2020-2021学年高中数学人教A版必修4第二章2.2平面向量的线性运算 教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中数学人教A版必修4第二章2.2平面向量的线性运算 教案（2课时） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 636.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-14 11:20:40 | ||
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文档简介
教师备课系统──多媒体教案
人教版新课标普通高中◎数学④ 必修
2.2 平面向量的线性运算
教案 A
第1课时
教学目标
一、知识与技能
1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.
2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.
3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
二、过程与方法
1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．
2． 运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．
三、情感、态度与价值观
1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．
2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．
教学重点、难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．
教学难点：理解向量加减法的定义．
教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.
教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．
教法与学法导航
教学方法；启发诱导，讲练结合．
学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．
教学准备
教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．
学生准备：练习本、尺规.
教学过程
一、创设情境，导入新课
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断． 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．
二、主题探究，合作交流
提出问题：
1. 类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？
2. 向量加法的法则是什么？
3. 与数的运算法则有什么不同？
师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果，与A点直接到C点的位移结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.
图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．
改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．
合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．
数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．
讨论结果：1. 向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2. 向量加法的法则：
（1）向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．
（2）向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行
四边形法则．
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
对于零向量与任一向量，我们规定 a+0=0+a=a．
提出问题
1. 两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
2. 思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？
3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？
师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量，的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．
讨论结果：1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．
2. 当a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;
当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;
当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|．
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|．
3. 如下左图，作=a，=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则=b，=a．
因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a．
如上右图，因为=+=（+）+=（a+b）+c，
=+=+（+）=a+（b+c），所以（a+b）+c=a+（b+c）．
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．
提出问题
①如何理解向量的减法？
②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？
师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？
引导学生思考，相反向量有哪些性质？
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量．于是
-（-a）=a．
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
任一向量与其相反向量的和是零向量，即
a+（-a）=（-a）+a=0．
所以，如果a、b是互为相反的向量，那么
a=-b，b=-a，a+b=0．
A. 平行四边形法则
如上图，设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+（-b）=a-b．又b+=a，所以=a-b．
由此，我们得到a-b的作图方法．
B. 三角形法则
如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
讨论结果：
①向量减法的定义．我们定义 a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
规定：零向量的相反向量是零向量．
②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．
三、拓展创新，应用提高
例1 如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．
活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．
解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作=a，=b，则=a+b．
作法二：在平面内任取一点O（上右图），作=a，=b．以OA、OB为邻边作OACB，连接OC，则=a+b．
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．
活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．
解：如上右图所示，表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度．
（2）在Rt△ABC中，||=2，||=5，
所以||=≈5.4．
因为tan∠CAB=，由计算器得∠CAB=68°．
答：船实际航行速度的大小约为5．4 km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．
点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．
例3 如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．
活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
作法：如图（2），在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d．则=a-b，=c-d．
例4 如图，ABCD中， =a，=b，你能用a、b表示向量、吗？
活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道=a+b，
同样，由向量的减法，知=-=a-b．
四、小结
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．
课堂作业
1．下列等式中，正确的个数是（ ）
①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-（-a）=a ⑤a+（-a）=0
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边、、的中点，则-等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中不能化简为的是（ ）
A．（+）+ B．（+）+（+）
C． D．-+
4．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若++=0，则O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
参考答案：
1．C 2．D 3．C 4．A.
第2课时
教学目标
一、知识与技能
1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．
2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．
二、过程与方法
充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地0·a=0），它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．
三、情感、态度与价值观
通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．
教学重点、难点
教学重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．
教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．
教学关键：两个向量共线的等价条件的探究过程的引导.
教学突破方法：从向量共线的定义出发，引导学生分组讨论，得出结果．
教法与学法导航
教学方法：问题式教学，启发诱导．
学习方法：合作探讨，在向量加减法的基础上进行推广．
教学准备
教师准备：多媒体、尺规.
学生准备：练习本、尺规.
教学过程
一、创设情境，导入新课
前一节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．
二、主题探究，合作交流
提出问题：
探究：已知非零向量a，试一试作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）．
你能说明它们的几何意义吗？
③ 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
师生互动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a=0，而不是0·a=0．这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a，λ-a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：（λ+μ）a=λa+μa和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
对问题①，学生通过作图可发现，=++=a+a+a．类似数的乘法，可把a+a+a记作3a，即=3a．显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|．
同样，由下图可知，
==（-a）+（-a）+（-a），
即（-a）+（-a）+（-a）=3（-a）．显然3（-a）的方向与a的方向相反，3（-a）的长度是a的长度的3倍，这样，3（-a）=-3a．
对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（1） |λa|=|λ||a|；
（2） 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由（1）可知，λ=0时，λa=0．
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．
实数与向量的积的运算律：
设λ、μ为实数，那么
（1）λ（μa）=（λμ）a；
（2）（λ+μ）a=λa+μa；
（3）λ（a+b）=λa+λb．
特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a），λ（a-b）=λa-λb．
对问题③，向量共线的等价条件是：如果a（a≠0）与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa．推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由向量数乘的定义，知a与b共线．反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa．
关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．
讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定．
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．
③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
三、拓展创新，应用提高
例1 计算：
（1）（-3）×4a；
（2）3（a+b）-2（a-b）-a；
（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）．
活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．
解：（1）原式=（-3×4）a=-12a；
（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；
（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．
点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．
例2 如图，已知任意两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b．你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．
解：分别作向量、、过点A、C作直线AC（如上图）．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线上，猜想A、B、C三点共线．
事实上，因为=-=a+2b-（a+b）=b，
而=-=a+3b-（a+b）=2b，
于是=2．
所以A、B、C三点共线．
点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．
例3 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，你能用a、b表示和吗？
活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．
解：在ABCD中，
∵=+=a+b，=-=a-b，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴==（a+b）=a-b，
==（a-b）=a-b，
==a+b，
==-=-a+b．
点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．
四、小结
1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．
2．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．
课堂作业
1．[（2a+8b）-（4a-2b）]等于（ ）
A．2a-b B．2b-a C．b-a D．a-b
2．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
3．若向量方2-3（-2）=0，则向量等于（ ）
A． B．-6 C．6 D．
4．在△ABC中，=，EF∥BC，EF交AC于F，设=a，=b，则用a、b表示的形式是=_________．
5．在△ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若+=e1-e2，则=________．
6．已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，=a，=b，=c，
求证：=（a+b+c）．
参考答案：
1.B 2. C 3. C 4．-a+b 5．e1-e2．
6．连接AG并延长，设AG交于M．
∵=b-a，=c-a，=c-b，
∴=+=（b-a）+（c-b）=（c+b-2a）．
∴==（c+b-2a）．
∴=+=a+（c+b-2a）=（a+b+c）．
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人教版新课标普通高中◎数学④ 必修
2.2 平面向量的线性运算
教案 A
第1课时
教学目标
一、知识与技能
1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.
2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.
3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
二、过程与方法
1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．
2． 运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．
三、情感、态度与价值观
1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．
2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．
教学重点、难点
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．
教学难点：理解向量加减法的定义．
教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.
教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．
教法与学法导航
教学方法；启发诱导，讲练结合．
学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．
教学准备
教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．
学生准备：练习本、尺规.
教学过程
一、创设情境，导入新课
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断． 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．
二、主题探究，合作交流
提出问题：
1. 类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？
2. 向量加法的法则是什么？
3. 与数的运算法则有什么不同？
师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果，与A点直接到C点的位移结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.
图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．
改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．
合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．
数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．
讨论结果：1. 向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2. 向量加法的法则：
（1）向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．
（2）向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行
四边形法则．
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
对于零向量与任一向量，我们规定 a+0=0+a=a．
提出问题
1. 两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？
2. 思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？
3. 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？
师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量，的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．
讨论结果：1. 两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．
2. 当a，b不共线时，|a+b|<|a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;
当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;
当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|．
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|．
3. 如下左图，作=a，=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则=b，=a．
因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a．
如上右图，因为=+=（+）+=（a+b）+c，
=+=+（+）=a+（b+c），所以（a+b）+c=a+（b+c）．
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．
提出问题
①如何理解向量的减法？
②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？
师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？
引导学生思考，相反向量有哪些性质？
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量．于是
-（-a）=a．
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
任一向量与其相反向量的和是零向量，即
a+（-a）=（-a）+a=0．
所以，如果a、b是互为相反的向量，那么
a=-b，b=-a，a+b=0．
A. 平行四边形法则
如上图，设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+（-b）=a-b．又b+=a，所以=a-b．
由此，我们得到a-b的作图方法．
B. 三角形法则
如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
讨论结果：
①向量减法的定义．我们定义 a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
规定：零向量的相反向量是零向量．
②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．
三、拓展创新，应用提高
例1 如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．
活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．
解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作=a，=b，则=a+b．
作法二：在平面内任取一点O（上右图），作=a，=b．以OA、OB为邻边作OACB，连接OC，则=a+b．
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．
活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．
解：如上右图所示，表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度．
（2）在Rt△ABC中，||=2，||=5，
所以||=≈5.4．
因为tan∠CAB=，由计算器得∠CAB=68°．
答：船实际航行速度的大小约为5．4 km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．
点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．
例3 如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．
活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
作法：如图（2），在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d．则=a-b，=c-d．
例4 如图，ABCD中， =a，=b，你能用a、b表示向量、吗？
活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道=a+b，
同样，由向量的减法，知=-=a-b．
四、小结
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．
课堂作业
1．下列等式中，正确的个数是（ ）
①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-（-a）=a ⑤a+（-a）=0
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，D、E、F分别是△ABC的边、、的中点，则-等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中不能化简为的是（ ）
A．（+）+ B．（+）+（+）
C． D．-+
4．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若++=0，则O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
参考答案：
1．C 2．D 3．C 4．A.
第2课时
教学目标
一、知识与技能
1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．
2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．
二、过程与方法
充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量（特别地0·a=0），它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．
三、情感、态度与价值观
通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．
教学重点、难点
教学重点：实数与向量积的意义、两个向量共线的等价条件及其运用．
教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．
教学关键：两个向量共线的等价条件的探究过程的引导.
教学突破方法：从向量共线的定义出发，引导学生分组讨论，得出结果．
教法与学法导航
教学方法：问题式教学，启发诱导．
学习方法：合作探讨，在向量加减法的基础上进行推广．
教学准备
教师准备：多媒体、尺规.
学生准备：练习本、尺规.
教学过程
一、创设情境，导入新课
前一节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a+a+a=3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．
二、主题探究，合作交流
提出问题：
探究：已知非零向量a，试一试作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）．
你能说明它们的几何意义吗？
③ 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？
师生互动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a=0，而不是0·a=0．这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ+a，λ-a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：（λ+μ）a=λa+μa和λ（a+b）=λa+λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
对问题①，学生通过作图可发现，=++=a+a+a．类似数的乘法，可把a+a+a记作3a，即=3a．显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|．
同样，由下图可知，
==（-a）+（-a）+（-a），
即（-a）+（-a）+（-a）=3（-a）．显然3（-a）的方向与a的方向相反，3（-a）的长度是a的长度的3倍，这样，3（-a）=-3a．
对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（1） |λa|=|λ||a|；
（2） 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由（1）可知，λ=0时，λa=0．
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．
实数与向量的积的运算律：
设λ、μ为实数，那么
（1）λ（μa）=（λμ）a；
（2）（λ+μ）a=λa+μa；
（3）λ（a+b）=λa+λb．
特别地，我们有（-λ）a=-（λa）=λ（-a），λ（a-b）=λa-λb．
对问题③，向量共线的等价条件是：如果a（a≠0）与b共线，那么有且只有一个实数λ，使b=λa．推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由向量数乘的定义，知a与b共线．反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa．
关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．
讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a|确定．
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．
③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
三、拓展创新，应用提高
例1 计算：
（1）（-3）×4a；
（2）3（a+b）-2（a-b）-a；
（3）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）．
活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）=λμ1a±λμ2b．
解：（1）原式=（-3×4）a=-12a；
（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b；
（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c．
点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．
例2 如图，已知任意两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b．你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
活动：本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只要引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．
解：分别作向量、、过点A、C作直线AC（如上图）．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线上，猜想A、B、C三点共线．
事实上，因为=-=a+2b-（a+b）=b，
而=-=a+3b-（a+b）=2b，
于是=2．
所以A、B、C三点共线．
点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．
例3 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，你能用a、b表示和吗？
活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．
解：在ABCD中，
∵=+=a+b，=-=a-b，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴==（a+b）=a-b，
==（a-b）=a-b，
==a+b，
==-=-a+b．
点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．
四、小结
1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．
2．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．
课堂作业
1．[（2a+8b）-（4a-2b）]等于（ ）
A．2a-b B．2b-a C．b-a D．a-b
2．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
3．若向量方2-3（-2）=0，则向量等于（ ）
A． B．-6 C．6 D．
4．在△ABC中，=，EF∥BC，EF交AC于F，设=a，=b，则用a、b表示的形式是=_________．
5．在△ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若+=e1-e2，则=________．
6．已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，=a，=b，=c，
求证：=（a+b+c）．
参考答案：
1.B 2. C 3. C 4．-a+b 5．e1-e2．
6．连接AG并延长，设AG交于M．
∵=b-a，=c-a，=c-b，
∴=+=（b-a）+（c-b）=（c+b-2a）．
∴==（c+b-2a）．
∴=+=a+（c+b-2a）=（a+b+c）．
2
1