等腰三角形

(共25张PPT)
12.3.1等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是 ；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。
10 cm
10 cm 或 11 cm
19 cm
小试牛刀
　　 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
等腰三角形是轴对称图形吗？
※等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗
大胆猜想
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的三角形？
猜想
A
B
C
D
如何构造两个全等的三角形
A
B
C
A
B
C
则有∠1＝∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作∠A的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有 BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明: 过点A作BC 的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明: 过点A作AD⊥BC
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
等腰三角形的性质１：
等腰三角形的两个底角相等
简写成“等边对等角”
注意：
在 三角形中,等边对等角。
一个
一个
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB
∴ ∠B=∠C ( ）
等边对等角
C
A
B
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90°
△ABC中,AB=AC, ∠BAD=∠CAD
△ABC中,AB=AC, BD=CD
∠BAD=∠CAD，
AD⊥BC
BD=CD ，
AD⊥BC
△ABC中,AB=AC,
(三)
AD⊥BC
BD=CD，
∠BAD=∠CAD
∴
∵
∴
∵
∴
∵
(一)
(二)
A
B
D
C
(等腰三角形的三线合一)
等腰三角形的顶角的平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合
等腰三角形的性质2：
(1)如果等腰三角形的一个底角为500，则其余两个角为____和____.
(2)如果等腰三角形的顶角为800，则它的一个底角为____.
500
800
500
1.填空题
巩固练习
(3)如果等腰三角形的一个角为800，则其余两个角为___________________.
800和200
(4)如果等腰三角形的一个角为1000，则其余两个角为_________.
400和400
或500和500
(5)等腰三角形的一个外角为1300，则三个内角分别:_______________________________.
650、650、500
或500、500、800
2.判断下列语句是否正确.
(1)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.( )
×
×
(3)等腰三角形的底角都是锐角（ ）
(2)有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内
角也为60 ° （ ）
(4)钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）
例1 已知：在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，BD = BC = AD， 求△ABC 各角的度数.
讨论：
2.∠A与哪些角相等？
1.∠C与哪些角相等？
3.∠C与∠A是什么关系？
(∠3、 ∠ABC )
(∠1、 ∠2 )
(∠C=2 ∠A)
A
C
B
D
1
2
3
例1 已知：在△ABC中，AB = AC，点A在AC上，BD = BC = AD， 求△ABC 各角的度数.
A
C
B
D
x
○
2x
2x
⌒
⌒
⌒
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
如图，△ABC中，AB=AC， BD=CD ，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F， 求证：DE=DF
证明∵ AB=AC， BD=CD
∴ AD平分∠BAC
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE=DF
结论：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
练一练:
1、如图，点D、E在△ABC的边BC上，且AB=AC，AD=AE, 求证：BD=CE
A
B
C
D
E
F
证明：过点A作AF⊥BC
∵ AB=AC AF⊥BC
∴ BF=CF
∵ AD=AE AF⊥BC
∴ DF=EF
∴ BF-DF=CF-EF
（等腰三角形的顶角的平分线与底边上的中线，底边上的高
互相重合）
即 BD=CE
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”
课堂检测
书本：P51
1--3
1、如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FG、GH……，添加的钢管长度都与OE相等，则∠ＭＨA =　　°最多能添加这样的钢管 根。
Ｅ
G
O
F
H
M
A
Ｂ
2.如果等腰三角形的顶角为α，则一腰上
的高与底边的夹角为
α
3.Rt △ABC中, ∠C=90°,点M、N在AB上，
且AM=AC,BN=BC,则∠MCN=
45°
A
C
B
M
N
2.如果等腰三角形的顶角为α，则一腰上
的高与底边的夹角为
3.Rt △ABC中, ∠C=90°,
点M、N在AB上，且AM=AC,
BN=BC,则∠MCN=
α
45°
A
C
B
M
N
（第3题图）
1、(1)在等腰△ABC中，AB =5，AC = 6，则
　　 △ABC的周长= 　　 .　　　
　　
(2)在等腰△ABC中，AB =3，AC = 8，则
　　 △ABC的周长= .　　　
２、(1)在等腰△ABC中，AB =AC, ∠A = 50°,
　　　　　则∠B = ，∠C= .
用一用:
16或17
19
65°
65°
(2)在等腰△ABC中，AB =AC, ∠B = 50°,
　　　则∠A = ，∠C= .
80°
50°
Ａ
Ｂ
Ｃ