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4.6
两条平行线间的距离教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：9
课
题
两条平行线间的距离
课型
新授课
教学目标
1.
理解公垂线段的概念；2.
掌握公垂线段的性质；3.
理解两平行线间的距离的概念；4.
知道把平行线间的距离转化为点到直线的距离；5.
能解决求两条平行线间的距离的有关问题。
教学重点
经历测量课本等物体的操作过程，理解公垂线段的概念和性质；2.
探究平行线间的距离与点到直线的距离的关系，学会度量和计算两平行线间的距离。
教学难点
1.
理解公垂线段的性质，能作出图形中两平行线的公垂线段；2.
计算两平行线间的距离。
教
学
活
动
一、情景导入教师讲话、学生感知新课1、
师：生活中我们经常会遇到两平行线间的问题。例如：跑道标志线之间的距离，校门的高度和宽度。（同时展示图片，学生欣赏）2、
提出问题：那么什么是两平行线间的距离？怎样测量两平行线间的距离呢？
二、教学新知（一）教学公垂线段的概念，理解公垂线段的性质。1、
展示问题：我们知道数学课本的对边所在直线是平行的。请各位同学用刻度尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？你是怎样量的？2、
学生演示度量方法，并口述自己的做法。发现方法不正确，及时
指导纠正：必须保持刻度尺与课本的两边互相垂直。3、
交流度量的结果：把刻度尺放在课本上任何位置，量得的结果是一样的。4、
讲解公垂线的概念：如图，与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，这时连结两个垂足的线段(如图中AB，CD)叫做这两条平行直线的公垂线段。5、
提问：通过上面度量，你对公垂线段长度有什么发现？生：两条平行线的所有公垂线段都相等。6、
教师引导学生用小学学过的长方形的对边相等说明公垂线段相等。7、
教师用PPT展示：两条平行线的所有公垂线段都相等。（二）教学两平行线间的距离的概念及与点到直线的距离的关系
1、
讲解概念ppt展示：两条平行线间的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.
2、
提问：如图，AB与CD间的距离与AB上的点P到直线CD的距离有什么关系？你能用刻度尺度量出平行线AB与CD间
的距离吗？3、
教师讲解：平行线AB与CD间的距离与直线AB上的点P到直线CD的距离相等。理由是：过点作PE⊥CD与点E，则PE是点P到直线CD的距离。因为AB∥CD，所以PE⊥AB，所以PE也是AB与CD间的距离。4、
抽象由此可知：度量两平行线间的距离，只需过平行线中的任意一条直线上一点，作另一条直线的垂线段，量出这点到另一条直线的距离，就OK了.ppt展示：我们可以把直线与直线的距离转化为点到直线的距离。（三）教学例题例
如图，设a，b，c是三条互相平行的直线.已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，求a与c的距离.
分析：
求a与c的距离，可以转化为求点到直线的距离。在直线a上取一点A，作AC⊥c，根据已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm求出AC即可。
解：在a上任取一点A，过点A作AC⊥c，分别与b，c相交于B，C两点，因为a，b，c是平行直线，所以∠1=∠2=∠3=90°，即AB⊥b，AC⊥c.因此AB，BC，AC分别表示平行线a与b，b与c，a与c的公垂线段.
AC=AB+BC=5+2=7(cm)，因此a与c的距离是7cm.
拓展：想一想：下面的题与例题有区别吗？怎样解答？已知a，b，c是三条互相平行的直线.a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，求a与c的距离.学生讨论后，教师指出：有区别。这道题没有提供具体的图形，应考虑直线的位置关系。分两种情况解答：（1）直线c不在直线a，b的之间.（2）直线c在直线a，b的之间.学生分情况解答。三、课堂练习1、
如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，若AB=8cm，AC=5cm，则平行线a，b
之间的距离为
（
）A.
8cmB.
5cmC.
6cmD.
不能确定
【答案】B2、
(厦门模考)如图，直线AD，CE是三角形ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的
长可表示图中两条平行线之间的距离的是（
）A.
ABB.
ADC.
CED.
AC【答案】B3、
如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB的面积等于7，三角形QHB的面积等于3，则三角形AHB的面积等于
。【答案】4【解析】因为MN∥AB，所以MN，AB间的距离距离相等，即三角形PAB和三角形QAB的底边AB（同底）上的高相等，所以它们的面积相等。所以三角形AHB的面积=三角形QAB的面积-三角形=QHB的面积7-3=4。4、
如图，直线AB∥CD，点E是线段CD的中点，AB=4，CE=3，三角形BCD的面积等于12，则三角形ABE面积为（
）A.
4B.
6C.
8D.
9【答案】C【解析】利用两平行线间的距离相等，即顶点和底边分别在两平行线上的高相等。5、如图，BC为固定木条，AD为与BC平行的轨道.AB，AC为可伸缩的橡皮筋，当点A在轨道上滑动时，下列关于三角形ABC的面积的说法，正确的是（
）A.
为直角三角形时，面积最小B.
为等腰三角形时，面积最大C.
面积始终不变。D.
向左滑动面积变小，向右滑动面积变大【答案】C6、
如图，已知AB∥CD，AD∥BC，点E是线段AB上一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F。若AB与CD的距离等于10，BE=1，求三角形AEF的面积。
【提示】连接BD，由两平行线间的距离相等得出三角形ADF的面积等于三角形ADB的面积，进而得出三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积为5.四、课堂总结1、
我们这节课学习了哪些概念？公垂线：与两条平行线都垂直的直线。公垂线段：连接公垂线的两个垂足的线段。两平行线间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
2、
公垂线段有什么性质？两平行线的所有公垂线段都相等。即两平行线间的距离相等。3、
两平行线间的距离与两平行线中一条直线上任一点到另一条直线的距离有什么关系？两平行线间的距离与两平行线中一条直线上任一点到另一条直线的距离相等。因此，直线与直线之间的距离可以转化为点到直线的距离。五、作业布置：习题4.6第2、3、4题。
板书设计
4.6
两条平行线间的距离1、
公垂线段的概念2、
公垂线段的性质：所有的公垂线段都相等；3、
两平行线间的距离：公垂线段的长度。
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精品试卷·第
2
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（共
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湘教版
七年级下
4.6
两条平行线间的距离
教学目标
1.
理解公垂线段的概念；
2.
掌握公垂线段的性质；
3.
理解两平行线间的距离的概念；
4.
知道把平行线间的距离转化为点到直线的距离；
5.
能解决求两条平行线间的距离的有关问题。
新知导入
生活中我们经常会遇到两平行线间的问题。例如：
跑道标志线之间的距离
那么什么是两平行线间的距离？怎样测量两平行线间的距离呢？
校门的高度和宽度
我们知道数学课本的对边所在直线是平行的。请各位同学用刻度尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？你是怎样量的？
合作探究
合作探究
可以把刻度尺放在课本上任意位置，
但必须保持与课本的两边互相垂直，量
得的结果是一样的。
新概念
如图，与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，这时连结两个垂足的线段(如图中AB，CD)叫做这两条平行直线的公垂线段.
A
B
C
l?
l?
D
合作探究
通过量数学课本，你发现两平行线的公垂线段有多少条吗？这些公垂线段都相等吗？
两平行线间有无数条公垂线段，所有公垂线段都相等.
合作探究
合作探究
两条平行线的所有公垂线段都相等.
A
B
C
l?
l?
D
如图所示，四边形ABDC是一个长方形(也称矩形),它的对边相等，所以公垂线段AB=CD.可以证明上述结论是对的。
合作探究
合作探究
新概念
两条平行线间的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.
合作探究
如图，AB与CD间的距离与AB上的点P到直线CD的距离有什么关系？你能用刻度尺度量出平行线AB与CD间的距离吗？
P
A
B
C
D
合作探究
平行线AB与CD间的距离与直线AB上的点P到直线CD的距离相等。理由是：
过点作PE⊥CD与点E，则PE是点P到直线CD的距离。因为AB∥CD，所以PE⊥AB，所以PE也是AB与CD间的距离。
P
A
B
C
D
E
合作探究
由此可知：
度量两平行线间的距离，只需过平行线中的任意一条直线上一点，作另一条直线的垂线段，量出这点到另一条直线的距离，就OK了.
也就是说：我们可以把直线与直线的距离转化为点到直线的距离。
例题讲解
例
如图，设a，b，c是三条互相平行的直线.已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，求a与c的距离.
a
b
c
分析：求a与c的距离，可以转化为求点到直线的距离。在直线a上取一点A，作AC⊥c，根据已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm求出AC即可。
例题讲解
解
在a上任取一点A，过点A作AC⊥c，分别与b，c相交于B，C两点，因为a，b，c是平行直线，所以∠1=∠2=∠3=90°，即AB⊥b，AC⊥c.因此AB，BC，AC分别表示平行线a与b，b与c，a与c的公垂线段.
a
b
c
5cm
2cm
1
2
3
A
B
C
AC=AB+BC=5+2=7(cm)，因此a与c的距离是7cm.
例题拓展
想一想：下面的题与例题有区别吗？怎样解答？
已知a，b，c是三条互相平行的直线.a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，求a与c的距离.
合作探究
提示：有区别。这道题没有提供具体的图形，应考
虑直线的位置关系。分两种情况解答：
a
b
c
A
C
B
5cm
2cm
(1)直线c不在直线a，b的之间.
a
b
c
A
C
B
5cm
2cm
(2)直线c在直线a，b的之间.
巩固练习
1.
如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，若AB=8cm，AC=5cm，则平行线a，b
之间的距离为
（
）
A.
8cm
B.
5cm
C.
6cm
D.
不能确定
B
A
a
C
b
B
巩固练习
2.
(厦门模考)如图，直线AD，CE是三角形ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是（
）
A.
AB
B.
AD
C.
CE
D.
AC
B
A
D
F
B
C
E
巩固练习
3.
如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB的面积等于7，三角形QHB的面积等于3，则三角形AHB的面积等于
。
4
巩固练习
4.
如图，直线AB∥CD，点E是线段CD的中点，AB=4，CE=3，三角形BCD的面积等于12，则三角形ABE面积为（
）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
9
C
A
B
C
D
E
巩固练习
5.
如图，BC为固定木条，AD为与BC平行的轨道.AB，AC为可伸缩的橡皮筋，当点A在轨道上滑动时，下列关于三角形ABC的面积的说法，正确的是（
）
A.
为直角三角形时，面积最小
B.
为等腰三角形时，面积最大
C.
面积始终不变。
D.
向左滑动面积变小，向右滑动面积变大
C
巩固练习
6.
如图，已知AB∥CD，AD∥BC，点E是线段AB上一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F。若AB与CD的距离等于10，BE=1，求三角形AEF的面积。
解析:连接BD，由两平行线间的距离相等得出三角形ADF的面积等于三角形ADB的面积，进而得出三角形AEF的面积等于三角形BDE的面积为5.
课堂总结
1.
我们这节课学习了哪些概念？
公垂线：与两条平行线都垂直的直线。
公垂线段：连接公垂线的两个垂足的线段。
两平行线间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
2.
公垂线段有什么性质？
两平行线的所有公垂线段都相等。即两平行线间的距离相等。
3.
两平行线间的距离与两平行线中一条直线上任一点到另一条直线的距离有什么关系？
两平行线间的距离与两平行线中一条直线上任一点到另一条直线的距离相等。因此，直线与直线之间的距离可以转化为点到直线的距离。
课堂总结
作业布置
习题4.6第2、3、4题。
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