（机构适用）7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含解析）

7.5正态分布
一、单选题
1．已知随机变量服从正态分布，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知随机变量服从正态分布，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6]内的概率为（
）
A．0.0456
B．0.1359
C．0.2718
D．0.3174
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)=0.84，则P(X≤0)等于（
）
A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84
5．若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
6．以下关于正态密度曲线的说法中正确的个数是（
）
①曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交；
②曲线关于直线对称；
③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状；
④曲线与轴之间的面积为.
A．
B．
C．
D．
7．已知随机变量，且，则（
）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
8．已知随机变量服从正态分布，且，则（
）
A．0.8
B．0.6
C．0.4
D．0.2
9．为准备年北京-张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有名运动员报名参加测试，其测试成绩(满分分)服从正态分布，成绩为分及以上者可以进入集训队.已知分及以上的人数为人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（
）
附：，，.
A．
B．
C．
D．
10．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
11．已知随机变量，有下列四个命题：
甲：
乙：
丙：
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
12．正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则
A．
B．
C．
D．
13．已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
14．某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩服从正态分布，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（
）
〖参考数据〗：，，
A．2300
B．3170
C．3415
D．460
15．已知随机变量ξ服从正态分布，则（
）
A．0.26
B．0.24
C．0.48
D．0.52
16．某校一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，该校有人参加此次统测估计该校数学成绩不低于分的人数为（
）
A．
B．
C．
D．
17．设X~N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)=0.022
8，那么向正方形OABC中随机投掷20
000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（
）
[附:随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682
6，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954
4]
A．12
076
B．13
174
C．14
056
D．7
539
18．设随机变量X服从标准正态分布，已知P(X≤1.88)＝0.97，则P(|X|≤1.88)＝（
）
A．0.94
B．0.97
C．0.06
D．0.03
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
19．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布.考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.
（1）求最低录取分数(结果保留为整数)；
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.
参考资料：（1）当时，令，则.（2）当时，，，，.
20．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京举行实践“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”理念，举办一届“有特色、高水平”的奥运会，是中国和北京的庄严承诺，也是全世界的共同期待.为宣传北京冬奥会，激发人们参与冬奥会的热情，某市开展了关于冬奥知识的有奖问答.从参与的人中随机抽取100人，得分情况如下：
（1）得分在80分以上称为“优秀成绩”，从抽取的100人中任取2人，记“优秀成绩”的人数为，求的分布列及数学期望；
（2）由直方图可以认为，问卷成绩值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①求；
②用所抽取100人样本的成绩去估计城市总体，从城市总人口中随机抽出2000人，记表示这2000人中分数值位于区间的人数，利用①的结果求.
参考数据：，，，，.
21．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：
）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：
①计算这一天平均值与标准差；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：
）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：
，
，，
，
，，
，
.
参考答案
1．【答案】A
【分析】
因为随机变量服从正态分布，
由对称性可知，，
又，
所以，
故.
故选：A.
2．【答案】A
【分析】
因为随机变量服从正态分布，由正态分布的对称性知，
，又，，
所以，解得，从而.
故选：A
3．【答案】B
【分析】
因为P(-3≤ξ≤3)=0.6827，P(-6≤ξ≤6)=0.9545，则P(3<ξ≤6)=×(0.9545-0.6827)=0.1359.
故选：B.
4．【答案】A
【分析】
解析：由X~N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x=2，如图所示，可知P(X≤0)=P(X≥4)=1P(X<4)=10.84=0.16.
故选：A.
5．【答案】C
【分析】
根据随机变量X的密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可知，曲线关于对称，所以.
故选：C.
6．【答案】C
【分析】
正态密度曲线的特点如下：
位于轴的上方，左右两侧与轴无限接近，但与轴不相交，①错误；
曲线的对称轴为，②正确；
曲线是“中间高，两边低”的钟形形状，③正确；
曲线与轴围成的区域面积为，④正确.
故选：C.
7．【答案】D
【分析】
解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称，所以，因为，所以，所以，所以
故选：D
8．【答案】C
【分析】
随机变量服从正态分布，，即正态曲线关于直线对称，如图所示，
又，得，故.
故选：C.
9．【答案】C
【分析】
正态分布，分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：
，
故，∴，
则分及以上的人数为人.
故选C.
10．【答案】C
【分析】
由正态分布密度曲线的性质可知，，的密度曲线分别关于直线，对称，因此结合题中所给图象可得，，所以，故错误；又得密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以，所以，B错误；对任意正数，，，C正确，D错误
故选：C
11．【答案】D
【分析】
由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故，
根据正态分布的对称性可知：甲：为真命题，所以丁为假命题.
并且，.
所以假命题的是丁.
故选：D
12．【答案】A
【分析】
，
故选：.
13．【答案】C
【分析】
因为，所以，即正态曲线的对称轴为，所以，又，所以.
故选：C.
14．【答案】A
【分析】
依题意知，所以
则，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为
故选：A
15．【答案】B
【分析】
解：因为随机变量服从正态分布，且，
则，即正态分布曲线的对称轴为，
正态分布的密度曲线的示意图如下，
所以，并且，
则.
故选：B.
16．【答案】D
【分析】
由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布的均值为，
又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以该校有人中，估计该校数学成绩不低于分的人数为人．
故选：D．
17．【答案】B
【分析】
由题意，得
P(X≤-1)=P(X≥3)=0.022
8;
∴P(-18×2=0.954
4.
∵P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954
4，
∴1-2σ=-1，故σ=1，
∴P(03，
故估计落入阴影部分的点的个数为20
000×(1-0.341
3)=13
174
故选：B
18．【答案】A
【分析】
∵标准正态曲线关于x＝0对称，
∴P(X>1.88)＋P(X<－1.88)＝0.03＋0.03＝0.06，
∴P(|X|≤1.88)＝1－0.06＝0.94，
故选：A.
19．【答案】（1）266；（2）能被录取为高薪职位，理由见解析.
【分析】
解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，
即，令，则.
由360分及以上高分考生30名可得，即，
即有，则，可得，
可得，
设最低录取分数线为，则，
即有，即有，
可得，即最低录取分数线为266；
（2）考生甲的成绩，所以能被录取，
，
表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的，，
即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位.
20．【答案】（1）分布列见解析，；（2）①0.1359；②271.8.
【分析】
（1）得分80以上的人数为，可能取值为0，1，2
，，，
分布列为：
0
1
2
.
（2）
取，
①
②，
21．【答案】（1）0.0260；（2）①
；②生产线异常，需要进一步调试，理由见解析.
【分析】
（1）由题意知：或
，，
∵，∴；
（2）①
，所以
②结论：需要进一步调试．
理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，
，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．