6.3.1 平面向量基本定理-课件（共16张PPT）

第6章
平面向量及其应用
6.3.1
平面向量基本定理
高中数学人教A版（2019）必修
第二册
平面向量基本定理
平面向量的基本定理
如果????????,????????是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量????，有且只有一对实数????1,????2，使????=????1????1+????2????2.
?
①这个定理告诉我们，平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.
若????????,????????不共线，我们把{????1,????2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
?
②对于确定的基底????1,????2?，同一向量的分解式是唯一的，不同向量的分解式是不同的.
?
③同一非零向量在不同的基底下分解式是不同的，零向量的分解式是唯一的，即：
????=????1????1+????2????2,
且????1=????2=0
?
④这个定理可以推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可以表示成其余两个向量的线性组合，且形式唯一.
探究新知
【1】判断下列说法的正误.
【解】A错误，任意两个不共线的向量都可以
A.
一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B.
若????1,????2是同一平面内两个不共线向量，则????1????1+????2????2(????1,????2为实数)可
以表示该平面内所有向量
?
C.
若????????1+????????2=????????1+????????2，则a=????,????=????
?
D.
基底向量可以是零向量
B正确，跟定理表述一样
C错误，当????1和????????共线时，结论不一定成立
?
D错误，基底向量是两个不共线的向量，则一定是非零向量
针对练面向量基本定理
平面向量基本定理的证明
如图，????1,????2是同一平面内两个不共线向量，是这一平面内的任一向量，在平面内任取一点O，做OA=
????1?，OB=
?????????，OC=????，过点C分别作平行与OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线OB于点N，有OM=
????1OA，ON=
????2OB，
????1,????2为实数.
?
∵
OC=OM+ON，∴
????=????1????1+????2????2
?
【????1,????2的存在性】
?
假设存在另一组实数????1,????2，也能使
????=????1????1+????2????????成立，那么
就有????=????1????1+????2????2=????1????1+????2????2,即????1?????1????????+????2?????2????????=????
?
∵????1,????2不共线，∴
????1?????1=????2?????2=0,即????1=????1,????2=????2
?
∵使????=????1????1+????2????2成立的????1,????2是唯一的
?
【????1,????2的唯一性】
?
????
?
????1?
?
?????????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????1?
?
?????????
?
若????1,????2共线，则当????与????1,????2共线时可用????1,????2表示，且表示方法不唯一.
?
探究新知
平面向量基本定理的有关结论
★
设????1,????2是平面内一组基底，若????=????1????1+????2????2?，当????1=0时，
????与????2共线；
当????2=0时，????与????????共线，当????1=????2=0时，????=0，同样的,当????=0时，
????1=????2=0.
?
★
设????,????是平面内两个不共线向量，若????1????+????1????=????2????+????2????,
?
则
????1=????2,????1=????2.
?
★
平面上任意一个向量????都可以分解为两个不共线向量????1,????2的线性组合，即?????????=????1????1+????2????2.若向量????=????1????1+????2????2与????=????1????1+????2????2相等，则对应系数
相等，即????1=????1且????2=????2，一个平面向量方程相当于两个普通方程.
?
探究新知
平面向量基本定理的有关结论
n个不共线的向量????1,????2,…,????????与n个实数????1,????2,…,?????????所组成的向量????1????1+????2????????+…+????????????????叫做向量的线性组合.当向量????是向量????1,????2,…,????????的线性组合，即????=????1????1+????2????2+…+????????????????时，我们称向量????可以分解为向量????1,????2,…,????????的线性组合，其中{????1,????2,…,????????}是关于向量的一个基底.
?
高阶笔记
探究新知
在应用平面向量基本定理时，要注意????=????1????1+????2????2中????1,????2不共线这个条件.若没有指明，则应该对????1,????2共线的情况加以考虑.
?
对基底的定义理解不准确
已知????????≠????,????∈????,????=????????+????????????,????=2?????????，则????与????共线//的条件为（
）
?
????.λ=0
?
????.????????=????
?
????.????????//????????或λ=0
?
????.????????//????????
?
【错解】选A
【正解】当????????//????????时，????//????????.因为????=2????1，所以????//????1.
?
又因为????????≠????，所以????与????共线；
?
当λ=0时，????//????1?，因为????=2????1?，所以????//????1.
?
又因为????????≠????，所以????与????共线；
?
所以本题答案选D
【1】(多选)已知向量????,????是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是(
).
?
A.若存在实数λ，使得????=λ????，则????与????共线；
?
B.若????与????共线，则存在实数λ，使得????=λ????；
?
C.若????与????不共线，则对平面α内任一向量????，均存在实数λ,????,
使得????=λ????+????????；
?
D.若对平面α内的任一向量????，均存在实数λ,????,使得????=λ????+????????，
则????与????不共线.
?
针对练习
题①
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、
DC边上的中点，
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点.若AB=?????，AD=
????，试以{????,????}为基底表示DE，BF.
?
∴AD=BC=2BE，CD=BA=2CF.
∴????????=????????????????=????????????,
?
∴????????=????????????????=????????????????=?????????????????=?????????????
?
∴????????=????????+????????=????????+????????=?????12????
?
∴????????=????????????????=????????????????=?????????????????=?????????????
?
∴????????=????????+????????+????????=?????????+????????+????????=?????+????+????????????=?????????????????=?????????????????=?????????????
?
针对练习
题②
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，BC边上的中点.若AC=λ?AE+????AF,其中，求λ,????的值.
?
因为????,????不共线，所以12λ+????=1,λ+12????=1,??解得λ=????????,????=12,
?
所以λ+????=43
?
【解】设????????=????,????????=????
?
所以????????=λ????????+????????????=λ????+12????+????????+12????=λ+12????????+12λ+????????
?
则????????=????+????????????,????????=????+????????????,????????=????+????
?
针对练习
题③
????.??????????与????????+????????
?
如果是平面内一组不共线向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是哪一组？
????.???????????2????2与????????+????????????
?
????.???????????????2与????????+????????
?
????.??????????+3????2与????????????+????????????
?
【解】对于A，设????1+????2=λ1????1，则1=λ1,1=0,?，无解
?
对于B，设????1?2????2=λ2(????1+2????2)，则1=λ2,1=?λ2,?，无解
?
对于C，设????1?????2=λ3(????1+????2)，则1=λ3,1=?λ3,?，无解
?
对于D，设????1+3????2=λ4(2????1+6????2)，则λ4=2?，即它们共线，不能作为基底
?
针对练习
题④
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
所以????+????=?12
?
在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，F满足AF=2FD.若EF=????AC+????AB，求????+????的值.
?
【解】因为EF=ED+DF
=
?12?AB
?13?AD,
?
????AC+????AB
?
=????????????+????????+????????????
?
=????+????????????+????????????
?
针对练习
题⑤
已知向量????=2????1?3????2,????=2????1+3????2，其中????1,????2不共线，向量
????=2????1?9????2?，问是否存在实数λ,????，使????=λ????+????????与????共线？
?
【解】
????=λ????+????????=????=λ????+????????2????1?3????2+????(2????1+3????2)
?
=2λ+2????????1+(?3λ+3????)????????
?
假设存在实数λ,????，使????=λ????+????????与c共线，则应该存在实数????，使????=?????????，即2λ+2????????1+?3λ+3????????2=2????????1?9????????2.
?
所以2λ+2?????2????=0,?3λ+2????=?9????,????解得λ=?2????.
?
所以存在实数λ,????，只要λ=?2????，就能使????=λ????+????????与c共线.
?
针对练习
题⑥
求证：三角形的三条中线交于一点.
【证明】
如图，设AD，BE，CF分别为ΔABC的三条中线，
AD与CF交于G点，因为A、G、D三点共线，
?
由平面向量基本定理得????2=λ2,????2=1?λ，解得λ=????=23
?
所以存在实数????，使得AG=
?????AD=????2AB=
????2?AC;
?
同理，存在实数λ，使CG=λCF，
?
则AG=AC+CG=AC+λCF=AC+λ(CA+
12?AB)=AB+(1?λ)AC
?
所以AG=
13?AB+
13?AC，BG=AG-AB=
?23?AB+
13?AC
?
又因为BE=
12?AC-AB，所以BG=
23?BE，所以B，G，E三点共线
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
针对练习
谢谢聆听