河南省焦作市2012届高三第一次质量检测（数学理）

河南省焦作市2012届高三第一次质量检测
理 科 数 学
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试题卷上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的共轭复数是 （ ）
A. B. C. D.
下列函数中，既是奇函数，又是减函数是（ ）
A. f（x）=-x｜x｜ B. f（x）= x3
C. f（x）= D. f（x）=
3．(x－)9的展开式的第8项是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，若，则是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角 D.直角三角形
5．已知向量且，若数列的前项和为，且∥，则=（ ）
A. B. C. D.
6．执行右图所示的程序框图，则能输出数对（x，y）
的概率为 （ ）
A． B．
C． D．
7．如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜如图乙时，BE·BF是定值
其中正确说法是 （ ）
A．①②③ B．①③ C．①②③④ D．①③④
8.由曲线，直线所围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.6
9．已知数列的通项公式为，那么满足的整（ ）
A．有3个 B.有2个 C.有1个 D.不存在
10．设，若，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
11.已知点P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C．2 D．
12．定义在上的奇函数，当时， ( http: / / www. / )，则关于的函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考试根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．写出一个使不等式成立的必要不充分条件 ．
14．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同．则双曲线的方程为 ．
15.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为
.
16．若对于任意非零实数,不等式恒成立,则实数的取值范围__________．
三．解答题（本大题共6小题，共75分）
17.（本小题满分12分）
在公比为的等比数列中，与的等差中项是.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，，的一部分图像如图所示，，为图像上的两点，设，其中与坐标原点重合，，求的值.
18．（本题满分12分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适 请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望.
19. 如图，矩形ABCD中，AB=CD=2，BC=AD=。现沿着其对角线AC将D点向上翻折，使得二面角D—AC—B为直二面角。
（Ⅰ）求二面角A—BD—C平面角的余弦值。
（Ⅱ）求四面体ABCD外接球的体积；
20．（本大题满分12分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，定点P，点在线段的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线的倾斜角分别为，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（I）求在上的最大值；
（II）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（III）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交
于点P，交BC延长线于点D。
（1）求证： ；
（2）若AC=3，求的值。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
参考答案
1—5AADDA 6—10 CDBBB 11—12CB
13．略 14． 15．34+6 16．
17.解：
（Ⅰ）∵，，
∴ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
（Ⅱ）∵点在函数的图像上，
∴，又∵，∴
如图，连接，在中，由余弦定理得
又∵ ∴
┈┈┈┈┈9分
∴
∴ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分
18．解：（1）茎叶图如下：
………………2分
学生乙成绩中位数为84，…………4分
（2）派甲参加比较合适，理由如下：
………………5分
=35.5
=41……………………7分
∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8分
（3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则……………………9分
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
且服从B（）k=0，1，2，3
0 1 2 3
P
的分布列为：
（或） 12分
19.解：如图，过点D、B分别向AC引垂线，垂足分别为E、F。易知AE=CF=1，EF=3，DE=BF=2。又DE⊥AC，AC=面ACD∩面ABC，二面角D—AC—B为直二面角，所以DE⊥平面ABC，又因为BF平面ABC，所以DE⊥BF。故DE、AC、BF两两垂直。如图以点F为坐标原点，FB为x轴，FC为y轴，平行于ED的方向为z轴，建立空间直角坐标系.
则各点的如下A（0,－4,0），B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(0,－3,2). （3分）
(1) =(0,1,2)，=（2,4,0）,=(－2,1,0)，=(0,－4,2)
设平面ABD的法向量为=(x,y,1),则，
即=(4,－2,1)
设平面BCD的法向量为=(1,b,c),则
即=（1,2,4）
Cos<,>==.
由图形知二面角A—BD—C平面角的余弦值为－. （8分）
(2)设O为AC的中点，∵⊿ABC与⊿ADC都为直角三角形，∴OA=OB=OC=OD，∴Ｏ为四面体ＡＢＣＤ的外接球的球心．
∴四面体ＡＢＣＤ的体积 （12分）
20．解：⑴由椭圆C的离心率得，其中，
椭圆C的左、右焦点分别为又点在线段的中垂线上
∴，∴解得c＝1，a2＝2，b2＝1，
∴椭圆的方程为　．
⑵由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y＝kx＋m
由消去y，得（）＋4kmx＋＝0．
设M（），N（），则，
且，
由已知α＋β＝π，得，即
化简，得
∴。整理得m＝－2k．
∴直线MN的方程为y＝k（x－2）因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）
21．解：（1），令，得或（舍）
当时，，单调递增；当时，，单调递减，是函数在上的最大值
（3）由知，
令，则
当时，，于是在上递增；当时，，于是在上递减，而，
即在上恰有两个不同实根等价于
，解得
22．解：（1），
～，
又 （5分）
（2）
～，
（10分）
23．解:将化简为，则直线l的直角坐标方程为． …………………4分
设点P的坐标为，得P到直线l的距离，即，其中． ………………8分
当时，．
24.
综上的取值范围为 （10分）
（其它证明方法酌情给分）．