教A版（2019）必修 第二册
余弦定理
余弦定理的描述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍.符号语言：在ΔABC中，三个角A、B、C所对的边分别是????,????,????，则有
?
????2=????2+????2?2????????????????????????
?
????2=????2+????2?2????????????????????????
?
????2=????2+????2?2????????????????????????
?
适用范围：任意的三角形
结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余弦”
简单应用：等式中的三个边和一个角，四个元素可以做到“知三求一”
探究新知
余弦定理
余弦定理的应用
已知三角形的三边，求三角形的三个内角
——考什么
已知三角形的两边及一个角，求其他边和角
——怎么考
作为知识形态，放在选择题，填空题中考
作为工具形态，和其他知识点比如不等式、
向量结合考
勾股定理与余弦定理的联系:
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方与其中一个角之间的关系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
探究新知
余弦定理
余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????
?
【1】向量法
????
?
????
?
????
?
从而????2=????2+????2?2????????????????????????
?
????2=????2+????2?2????????????????????????
?
????2=????2+????2?2????????????????????????
?
如图，因为AC=AB+AC，
所以AC2=(AB+BC)2，即
AC2=AB2+BC2+2AB · BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B)
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到
????
?
????
?
????
?
探究新知
余弦定理
余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????
?
【2】解析法(建系法)
????
?
????
?
????
?
如图，以A为坐标原点，边AB所在直线为????轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(????,0),C(?????????????????????,
?????????????????????)
?
????
?
????
?
????(????)
?
????
?
????
?
所以????????2=????2????????????2?????2?????????????????????????+????2+????2????????????2????
?
即????2=????2+????2?2????????????????????????
?
同理可证????2=????2+????2?2????????????????????????，????2=????2+????2?2????????????????????????
?
探究新知
余弦定理
余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????
?
【3】几何法
????
?
????
?
????
?
①当ΔABC为锐角三角形时，如图，过顶点C作
CD⊥AB于点D，则????????=?????????????????????,????????=?????????????????????,
???????????=?????????????????=??????????????????????????.
?
????
?
????
?
??
?
????
?
在RtΔBCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，
即????2=????2????????????2????+??????????????????????????2=????2????????????2????+????2+????2????????????2?????2?????????????????????????
=????2+????2?2????????????????????????, 所以????2=????2+????2?2????????????????????????
?
同理可证????2=????2+????2?2????????????????????????，????2=????2+????2?2????????????????????????
?
探究新知
余弦定理
余弦定理的证明
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为????,????,????
?
【3】几何法
????
?
????
?
????
?
②当ΔABC为直角三角形时，同理可证.
????
?
????
?
????
?
????
?
③当ΔABC为钝角三角形时，如图，过顶点C作CD⊥AB，交AB的延长线与点D，
则????????=?????????????????????,????????=?????????????????????,????????=??????????????????????????.
?
在RtΔBCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，即
????2=????2????????????2????+??????????????????????????2, 即????2=????2+????2?2????????????????????????
?
同理可证????2=????2+????2?2????????????????????????，????2=????2+????2?2????????????????????????
?
探究新知
余弦定理
余弦定理的应用
用余弦定理判断三角形的类型：
①如果????2+????2=????2，那么角????是直角；
?
由此可知，余弦定理是用准确的量化关系去解决问题，即用边长去判断三角形的形状.
②如果????2+????2?
③如果????2+????2>????2，那么角????是锐角.
?
在ΔABC中，等式AC=AB+BC两边同乘AC，可得AC2=AB·AC+BC·AC
即得????2=????·?????????????????????+????·?????????????????????，所以????=????·????????????????+????·????????????????
?
同理有 ????=????·????????????????+????·????????????????
?
????=????·????????????????+????·????????????????
?
可用来判断三角形形状，求长度等等
探究新知
余弦定理
余弦定理的推论
????????????????=????????+?????????????????????????????
?
????????????????=????????+?????????????????????????????
?
????????????????=????????+?????????????????????????????
?
????????+?????????????????=????????????????????????????
?
????????+?????????????????=????????????????????????????
?
????????+?????????????????=????????????????????????????
?
其他常用的形式还有——
★????=????????°?????????=????????+?????????????????
?
★????=????????????°?????????=????????+????????+????????
?
★????=????????°?????????=????????+?????????????????????
?
★????=????????????°?????????=????????+????????+????????????
?
★????=????????°?????????=????????+?????????????????????
?
★????=????????????°?????????=????????+????????+????????????
?
探究新知
解三角形
解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1
2
【1】已知三角形的三边解三角形
余弦定理在解三角形中的应用
①连续用余弦定理求出两角
②由三角形内角和定理求出第三个角
【2】已知两边和它们的夹角解三角形
①用余弦定理求出第三边
②用余弦定理求出第二个角
③由三角形内角和定理求出第三个角
探究新知
忽视三角形的构成条件——两边之和大于第三边.
忽略构成三角形的条件
已知钝角三角形ABC的三边????=????,????=????+2,????=????+4，求实数????的范围.
?
【错解】∵????>????>????，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角
?
由余弦定理的推论得?????????????????=????2+????2?????22????????=????2?4?????122????(????+2)<0
?
∴ ?????????4?????12<0，解得?2?
又 ∵ ????为三角形的边长，所以0?
【正解】∵????>????>????，且ΔABC为钝角三角形，∴C为钝角
?
由余弦定理的推论得?????????????????=????2+????2?????22????????=????2?4?????122????(????+2)<0
?
∴ ?????????4?????12<0，解得?2?
由三角形两边之和大于第三边得????+????+2>????+4,解得????>2，∴ ????∈(2,6)
?
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为?????,????,????，且????2=????2?????2+2????????,则角B的大小是多少？
?
题①
【解】由已知得????2+????2?????2=2????????,∴????????????????=????2+????2?????22????????=22
?
又∵0＜B＜180°，所以B=45°
在ΔABC中，若?????
题②
【解】∵ ????20
?
∴∠C为锐角，∵ ?????
∴ΔABC为锐角三角形
针对练习
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是?????,????,?????，且????=1,????=????=2，求????????????????的大小.
?
题③
——已知三边解三角形
【解】因为????=1,????=????=2?，
?
由余弦定理????????????????=????????+?????????????????????????????
?
可得????????????????=12+22?222×1×2=14
?
根据余弦定理的推论可知，只要将三角形三边的长度或者三边长度的比值求出，就可以求出三个角的余弦值，从而求出三个角的大小.
针对练习
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是?????,????,?????，且????=2,????=22,????=15°，求????,????和????.
?
题④
——已知两边及一角解三角形
【解】由余弦定理可得????????=????2+????2?????????????????????????????
?
即????????=4+8?2×2×22×????????????15°=12?82×????????????15°
?
∵ ????????????15°=cos45°?30°=????????????45°????????????30°+????????????45°????????????30°=6+24
?
∴ ????????=?????????12=6?22, ∴ ????=6?2或?(6?2)(舍)
?
∵ ????????????????=????????+?????????????????????????????=32,且0＜A＜180°，∴A=30°，B=180°-(A+C)=135°
?
∴ A=30°，B=135°， ????=6?2
?
针对练习
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是?????,????,?????，且????+????+????????+?????????=3????????,????????????????=2????????????????????????????????,?判断ΔABC的形状.
?
题⑤
——判断三角形的形状
【解】因为????+????+????????+?????????=3????????，化简得????2=????2+????2?????????
?
由余弦定理得????2=????2+????2?2?????????????????????????，所以????????????????=12
?
又因为0＜A＜180°，所以A=60°
因为????????????????=????????????????+????=????????????????????????????????+????????????????????????????????,且????????????????=2????????????????????????????????
?
所以????????????????????????????????=????????????????????????????????,所以B-C=0°，即B=C
?
又因为A=60°，所以ΔABC为等边三角形.
针对练习
谢谢聆听