6.4.1 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用课件（共17张PPT）

第6章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法、
向量在物理中的应用
高中数学人教A版（2019）必修
第二册
平面几何中的向量方法
向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角问题.
已知向量????=????1,????1,????=(????2,????2)，????为向量????,????的夹角，
?
(1)证明直线平行或点共线问题，包括相似问题，可以用向量共线定理及其等价条件：
????//????????≠0?????=????????????∈?????????1????2?????2????1=0
?
(2)证明垂直问题，常用向量的数量积的运算性质????⊥?????????·????=0?
????1????2+????1????2=0
?
(3)求夹角问题，利用向量的夹角余弦公式：????????????????=??????????????|????|=????1????2+????1????2????12+????12?????22+????22(????,????为非零向量)
?
(4)求线段长度或证明线段相等问题，利用向量模的公式：
????=????????=????????????+????????????或????????=?????????????????????+?????????????????????(????????????,????????,????(????????,????????))
?
探究新知
平面几何中的向量方法
用向量解决平面几何问题的步骤
建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等等
把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量研究几何问题的思想——向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用向量解决平面几何的问题，就是把几何中的“证”，转化为向量的“算”，思路清晰，便于操作.
探究新知
向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的力、位移、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量数量积的物理背景.因此，利用向量可以方便地解决一些物理问题.
力学问题的向量处理方法
解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用这个模型来解析回答相关物理现象.
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向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.力是既有大小又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上.
探究新知
向量在物理中的应用举例
向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的力、位移、速度、等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量数量积的物理背景.因此，利用向量可以方便的解决一些物理问题.
速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减运算，而运动的叠加也用到了向量的合成
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向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，从而获得物理结果.
用向量解决速度、加速度和位移问题，用的只是主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可以利用坐标来解决.
探究新知
向量在物理中的应用举例
总结
——向量解决平面几何问题的两种方法
【基底法】选取适当的基底(尽量选取已知模长或夹角的向量作为基底)，将
题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算规律及相关结论
来探究几何关系.
【坐标法】建立平面直角坐标系，实现几何关系的向量化、坐标化，从而将
几何问题代数化.一般地，存在坐标系或者便于建立坐标系的题型适合用坐
标法.
力、速度和加速度一样，都是具有方向的量，在物理计算时一般引入向量加法的平行四边形法则来帮助运算.
探究新知
向量在物理中的应用举例
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力F与位移s的数量积，即?????=????·????=????|????|????????????????
(θ是F与s的夹角).功是一个标量，它可以为正，可以为负，也可以为零.动量
?????????实际上是数乘向量.
?
功、动量问题的向量处理方法
抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
利用向量法解决物理问题的步骤
建立以向量为主题的数学模型；
利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
求解物理学中的向量问题千万不要忘了数形结合思想，正确地作出相应图形可以起到事半功倍的效果.
探究新知
对向量或者物理矢量的概念理解不够透彻，向量的属性和向量的模的属性，前者是具有方向，后者是数量(标量).
忽略力和速度的方向
某人在无风条件下骑车的速度为????1，风速为?????????(|????1|>|????????|)，则逆风行驶的速度大小为（
）
?
【错解】忽略力和速度的方向不知道选哪个选项
【正解】选项A和B表示的是速度，是向量，而选项
C和D表示的是向量模的运算(速度的大小)，
????.????????+???????????????????????????.????????????????????????????????????.????????+???????????????????????????.?????????|????????|
?
????????+????????表示的是某人骑车顺风行驶时速度的大小，
????1?|????2|表示的是某人骑车逆风行驶时速度的大小.所以选D.
?
设0?
题①
【解】∵
????=????????????2????,????????????????,????=(1,?1).且????⊥????
，即????·????=0
?
∴
????????????2?????????????????????=0,即2?????????????????????????????????????????????=0.
?
又
∵
0，
?
∴
????????????????=12,????=????6
?
∴?????????????????=33
?
针对练习
已知向量????=????????????125°,????????????125°,????=????????????75°,????????????75°,????=3????+4,5????2
????≠0.若????//????,则????与????的夹角????是多少？
?
题②
【解】根据题意，不妨设????=????????=????????????????125°,????????????????125°????<0,
?
则????????????????=????·????????|????|=????????????????125°????????????75°+????????????125°????????????75°?????=?????????????200°=????????????70°
?
因为，0?
针对练习
如图，已知AD，BE，CF是ΔABC的三条高，且交于
点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，求证：HG//EF.
题③
——利用向量解决解决平面几何中的平行(共线)问题
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
【解】∵DG⊥BE，AE⊥BE，∴DG//AE
设OA=????OD(????≠0)，则AE=
?????DG，同理AF=
?????DH
?
于是FE=AE-AF=
????(DG
–DH)=
?????HG
?
∴HG//FE，以为内点G不在直线EF上，所以HG//EF
针对练习
如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点.求证：AF⊥DE(利用向量证明).
题④
——利用向量垂直问题
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
∴
AF·ED=
????+12????·?????12????=12????2?12????2+34????·????
?
【证明】设AB=????，AD=????，则AF=????+12????,ED=
?????12????,
?
又∵AB⊥AD，且|AB|=|AD|，
∴
????2=????2,????·????=0,
∴
AF·ED=0
?
∴
AF⊥ED，即AF⊥ED.
针对练习
如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形.试用向量法证明：PA=EF.
题⑤
——利用向量求线段长度或证明线段相等
【证明】建立如图所示的坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
DP=?????(022????)，E(1,22????)，F(22????,0)
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
∴PA=(?22????,1?22????)，|PA|=?22????2+1?22????2=????2?2????+1
?
同理，EF=(22?????1,?22????),
|EF|=22?????12+?22????2=????2?2????+1
?
∴
|PA|=|EF|，所以PA=EF.
针对练面上作用于同一点O上的三个力????????,????????,????????处于平衡状态，
????1=1????,????2=2????,????1和????2的夹角为????，求
????3的大小.
?
题⑥
——向量在物理中的应用
【解】因为????????,????????,????????三个力处于平衡状态，所以????1+????2+????3=????，
?
所以????3=?????1+????????,所以????3=????1+????2=????1+????22
?
即????3=????12+????22+2????1·????2=3????
?
针对练习
奥运会的帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一个帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度大小和方向.
题⑦
——有关速度的问题
【解】由题意可得向量????1=(20cos60°,20sin60°)=(10,103),
向量????????=(20,0),则帆船行驶的速度
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????????
?
????????
?
????????°
?
α
?
北
?
东
?
????=????????+????????=(10,103)+(20,0)=(30,103),
?
所以|????|=????????????+????????????????=????????????????????/?，tanα=33,α=30°
?
所以帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为????????????????????/?
?
针对练习
谢谢聆听