2020-2021学年高中数学人教A版必修四2.2平面向量的线性运算 教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中数学人教A版必修四2.2平面向量的线性运算 教案（2课时） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 539.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-14 11:14:54 | ||
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文档简介
教案 B
第1课时
教学目标
一、知识与技能
1．理解向量加减法的含义，并掌握加减法的三角形法则和平行四边形法则；
2．会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算．
二、过程与方法
经历向量加减法概念、法则的建构过程；通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
三、情感、态度与价值观
经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．
教学重点、难点
重点：运用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量和差向量．
难点: 理解向量的加减法法则及其几何意义．
教学设想
一、创设情境：
类比是人类思维中最具创新的一部分，数能进行加减乘除的运算，向量也具有数的特征，那么向量也应该是可以进行运算的，那么向量的运算又如何呢？
二、探究新知：
（一）教师引导学生仔细阅读课本，分组讨论，归纳如下：
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
强调：
（1）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点．
（2）可以推广到n个向量连加．
（3）．
（4）不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则．
3．已知向量、，求作向量+.
作法：在平面内取一点O，
作 ，
则.
4．加法的交换律和平行四边形法则
上题中+的结果与+是否相同，验证结果相同．从而得到：
（1）向量加法的平行四边形法则；
（2）向量加法的交换律：+=+.
5． 向量加法的结合律：
（+） +=+ （+）
证：作图：使， ， ，则（+） +=，+ （+） =，∴（+） +=+ （+）．
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（二）教师引导学生仔细阅读课本，类比向量加法的定义和运算法则，分组讨论，归纳如下：
1．用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量．记作 a.
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量．（a）= a．
任一向量与它的相反向量的和是零向量．a +（a）= 0．
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a，a + b = 0．
（3） 向量减法的定义：．
向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差． 即：a b = a +（b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
2．用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b.
3．求作差向量：已知向量a、b，求作差向量.
∵（ab）+ b = a +（b）+ b = a + 0 = a.
作法：在平面内取一点O，
作= a，= b．
则= a b.
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
注意：（1）表示a b．强调：差向量“箭头”指向被减数．
（2）用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + （b）.显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4．探究：
（1）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a．
（2）若a∥b， 如何作出a b？
三、例题讲解
例1 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）+；（2）+；（3）+.
解:（1）因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，
故
+=.
（2）因=,
故+与方向相同,长度为的长度的2倍,
故+=.
（3）因=,
故+=+=.
点评: 向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h，渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
解: 设表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,就是船的速度.
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.
答:渡船的航向为北偏西30°.
例3 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于（ ）
A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c
解析: 如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案: B
例4 判断题:
（1）若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
（2）△ABC中,必有++=0.
（3）若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
（4）|a+b|≥|a-b|.
解:（1）a与b方向相同，则a+b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量.此时a+b=0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥.
（2）由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
（3）因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
（4）当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时，同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|；当a、b中有零向量时，|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有（2）正确.
例5 若||=8,||=5,则||的取值范围是（ ）
A.[3，8] B.（3，8） C.[3，13] D.（3，13）
解:=-.
（1）当、同向时,||=8-5=3;
（2）当、反向时,||=8+5=13;
（3）当、不共线时,3<||<13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
四、小结
1． 向量加减法的几何法则和几何意义．
2． 和向量和差向量的几何表示．
五、作业
教材第84页练习、教材第87页练习
教材第91页习题2．2 第1～5题．
第2课时
教学目标
一、知识与技能
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理．熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．
二、过程与方法
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线．
三、情感、态度与价值观
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力．激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神．
教学重点、难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理．
难点：对向量共线定理的理解．
教 具：多媒体及课件准备
教学过程
一、情境设置
在雷雨天的时候，我们往往是先看到闪电，然后才听到雷声，这说明光速和声速之间虽然有时候方向相同，但速度大小不等，此时，两个速度是共线的，那么，我们如何表示这种关系呢？
二、探究新知
1．实数与向量的积
练习1：已知非零向量，作出和．
探究：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？
（1）与方向相同且；
（2）与方向相反且.
上题结果可记为：
，
.
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作： ．
其大小和方向规定如下：
大小：.
方向：λ>0时，与方向相同；
λ<0时，与方向相反．
特别地，当或时．
2．运算律
练习2：
（1） 根据定义，求作向量和（为非零向量），并进行比较．
结论：.
（2） 已知向量、，求作向量和，并进行比较．
结论：.
归纳得：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律： ；
第一分配律：；
第二分配律： .
练习3：计算（口答）
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式= .
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量、及任意实数、、，恒有．
3．向量共线定理
探究：
问题① 如果 ， 那么，向量与是否共线？
问题② 如果非零向量与共线， 那么，是否存在一个实数，使得 ？
对于向量（）、，如果有一个实数，使得 ， 那么，由数乘向量的定义知：向量与共线．
若向量与共线，，且向量的长度是的长度的倍，即有，
当与同方向时，有；
当与反方向时，有.
所以始终有一个实数，使．从而得：
向量共线定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 ．
三、讲解范例
例1 已知和是不共线向量，=t（t∈R），试用、表示.
解:=+=+t·=+t·（-）=（1-t）·+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m，t=n，则=m·+n·，m+n=1.
例2 设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2，向量b=2e1+3e2，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与向量c共线？
解：d=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（3μ-3λ）e2，要使d与c共线,则存在实数k使d=kc，即
（2λ+2μ）e1+（3μ-3λ）e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
例3 若非零向量a、b满足|a+b|=|b|，则（ ）
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
解：C
例4 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ等于（ ）
A． B． C．- D．-
解：A
四、练习
教材第90页练习
五、课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，并能在解题中加以运用．
I. 概念与定理
① 的定义及运算律；
② 向量共线定理 （）：向量与共线．
II. 知识应用
① 证明 向量共线；
② 证明 三点共线： A、B、C三点共线；
③ 证明 两直线平行：
∥
AB、CD 不重合
六、课后作业
教材92页A组11、12、13题．
第1课时
教学目标
一、知识与技能
1．理解向量加减法的含义，并掌握加减法的三角形法则和平行四边形法则；
2．会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算．
二、过程与方法
经历向量加减法概念、法则的建构过程；通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
三、情感、态度与价值观
经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程；在动手探究、合作交流中培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．
教学重点、难点
重点：运用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量和差向量．
难点: 理解向量的加减法法则及其几何意义．
教学设想
一、创设情境：
类比是人类思维中最具创新的一部分，数能进行加减乘除的运算，向量也具有数的特征，那么向量也应该是可以进行运算的，那么向量的运算又如何呢？
二、探究新知：
（一）教师引导学生仔细阅读课本，分组讨论，归纳如下：
1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）
2．三角形法则：
强调：
（1）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点．
（2）可以推广到n个向量连加．
（3）．
（4）不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则．
3．已知向量、，求作向量+.
作法：在平面内取一点O，
作 ，
则.
4．加法的交换律和平行四边形法则
上题中+的结果与+是否相同，验证结果相同．从而得到：
（1）向量加法的平行四边形法则；
（2）向量加法的交换律：+=+.
5． 向量加法的结合律：
（+） +=+ （+）
证：作图：使， ， ，则（+） +=，+ （+） =，∴（+） +=+ （+）．
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
（二）教师引导学生仔细阅读课本，类比向量加法的定义和运算法则，分组讨论，归纳如下：
1．用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量．记作 a.
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量．（a）= a．
任一向量与它的相反向量的和是零向量．a +（a）= 0．
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a，a + b = 0．
（3） 向量减法的定义：．
向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差． 即：a b = a +（b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
2．用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b.
3．求作差向量：已知向量a、b，求作差向量.
∵（ab）+ b = a +（b）+ b = a + 0 = a.
作法：在平面内取一点O，
作= a，= b．
则= a b.
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
注意：（1）表示a b．强调：差向量“箭头”指向被减数．
（2）用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + （b）.显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4．探究：
（1）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a．
（2）若a∥b， 如何作出a b？
三、例题讲解
例1 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）+；（2）+；（3）+.
解:（1）因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，
故
+=.
（2）因=,
故+与方向相同,长度为的长度的2倍,
故+=.
（3）因=,
故+=+=.
点评: 向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h，渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
解: 设表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,就是船的速度.
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.
答:渡船的航向为北偏西30°.
例3 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于（ ）
A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c
解析: 如图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案: B
例4 判断题:
（1）若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
（2）△ABC中,必有++=0.
（3）若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
（4）|a+b|≥|a-b|.
解:（1）a与b方向相同，则a+b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量.此时a+b=0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥.
（2）由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
（3）因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
（4）当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时，同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|；当a、b中有零向量时，|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有（2）正确.
例5 若||=8,||=5,则||的取值范围是（ ）
A.[3，8] B.（3，8） C.[3，13] D.（3，13）
解:=-.
（1）当、同向时,||=8-5=3;
（2）当、反向时,||=8+5=13;
（3）当、不共线时,3<||<13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
四、小结
1． 向量加减法的几何法则和几何意义．
2． 和向量和差向量的几何表示．
五、作业
教材第84页练习、教材第87页练习
教材第91页习题2．2 第1～5题．
第2课时
教学目标
一、知识与技能
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理．熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题．
二、过程与方法
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线．
三、情感、态度与价值观
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力．激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神．
教学重点、难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理．
难点：对向量共线定理的理解．
教 具：多媒体及课件准备
教学过程
一、情境设置
在雷雨天的时候，我们往往是先看到闪电，然后才听到雷声，这说明光速和声速之间虽然有时候方向相同，但速度大小不等，此时，两个速度是共线的，那么，我们如何表示这种关系呢？
二、探究新知
1．实数与向量的积
练习1：已知非零向量，作出和．
探究：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？
（1）与方向相同且；
（2）与方向相反且.
上题结果可记为：
，
.
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作： ．
其大小和方向规定如下：
大小：.
方向：λ>0时，与方向相同；
λ<0时，与方向相反．
特别地，当或时．
2．运算律
练习2：
（1） 根据定义，求作向量和（为非零向量），并进行比较．
结论：.
（2） 已知向量、，求作向量和，并进行比较．
结论：.
归纳得：设、为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律： ；
第一分配律：；
第二分配律： .
练习3：计算（口答）
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式= .
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量、及任意实数、、，恒有．
3．向量共线定理
探究：
问题① 如果 ， 那么，向量与是否共线？
问题② 如果非零向量与共线， 那么，是否存在一个实数，使得 ？
对于向量（）、，如果有一个实数，使得 ， 那么，由数乘向量的定义知：向量与共线．
若向量与共线，，且向量的长度是的长度的倍，即有，
当与同方向时，有；
当与反方向时，有.
所以始终有一个实数，使．从而得：
向量共线定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 ．
三、讲解范例
例1 已知和是不共线向量，=t（t∈R），试用、表示.
解:=+=+t·=+t·（-）=（1-t）·+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m，t=n，则=m·+n·，m+n=1.
例2 设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2，向量b=2e1+3e2，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与向量c共线？
解：d=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（3μ-3λ）e2，要使d与c共线,则存在实数k使d=kc，即
（2λ+2μ）e1+（3μ-3λ）e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
例3 若非零向量a、b满足|a+b|=|b|，则（ ）
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
解：C
例4 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ等于（ ）
A． B． C．- D．-
解：A
四、练习
教材第90页练习
五、课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，并能在解题中加以运用．
I. 概念与定理
① 的定义及运算律；
② 向量共线定理 （）：向量与共线．
II. 知识应用
① 证明 向量共线；
② 证明 三点共线： A、B、C三点共线；
③ 证明 两直线平行：
∥
AB、CD 不重合
六、课后作业
教材92页A组11、12、13题．