6.3.2 平面向量的正交分解、加减、数乘运算的坐标表示课件（共17张PPT）

第6章
平面向量及其应用
6.3.2
平面向量的正交分解、
加减、数乘运算的坐标表示
高中数学人教A版（2019）必修
第二册
平面向量的正交分解
向量的正交分解定义
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
正交分解可看成是平面向量基本定理的特例，平面向量的基本定理是把平面内的任意一个向量分解为两个不共线的向量，正交分解则是这两个不共线向量互相垂直的特殊形式.
在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的情形，向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，会大大方便我们解决问题.
????
?
????
?
????
?
探究新知
平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与????轴、????轴方向相同的两个单位向量分别为????,????，取????,????作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数(????,????)?，使得
?
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????
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????
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????
?
????
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????
?
????
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????=????????+????????
?
这样，平面内的任一向量?????
都可由?????,????
唯一确定，我们把有序数对(????,????)叫做向量?????
的坐标，记作
?
????=
(????,????)
①
?
其中，
????
叫做
????
在
????
轴上的坐标，
????
叫做
????
在
????
轴上的坐标，①叫做向量
????
的坐标表示.
?
显然，????=1,0?,??????=0,1,??????=0,0.
?
探究新知
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【解】由题目所给的图可得
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????
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????
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????
?
????
?
【1】如图，取与
?????轴、
????
轴同向的两个单位向量????,????作为
基底，分别用
????,????
表示OA，OB，并求出它们的坐标.
?
所以它们的坐标表示分别是：
OA=
6????+2????，OB=
2????+4????
?
????????=(6,2)
?
????????=(2,4)
?
针对练面向量的坐标表示
????=
(????,????)中?????,?????的实际上是由平面向量基本定理得来的，所以?????,????
的值是唯一确定的
?
高阶笔记
向量的坐标表示是继向量的几何表示、字母表示后的又一种表示方法，向量的坐标表示实际上是向量的代数表示
由向量的坐标定义可知，两向量相等等价于它们的坐标相等，即????=?????
????1=????2且????1=????2?，其中????=????1,????1,????=(????2,????2)
?
在平面直角坐标系下有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区别，常常说点(????,????)和向量(????,????)
?
向量的坐标表示中含有等号，即????=
(????,????)不能写成????(????,????)
?
探究新知
平面向量的坐标表示
点的坐标与向量的关系
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????
?
????
?
????
?
????(????,????)
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
这样，我们就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
如图，在平面直角坐标系中，以原点O为起点作OA=????
则点A的位置由向量????唯一确定.
?
设OA=
????????+?????????，则向量OA的坐标(????,????)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(????,????)也就是向量OA的坐标.因为OA=
?????，所以终点A的坐标(????,????)就是向量????的坐标.
?
探究新知
平面向量的坐标表示
——点的坐标与向量的坐标的联系和区别
辨析
点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向.向量的坐标仅仅由向量的大小和方向决定，与向量的位置无关.
联
系
①当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
②两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，若????=????1,????1,????=(????2,????2)，
则????=?????????1=????2
且?????1=????2
?
注意
相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.
区别
书写不同：如向量的坐标????=1,2,点的坐标????(1,2)
?
探究新知
平面向量的坐标运算
两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)
两个向量和(差)的坐标表示
坐标表示：若????=????1,????1,????=????2,????2,则????±????=(????1±????2,????1±????2)
?
任一向量的坐标
????
?
????
?
????
?
????????1,????1
?
????????2,????2
?
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
如图，已知????????1,????1,????????2,????2，坐标原点为O.则OA=
????1,????1?，OB=
????2,????2?，所以
?
AB=OB-OA=
????2,????2?????1,????1=????2?????1,????2?????1
?
探究新知
求一个点的坐标，可以转化为求以坐标原点为起点，以该点为终点的有向线段表示的向量的坐标
平面向量的坐标运算
重点笔记
在求一个向量的坐标时，可以首先求出表示这个向量的有向线段的起点坐标和终点坐标，再用终点的坐标减去起点的坐标从而得到该向量的坐标
向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关，而与他们的具体位置无关.
当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不变.
探究新知
平面向量共线的坐标表示
重点笔记
设????=????1,????1,????=????2,????2，其中????≠????，则????//?????当且仅当存在唯一实数????，使得????=????????
?
用坐标表示，可写成????//?????????1,????1
=????????2,????2，即
?
????1=????????2????1=????????2
?
消去????得到????1????2?????2????1=0,这就是说，向量????，????共线的充要条件是：
?
????????????????=????????????????
?
特殊情况拓展
设????=????1,????1,????=????2,????2，当????≠????,????=????时，同样的有????//?????????1????2=????2????1，即对任意的向量，都有????1????2=????2????1
?????//????
?
探究新知
平面向量共线的坐标表示
归纳与总结
①几何表示法：若非零向量????与????共线，则存在唯一实数????，使得????=????????，它体
现了向量共线与向量的长度及方向之间的关系.
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②代数表示法：设????=????1,????1,????=????2,????2，则当????,????共线时，????1????2?????2????1=0，
用它解决平面向量问题的优点在于不需要引入参数????，从而减少了未知数的
个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
?
③比例形式表示法：设????=????1,????1,????=????2,????2，则当????,????共线时，有以下结论
????1????2=????1????2????2,????2≠0.比例形式的表示可借助直线的斜率相等来记忆，这种形
式不易出现搭配错误，但是有????2,????2≠0的限制.
?
探究新知
三点共线的坐标表示
引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标来实现，三点共线问题也可以通过平面向量共线的坐标表示来判定.
(1)直接利用上述条件，计算????2?????1????3?????2?
????3?????2????2?????1是否为零.
?
两种方法的本质都是向量共线定理
(2)任取三点构成向量，计算出两向量如AB，AC，再通过两向量共线的条件进
行判断.
若????=????1,????1,????=????2,????2,????=????3,????3三点共线，则有AB=????BC，即有
????2?????1,????2?????1=????????3?????2,????3?????2,所以????2?????1????3?????2=
????3?????2????2?????1，所以如果已知三点的坐标，判断其是否共线可以通过以下两种方法：
?
探究新知
三点共线的坐标表示
例①
方法二：由题意得A(3,4)
，B(7,12)，C(9,16)，
令????1=3,????1=4,????2=7,????2=12,????3=9,????3=16,
?
则有????2?????1????3?????2?
????3?????2????2?????1=4×4?2×8=0
?
已知O为坐标原点，OA=(3,4)，OB=(7,12)，OC=(9,16)，求证：A、B、C三点共线.
【证明】方法一：∵AB=OB-OA=(4,8)，AC=OC-OA=(6,12)，
∴AC=
32AB,所以AB与AC共线.
因为AB,AC有公共点,所以ABC三点共线.
?
所以AC与BC共线，因为AB,AC有公共点,所以ABC三点共线
例题讲解
错解中误把向量AP的坐标当做点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念.
混淆点的坐标和向量的坐标
因为点P在第三象限,所以3+5????＜0且1+7????＜0,解得?????35)
?
所以?????2,?????3=(3+5????,1+7????).
?
即?????2=3+5????,
?????3=1+7????,
?
解得????=5+5????,????=4+7????，因为点P在第三象限，
?
所以5+5????<0,4+7????<0,解得?????
所以实数????的取值范围是(-∞,
?1)
?
已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+????AC(????∈????)，且点P在第三象限，求实数????的取值范围.
?
【错解】由题意，得AP=
AB+????AC=(5-2,4-3)+????(7-2,10-3)=(3,1)+????(5,7)=(3+5????,1+7????)
?
【正解】由题意，得AP=
AB+????AC=(5-2,4-3)+????(7-2,10-3)=(3,1)+????(5,7)=(3+5????,1+7????)
?
设P????,?????，则AP=?????2,?????3.
?
错解中误把向量相等和向量的模相等混淆，即|AC|=2|BC|和AC=2BC的含义是不一样的，由
|AC|=2|BC|得到的应该是AC=2
BC或AC=-2BC
混淆向量相等与向量的模相等
所以1?????=6且?4=2?2????,解得????=?5,????=3
?
已知线段AB的端点分别为A(????,5)，B(-2,
????)，C(1,1)是直线AB上的点，且有|AC|=2|BC|，求?????,?????的值.
?
【错解】由|AC|=2|BC|,可得AC=2BC,AC=(1-????,1-5)=(1-????,-4),
2BC=2(1+2,1-????)=(6,2-2????)
?
【正解】由|AC|=2|BC|,且点C在直线AB上，得AC=±2BC
由题意，得AC=2BC,AC=(1-????,1-5)=(1-????,-4),
2BC=2(1+2,1-????)=(6,2-2????)
?
①当AC=2BC时，有1?????=6且?4=2?2????,
解得????=?5,????=3
?
②当AC=-2BC时，有1?????=?6且?4=?2+2????,
解得????=?7,????=?1
?
谢谢聆听