福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期5月数学补习练（10）试题 Word版含答案

平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期数学补习练（10）
一、单选题
1．平面false与平面false平行的条件可以是（ ）
A．false内有无穷多条直线与false平行 B．false内的任何直线都与false平行
C．直线false在平面false内，直线false在平面false内，且false，falseD．直线false，直线false
51816001219202．下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面互相平行 B．平行于同一平面的两个平面互相平行
C．若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直线与另一个平面也相交
D．夹在两平行平面间的平行线段相等
56388002057403．如图，在四棱锥false中，底面false是平行四边形，点false，false分别是false，false的中点，点false在线段false上，且false，则（ ）
A．false B．直线false与直线false相交 C．false D．false平面false
4．若false是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，则false成立的充分不必要条件是
5667375150495A．false B．false C．falseD．false
5．在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（ ）A．90° B．45° C．60° D．30°
5505450171456．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交且垂直 C．异面直线 D．相交成60°角
7．如图，已知三棱柱false的各条棱长都相等，且false底面false，false是侧棱false的中点，则异面直线false和false所成的角为(　　)
4819650304800A．false B． C． D．false
8．如图1，直线false将矩形false分为两个直角梯形false和false，将梯形false沿边false翻折，如图2，在翻折过程中（平面false和平面false不重合），下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，恒有直线false平面false B．存在某一位置，使得false平面false
C．存在某一位置，使得false D．存在某一位置，使得false平面false
二、填空题
9．如图，在边长为2的正方体false中，点P是该正方体对角线false上的动点，给出下列四个结论：
468630069215①false②false面积的最大值是false
③false面积的最小值是false④当false时，平面false平面false
其中所有正确结论的序号是___________.
53911503619510．已知false，false是平面false外的两条不同直线，给出下列三个论断：①false；②false；③false．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
522922566484511．如图，在四面体false中，false，false与false所成的角为false，false、false分别为false、false的中点，则线段false的长为________．
12．如图所示，正方体false的棱长为false，false为false的中点，false点是正方形false内的动点，若false平面false，则false点的轨迹长度为______．
三、解答题
13．如图，在四棱锥false中，底面false是矩形．
（1）设false为false上靠近false的三等分点，false为false上靠近false的三等分点．求证：false平面false．
（2）设false是false上靠近点false的一个三等分点，试问：在false上是否存在一点false，使false平面false成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．
3390900653415
14．如图，矩形false中，false，E为false的中点，把falsefalse沿false翻折，使得平面false平面false．
（1）求证：false（2）在false上确定一点F，使false平面false；（3）求四棱锥false的体积．
238125057785
465772587630
15．如图，在四棱锥false中，false，false，false，false．
（1）求证：false．（2）若false，求直线false与平面false所成角的正弦值．
参考答案
1．B
【分析】
利用平面与平面的位置关系判断.
【详解】
若false内有无穷多条直线与false平行，则平面false与平面false相交或平行，故false不正确；
若false内的任何直线都与false平行，则false，故B正确；
若直线false在平面false内，直线false在平面false内，且false，false，则平面false与平面false相交或平行，故C不正确；
若直线false，直线false，则平面false与平面false相交或平行，故D不正确.
故选：B
2．A
【分析】
根据面面、线面、线线关系，结合面面平行的性质及平行线的性质，判断空间中线面、面面的位置关系，及线段的数量关系.
【详解】
A：平行于同一直线的两平面可能平行，也可能相交，不正确；
由面面平行的性质、及平行线的性质可知B、C、D正确；
故选：A.
3．D
【分析】
在false上取一点false，使得false，证得false，即可证得直线false不与false平行；构造经过直线false的平面，确定该平面与平面false的交线，判断false与交线的位置关系，即可判断选项B，C，D．
【详解】
如图，在false上取一点false，使得false，连接false，false，又false，
所以false，则直线false不与false平行．
连接false，false，交于点false，由四边形false是平行四边形得false为false，false的中点．
因为false，false分别为false，false的中点，所以false，
连接false，交false于点false，于是false，在线段false上取点false，使得false，连接false，因为false，所以false为false的中点，
又false，连接false，则false．
因为false，false，所以false，于是false，因此直线false与false异面，不与直线false平行，false平面false，
故选：D．
4．D
【分析】
根据直线平面间的位置关系或线面垂直的判定定理判断各选项．
【详解】
解：A：根据面面垂直的判定，当直线m，n相交时，才有false，∴A错误．
B：当false时，直线l与平面α可能平行，∴B错误．
C：当false时，直线l与平面α可能平行，也可能在平面α内，∴C错误．
D：当false时，根据两条平行线中的一条与平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，
∴false，但反之不一定成立，∴D正确．
故选：D．
5．D
【分析】
取AD的中点G，连接EG，FG，可得∠FEG或其补角为EF与CD所成的角，在falseEFG中，通过计算可得答案．
【详解】
取AD的中点G，连接EG，FG.
∵E，F分别为AC，BD的中点，∴FGfalseAB，EGfalseCD，∠FEG或其补角为EF与CD所成的角．
∵EF⊥AB，∴在falseEFG中，EF⊥FG，
∴sin∠FEG＝false＝false，
∴∠FEG＝30°.
故选：D
6．D
【分析】
把展开图还原成正方体可得false的位置关系．
【详解】
把展开图恢复成如图所示的正方体，
其中，false为等边三角形，所以false．选D．
【点睛】
已知空间几何体的平面展开图求原几何体中点线面的位置关系，可先选定一个底面，然后把展开图还原成空间几何体，在空间几何体中看指定的几何对象的位置关系，此类问题忌凭空想象．
7．A
【分析】
由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．
【详解】
设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，false
falsefalse ．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
8．A
【分析】
根据翻折过程中，始终false，false，利用面面平行的判定定理及性质，即可判定A正确；根据题中条件，得到false与false相交，可判断B错；根据题中条件，判定直线false与平面false相交，即可判定C错；根据题中条件，得到false与false不垂直，即可判定D错.
【详解】
对于false，由题意得：false，false，
∵false，false，∴平面false平面false，
∵false平面false，∴在翻折过程中，恒有直线false平面false，故A正确；
对于B，∵直线false将矩形false分为两个直角梯形false和false，
∴false与false相交，
∴不存在某一位置，使得false平面false，故B错误；
对于C，∵平面false平面false，false平面false，false，所以直线false与平面false相交；∴不存在某一位置，使得false，故C错误；
对于D，∵四边形false是梯形，false，
∴false与false不垂直，
∴不存在某一位置，使得false平面false，故D错误．
故选：A．
【点睛】
思路点睛：
判断线线、线面位置关系时，一般需要结合相关概念，以及判定定理与性质定理，由题中条件，进行判断即可.
9．①②④
【分析】
通过证明false平面false来证明false；将false的面积表示出来，等价于求PE长度的最值，从而在false中分别求得最大值和最小值；通过证明false平面false且false平面false来证明平面false平面false.
【详解】
在正方体false中，
false，
故false平面false，又false，
则false，①正确；
连接BD交AC与E，由false，则false，
false，则求false的面积的最值等价于求PE长度的最值.
在false中，当false时，false最小，易知false，false，
false，此时false，
此时，false的面积的最小值为false，故③错误；
当false与false重合时，false最大，易知false，false，
此时，false的面积的最大值为false，故②正确；
当false时，在false中，false，false，
则false，
则false，又false，
故false平面false，
由正方体体对角线性质，易知false，即false平面false，
故平面false平面false，④正确；
故答案为：①②④.
【点睛】
关键点点睛：利用正方体内的线线，线面，面面关系，来证明问题所求的线面，面面关系.
10．若false，false，则false．
【分析】
设过false有一个平面false，使得false，则由false结合线面平行的性质可得false，由false结合线面垂直的性质可得false，从而可得false
【详解】
若false，false，则false．
理由：设过false有一个平面false，使得false，
false，false，false，
false，
又false，false，可得false，
又false，可得false．
故答案为：若false，false，则false．
11．false或false
【分析】
取false的中点false，连接false、false，求出false的值，利用余弦定理可求得线段false的长.
【详解】
取false的中点false，连接false、false，
false、false分别为false、false的中点，false且false，
同理可得false且false，
false为异面直线false与false所成的角或其补角，则false或false.
在false中，false.
若false，则false为等边三角形，此时，false；
若false，由余弦定理可得false.
综上所述，false或false.
故答案为：false或false.
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是false，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
12．false
【分析】
取false的中点false，false的中点false，连接false，可得四边形false是平行四边形，可得false，同理可得false，可得面面平行，进而得出false点轨迹为false．
【详解】
如图所示，false的中点false，false的中点false，连接false.
可得四边形false是平行四边形，∴false，又false平面false，false平面false，可得false平面false.同理可得false，false平面false，又false，∴平面false平面false.
∵false点是正方形false内的动点，false平面false，∴点false在线段false上．
∴false点的轨迹长度为false.
故答案为：false.
13．（1）证明见解析；（2）在false上是存在false中点false，使false平面false成立，证明见解析.
【分析】
（1）取false上靠近false的三等分点false，连接false，可得false进而证明false平面false，同理证明false平面false，得出面false平面false即可证明；
（2）存在false中点false，连false，使false，连false，得出false即可证明.
【详解】
（1）如图，取false上靠近false的三等分点false，连接false，
false中，false，
则false又false平面false，false平面false，
false平面false，同理，false平面false，又false，
∴平面false平面false，又false平面false，
∴false平面false．
（2）存在false中点false，使false平面false成立．
取false中点false，连false，使false，连false．
false是矩形，false是false的中点，
又false是false上靠近点false的一个三等分点，且false是false中点，
false是false的中点，
false中，false，
又false平面false，false平面false，
false平面false，
故在false上是存在false中点false，使false平面false成立．
【点睛】
关键点睛：本题考查线面平行的证明，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理以及面面平行的性质.
14．（1）证明见解析；（2）线段false上取false的三等分点F（靠近C）；（3）false．
【分析】
（1）先由勾股定理证明false，再由面面垂直的性质得出false平面false，进而由线面垂直的性质得出线线垂直；
（2）作辅助线并证明false，再由线面平行的判定定理求解即可；
（3）先由面面垂直的性质得出false平面false，进而确定四棱锥false的高，最后得出体积.
【详解】
（1）证明：∵平面false平面false，平面false平面false
又由已知可得false，false，∴false，则false平面false
∵false平面false，∴false，故false；
（2）连接false交false于G，则false，在线段false上取false的三等分点F（靠近C），
连接false，则false，可得false
而false平面false平面false，则false平面false；
（3）取false中点O，连接false，则false
又平面false平面false，且平面false平面false
∴false平面false，在false中，可得false
∵F为false的三等分点F（靠近C），∴F到平面false的距离为false．
可得四棱锥false的体积为false．
【点睛】
关键点睛：在第三问中，要求四棱锥false的体积，关键是想到四棱锥false和四棱锥false同底面，高成比例，从而得出四棱锥false的体积.
15．（1）证明见解析；（2）false．
【分析】
（1）取false的中点false，连接false，false，false，证明false，false，再利用线面垂直的判定定理证出false平面false，即证.
（2）过点false作false于点false，得出false为直线false与平面false所成的角，在false中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
（1）如图，取false的中点false，连接false，false，false，
∵false，∴false．
∵false，false，false，
∴四边形false为等腰梯形，且false．
∵false，false，false，∴false，
∴false，∴false．
∵false，false平面false，false，
∴false平面false，
又false平面false，∴false．
（2）由（1）知false平面false，
又false平面false，∴平面false平面false．
∵平面false平面false，
∴过点false作false于点false，则false平面false，
∴false为直线false与平面false所成的角．
在等边三角形false中，易得false．
在false中，false，false，∴false．
又false，∴在false中，false，
∴false，
即直线false与平面false所成角的正弦值为false．
【点睛】
方法点睛：证明线线垂直常由线面垂直的性质推理得到，一条直线和一个平面垂直，这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的重要方法，若已知条件中含边的长度，则可根据线段间的数量关系，利用勾股定理的逆定理或三角形三线合一的性质来证明线线垂直．